DEA-perusteiset resurssien allokointimallit

1. DEA-perusteiset resurssien allokointimallit Mat-2.4142 Optimointiopin seminaariKevät 2013Esitelmä 10Juuso Saarnikko Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

2. Sisältö • Johdanto • Resurssien allokointimallit (2 kpl) • Sovellus • Yhteenveto • Kotitehtävä

3. Johdanto • Klassinen päätöksentekijän ongelma • Miten päätöksentekijä valitsee rajoitettujen resurssien käyttökohteet? • Monta eri näkökulmaa otettava huomioon • Millä perusteilla eri vaihtoehtojen ”hyvyyttä” mitataan? • Tasapuolisuus • Tekninen tehokkuus (DEA) • Tulostavoitetehokkuus • Tuotostavoitteet • DEA-pohjaisten resurssien allokointimenetelmien avulla pystytään analysoimaan mahdollisia tuotantojoukkoja ja tuotos/panossuhteita ja niiden optimoimista

4. Johdanto • Yleinen tilanne: keskitetty päätöksentekijä, jonka alla toimintayksikköjä, joiden resurssit rajoitetut • Esimerkiksi miten jaetaan resursseja kauppaketjun eri kauppojen välillä • Yleensä tavoitteena jakaa resurssit mahdollisimman tehokkaasti kokonaishyöty tai jokin muu kriteeri maksimoiden (tuotosten kokonaissumma mahdollisimman suuri)

5. DEA perusteiset resurssien allokointimallit, intro • Perinteinen DEA-malli ei riittävä • Ei huomioi päätöksentekijän preferenssejä • Mahdollistaa usein vain yhden yksikön tarkastelun ja analysoinnin kerrallaan suhteessa muihin • Ei huomioi kaikkia eri näkökulmia yksiköiden arvioinnissa • DEA-pohjainen resurssien allokointimenetelmä laajentaa perinteisen DEA-mallin sopivuutta tutkia resursseja

6. Resurssien allokointimalli #1

7. DEA-RAM (Resource allocationmodel) • Golanyn ja Tamirin malli • Rakennettu additiivisenDEA-mallin pohjalta • Pyrkii maksimoimaan tulostavoitetehokkuuden • Perusmalli rakennettu tilanteeseen, jossa monta panosta mutta vai yksi tuotos

8. TaustaaEfficiency– Effectiveness – Equality • DEA alun perin kehitetty vain teknisen tehokkuuden (efficiency) analysointiin • Teknisen tehokkuuden parantamista ja tulostavoitetehokkuuden (effectiveness) analysointia varten monia jatkomalleja kehitetty tämän jälkeen • Resurssien allokointia myös muun kuin pelkän teknisen tehokkuuden nojalla • Tuotosjoukon tarkkailua annetuilla panoksilla, tai toisin päin • Muuttuja/Tavoite

9. Efficiency vs. Effectiveness • Efficiency • Kuvaa valitun toiminnan tehokkuutta tavoitteen saavuttamiseksi • Kurssilta aikaisemmin tuttu tehokkuus • ”Tekninen tehokkuus” • Effectiveness • Kuvaa sitä kuinka hyvin asetetut tavoitteet saavutetaan • ”Tulostavoitetehokkuus” • Teknisesti tehokkaiden (efficient) yksiköiden tulostavoitetehokkuutta (effectiveness) voidaan vielä parantaa ja kehittää • Resurssien allokointimalli yhtenä potentiaalisena vaihtoehtona

10. Equality • Tasapuolisuusaste • Mittaa resurssien jakamisen tasapuolisuutta päätöksentekijän päätöksen alaisuudessa oleville tuotantoyksiköille • Gini-mittari epätasapuolisuudelle (Mandell, 1991)

11. Selventävä esimerkkiEfficiency – Effectiveness – Equality • 3 panosta, 2 tuotosta • Tekninen tehokkuus (efficiency) voidaan määrittää DEA:n keinoin • Panos/tuotossuhde • Tulostavoitetehokkuus (effectiveness) määritetään tavoitteiden saavuttamisen perusteella • Esimerkiksi koulu on tulostavoitetehokas jos sen testituloksien ka. on yli 85 ja paikallaoloprosentti vähintää 90 %. • Tasapuolisuusaste määritetään opettajien määrällä sataa oppilasta kohden, keskiarvon ollessa 2.86

12. Selventävä esimerkki, tulokset • Miten näitä yksiköitä voidaan nyt vertailla eri kriteerien valossa? Miten allokoida resursseja? • DEA perusteinen resurssien allokointimalli • Miten trade-offit arvotetaan?

13. DEA-RAM resurssien allokointimalli matemaattisesti, Golany&Tamir s.e. • Maksimoidaan yksikköjen tuotosten summaa (tulostavoitetehokkuutta) • Tuotokset ja panokset saadaan olemassa olevasta mitatusta/havaitusta datasta allokoimalla resurssit optimaalisesti • Rajoitetaan panokset ylärajan B alapuolelle

14. DEA-RAM resurssien allokointimallin lisälaajennukset • Tasapainoisuusasteen tarkkailu ja sen vertailu tulostavoitetehokkuuteen ja tekniseen tehokkuuteen • Verrataan ”epätasapainoisuutta” tehokkuuksiin ja muutetaan mallia vastaavasti hyödyntäen Gini-kerrointa (1) • Harkinnanvaraiset rajoitteet • Rajoitetaan päätöksentekijän päätöksiä tietylle alueelle • Esimerkiksi työntekijöiden määrää saa muuttaa vain tietyillä prosenttiosuuksilla eikä mielivaltaisesti (1) Mandell, M. B., ”ModellingEffectiveness-EquityTrade-offs in Public Service Delivery Systems,” Management Science., 37. 4(1991), 467-482.

15. DEA-RAM resurssien allokointimallin lisälaajennukset • Monen tuotoksen malli • DEA-mallissa pystytään helposti analysoimaan monta tuotosmuuttujaa omaavaa mallia • Resurssien allokointimalli voidaan rajoituksin muokata myös kykeneväksi ratkomaan monen tuotoksen malleja • Tällöin kuitenkin joudutaan rakentamaan subjektiivisten painojen avulla yhteys eri tuotosten välille • Teknisen tehokkuuden saavuttamattomuuden huomioonottaminen • Vaikka resursseja allokoitaisiinkin uudelleen, osa yksiköistä saattaa pysyä yhä teknisesti tehottomana • Mallin laajentamismahdollisuutena esitetään teknisellä tehokkuusarvolla painotettua tarkkailua tasapuolisempana vaihtoehtona • Tulostavoitetehokkuuden rajoitteet • Tuodaan malliin laajennuksena alarajatavoite tulostavoitetehokkuudelle, joka tulee täyttyä ennen kuin yksikköä voidaan pitää tulostavoitetehokkaana/varteenotettavana vaihtoehtona

16. Vertaus aikaisempaan malliin (Mandell 1991) • Mandell kehitti aikaisemmin mallin, jossa vertaillaan tasapainoisuuden ja tulostavoitetehokkuuden painottamista ja arviointia • Regressiomalli*, jolla tuotantofunktio estimoidaan • Maksimoidaan oletettua tuotantofunktiota, joka riippuu panoksista • Sisältää Gini-kertoimen epätasapainoisuudelle, jolla maksimiarvo s.e. *=(ei esitetä tässä esitelmässä)

17. Golany&Tamirvs. Mandell

18. Golany&Tamir vs. Mandell

19. Golany&Tamir vs. Mandell • Tuotantofunktio-oletus ja keskimääräisen suorituskyvyn tarkkailu Mandellin mallissa aiheuttavat ”alisuorittavan” ratkaisun • DEA-RAM taas käyttää tehokasta rintamaa

20. Yhteenveto DEA-RAM • Resurssien allokointimalli, joka pyrkii ottamaan huomioon teknisen tehokkuuden, tulostavoitetehokkuuden (ja tasapainoisuuden) • Kehitetty additiivisenDEA-mallin pohjalta • Pyrkii paikkaamaan aikaisempien mallien heikkouksia kuten edellä vertailtiin

21. Resurssien allokointimalli #2

22. Taustaa • DEA-mallin avulla pystytään määrittämään tuotantomahdollisuusjoukko • DEA:n lisäksi hyödynnetään monitavoitteista lineaarista ohjelmointia (MOLP) • Etsitään samanaikaisesti optimaalista ratkaisua usealle eri tavoitteelle • Yksiköillä mahdollisuus muokata tuotantoaan tuotantomahdollisuusjoukossa tietyin ehdoin • Resurssien allokointia ottaen huomioon kaikkien tuotantoyksiköiden tuotokset yhtä aikaa

23. Taustaa • Ratkottava ongelma samanlainen kuin edellä esitetyssä mallissa • Keskitetty päätöksentekoyksikkö • Määrittää esimerkiksi työvoimaresurssit tuotantoyksiköille kokonaistuotos maksimoiden • Miettiä kannattaako jokin yksikö sulkea jopa kokonaan • Tuotoksia ja panoksia enemmän kuin yksi • Tarvitaan monitavoiteoptimointia (MOLP) • Ratkaisutapa tässä mallissa täten eroaa edellisestä koska useaa tavoitetta optimoidaan samanaikaisesti • Useampia tavoitteita • Ei yhtä oikeaa vastausta vaan käypien ratkaisujen joukko

24. Tehokas resurssien allokointimalli • Määritelmä: allokointimalli, jossa päätöksentekijä pyrkii allokoimaan lisäresursseja tai olemassa olevia resursseja uudelleen saavuttaakseen optimaaliset tuotokset • Määritetään nykyisistä panoksista ja tuotoksista tuotantomahdollisuusjoukko ja muutosmahdollisuusjoukko (CCR/CRS tai BCC/VRS perustainen) • Oletetaan panokset resursseiksi ja tuotokset tavoitteiksi • Kun kyseessä olevia tavoitteita enemmän kuin yksi puhutaan monitavoiteoptimoinnista (MOLP)

25. Tehokas resurssien allokointimalli s.e. T • T on tuotantomahdollisuusjoukko • kuvaa tuotos- ja panosvektoreita allokoinnin jälkeen • on tuotantosuunnitelmien joukko, jonka yksikkö i voi saavuttaa. Tätä kutsutaan myös muutosmahdollisuusjoukoksi (transformationpossibility set) • r on sallittujen resurssimuutosten joukko

26. Tuotantomahdollisuusjoukko vs. muutosmahdollisuusjoukko • Tuotantomahdollisuusjoukko Tkuvaa kaikki teknisesti käyvät tuotantojoukot • Muutosmahdollisuusjoukko Fkuvaa yksikön pystyvyyttä muuttaa tuotantoaan rajoitteiden rajoissa

27. Tehokas resurssien allokointimalli – case 1 & 2 • Case 1 • Suhteelliset skaalaukset sallittuja tuotoksissa ja panoksissa • Näin rakennetaan muutosmahdollisuusjoukko F • Case 2 • Yksikön tekninen tehokkuus pidetään vakiona • Näin rakennetaan muutosmahdollisuusjoukko F • Molemmissa tapauksissa katsotaan tuotantomahdollisuusjoukot CCR/CRS ja BCC/VRS malleihin perustuen

28. Case 1 • Suhteellinen tuotosten ja panosten skaalaus sallittu ja rajoitettu • δ kuvaa pienimmän suhteen panosten muutokselle, joka toimii ylärajana tuotosmuuttujille • Saadaan muutosmahdollisuusjoukko F Esimerkkirajoitteet:

29. Case 1 • Ehdot tuotantomahdollisuusjoukolle • CCR/CRS-tapauksessa • BCC/VRS-tapauksessa

30. Case 1 • MOLP-ongelma saadaan muotoon • Lisäehdot BCC/VRS:lle

31. Case 1 • Resurssien allokoinnin ratkaisu: • Suurimman marginaalituoton omaavalle yksikölle allokoidaan ensimmäisenä lisäresurssit kunnes yläraja saavutetaan • Jne. kunnes kaikki resurssit jaettu • Esimerkin tulokset:

32. Case 1 • Marginaalituotto graafisesti tarkoittaa jyrkintä kulmakerrointa pisteen ja origon kautta piirrettynä (CCR-CRS) • BBC-VRS-tapauksessa tuotantomahdollisuusjoukko kuitenkin lisärajoitteena

33. Case 2 • Tehokkuus pidetään vakiona epätehokkuusluvun σ avulla resursseja allokoidessa • Tehokkuus θ=1/(1+σ) • Lisärajoitteet: • Lisäehdot BCC/VRS:lle • Myös itse MOLP-ongelma muokkautuu vastaavasti rajoitteiden pohjalta

34. Case 2

35. Tehokas resurssien allokointimalli – esimerkkisovellus • Resurssien allokointi supermarketeissa • 25 myymälää • Kaksi tuotosmuuttujaa • Liikevaihto • Voitto • Kaksi panosmuuttujaa • Työvoima • Koko • Yksiköt eivät voi vaikuttaa havaittuihin epätehokkuuslukuihin • Molemmissa tapauksissa tavoite on maksimoida liikevaihto ja voitto • ParetoRace menetelmänä optimointiongelman ratkaisun löytämisessä

36. Supermarkettien resurssiallokointisovellus • Model 1: • Case 1 ja CRS • 1% muutokset kaikkien panosten summaan sallittuja (r) • Panokset rajoitettuja • 10 % lasku sallittu • 30 % kasvu sallittu • Model 2: • Case 2 ja VRS • Koko vakio • Työtuntien summan muutokset rajoitetaan yhden prosentin kasvuun (r) • Työtunnit rajoitettuja • 10 % lasku sallittu • 30 % kasvu sallittu • Ongelma siis käytännössä työvoiman uudelleen sijoittelun optimointi

37. Supermarkettien resurssiallokointisovellus

38. Supermarkettien resurssiallokointisovellus • Model 1: • Solution 1 • Ratkaisu perustuen liikevaihtoon • Solution 2 • Ratkaisu perustuen voittoon • Solution 3 • Ratkaisu perustuen molempiin tekijöihin • Tehokkaat yksiköt saivat lisäresursseja • Yksikään tehoton yksikkö ei saa lisäresursseja jokaisessa ratkaisuvaihtoehdossa

39. Supermarkettien resurssiallokointisovellus 3, 10, 23, 25 CCR-tehokkaita

40. Supermarkettien resurssiallokointisovellus • Model 2 • Solution 1 • Ratkaisu perustuen liikevaihtoon • Solution 2 • Ratkaisu perustuen voittoon • Myös jotkin epätehokkaat yksiköt saavat lisää työvoimaa • Tulokset vaihtelevat ratkaisujen 1 ja 2 välillä

41. Supermarkettien resurssiallokointisovellus 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 23, 25 BCC-tehokkaita

42. Yhteenveto • DEA-mallin ja monitavoiteoptimoinnin yhdistävä menetelmä resurssiallokoinnille • Kaksi menetelmää • Suhteellisiin muutoksiin perustuva menetelmä • Vakiotehokkuuksinen menetelmä • Nämä muodostavat reunaehdot tehtäville (Case 1 & 2) • Käytännön sovellus, jossa molempia menetelmiä hyödynnettiin

43. Kotitehtävä • GolanynjaTamirin DEA-RAM-malli • Minkähaasteenresurssienallokointimallitkohtaavatmonentuotoksenmalleissa? • Miksi DEA-RAM-mallinjaMandellinmallinlopullisetkokonaistuotosarvoteroavat? Esitäasiasanallisestija/tai graafisesti • KorhosenjaSyrjäsentehokasresurssienallokointimalli • Mitenesitelmässäesitetyntehokkaanresurssienallokointimallin case 2:ssa määritetäänyksikön E uudelleenallokoidutpanos- jatuotosarvot? • Mitenselittäisittuotos/panossuhteenmuutokset case 2:n tuloksissaesim. yksikölle A vaikkaehtona on, ettätehokkuussäilyyvakiona? (Case 2 = artikkelinkpl 3.2 (vakiotehokkuus))

44. Lähteet • GolanyjaTamir (1995): Evaluating efficiency-effectiveness-equality trade-offs: a data envelopment analysis approach, Management Science 41/7, 1172-1184. • Korhonen ja Syrjänen (2004): Resource allocationbased on efficiencyanalysis, Management Science 50/8, 1134-1144.