Leçon 1 ARITHMETIQUE : NOMBRES PREMIERS, PGCD

1. Leçon 1 ARITHMETIQUE : NOMBRES PREMIERS, PGCD Fabienne BUSSAC

2. Cliquer sur le titre de paragraphe pour un accès direct… • DIVISEURS : RAPPELS • PGCD DE DEUX NOMBRES Fabienne BUSSAC • CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES • CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME D’EUCLIDE

3. a le quotient est un nombre entier, d • DIVISEURS : RAPPELS Soit a et d deux nombres entiers positifs (d  0). Si le reste de la division euclidienne de a par d est zéro, Fabienne BUSSAC il existe un entier n tel que a = d × n d est un diviseur de a. alors on dit que : a est un multiple de d. a est divisible par d.

4. 42 7 Exemple : = 6 ou 42 = 7 × 6 7est un diviseur de 42. On peut donc dire que 42 est un multiple de 7. Fabienne BUSSAC 42 est divisible par 7. . 4 n’est pas un diviseur de 26 car le quotient n’est pas un entier

5. Propriété : Tout nombre entier, supérieur ou égal à 2, admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et lui-même) s’appelle un nombre premier. Fabienne BUSSAC Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… sont des nombres premiers. 9 n’est pas un nombre premier : il a trois diviseurs 1 ; 3 et 9. 1 n’est pas un nombre premier : il a un seul diviseur 1.

6. PGCD DE DEUX NOMBRES Si deux entiers positifs a et b sont divisibles par un même entier d, alors on dit que d est un diviseur commun de a et b. Exemple : Fabienne BUSSAC 15 = 5 × 3 et 40 = 5  8, donc 5 est un diviseur commun de 15 et 40. Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres.

7. a et b sont deux nombres entiers positifs. Parmi leurs diviseurs communs, l’un d’entre eux est plus grand que les autres. On appelle P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) le plus grand des diviseurs communs de a et b. Fabienne BUSSAC On le note PGCD (a ; b).

8. 24 = 1 × 24 Exemple : 24 = 2 × 12 La liste des diviseurs de 24 est : 24 = 3 × 8 24 = 4 × 6 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 24 = 5 ×… 36 = 1 × 36 36 = 2 × 18 La liste des diviseurs de 36 est : Fabienne BUSSAC 36 = 3 × 12 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 36 = 4 × 9 36 = 5 ×… 36 = 6 × 6 Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le plus grand diviseur commun de 24 et 36. On note PGCD (24 ; 36) = 12.

9. CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES Déterminer le PGCD de 413 et 295. 413 – 295 295 = 118 118 PGCD (413 ; 295) = PGCD (295 ; 118) 177 177 – 118 = PGCD (295 ; 118) = PGCD (177 ; 118) – 118 = 59 59 PGCD (177 ; 118) = PGCD (118 ; 59) Fabienne BUSSAC – = 59 PGCD (118 ; 59) = PGCD (59 ; 59) PGCD (413 ; 295) = 59 On prend les deux nombres et on les soustrait. On prend les deux plus petits et on recommence. On s’arrête lorsque l’on obtient deux nombres égaux.

10. CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME D’EUCLIDE Calculer le PGCD de 494 et 143. 4 9 4 1 4 3 On effectue la division euclidienne de 494 par 143 : 6 5 3 On peut écrire : dividende = quotient × diviseur + reste, soit : 494 = 3 × 143 + 65 On recommence le même travail avec le diviseur 143 et le reste de la division 65 : Fabienne BUSSAC 1 4 3 6 5 143 = 2 × 65 + 13 1 3 2 On recommence le même travail avec le diviseur 65 et le reste de la division 13 : 1 3 6 5 65 = 5 × 13 + 0 5 0 Le PGCD cherché est le dernier reste différent de 0. Ici, PGCD(494 ; 143) = 13

11. Exemple : calculer le PGCD de108 et 846 avec l’algorithme d’Euclide 846 = 7 × 108 108 + 90 90 108 = 1 × + 18 18 90 90 Fabienne BUSSAC 90 = 5 × + 0 18 Le dernier reste différent de 0 est 18 donc : PGCD(108 ; 846) = 18