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11. Grundlagen der Quantenmechanik

11. Grundlagen der Quantenmechanik. Klassische Mechnik Quantenmechanik. Wellenfunktion Komplexwertig Y (r,t). Teilchen. Punkt im Phasenraum. Evolutions gleichung. Hamilton Gleichungen. Schrödingergleichung. Mess grössen. Operatoren. Funktionen von r,p.

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11. Grundlagen der Quantenmechanik

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Presentation Transcript

  1. 11. Grundlagen der Quantenmechanik Klassische Mechnik Quantenmechanik Wellenfunktion Komplexwertig Y(r,t) Teilchen Punkt im Phasenraum Evolutions gleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung Mess grössen Operatoren Funktionen von r,p Mögliche Messwerte: Eigenwerte

  2. Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Für zeitunabhängiges Potential Wiederholung komplexe Zahlen: x Imaginärteil wt Realteil Zeitabhängige Schrödingergleichung: Ansatz: Beobachtbar: Vektorlänge Unsichtbar: Rotation mit t

  3. Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) löst: Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Y(x)=Aeikx + B e-ikx Mit Zeitabhängigkeit:

  4. Darstellung einer Ebenen Welle im Ort Realteil Imaginärteil Alternative Darstellung: Farbkodierung der komplexen Zahlen |Y(x)|2 = const. = 1 Y(x) = eikx = sin(x) + i cos(x) -> |Y(x)|2 = const. = 1 Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

  5. Aufbau eines Wellenpaketes Y(x) = å eikx d.h. die Phasengeschwindigkeit ist Energieabhängig -> Dispersion

  6. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Y(x)=Aeikx + B e-ikx 0 für 0·x¸L V(x)= Y(x·0)=Y(x¸L)=0 1 sonst Randbedingung 1 Rand- bedingung 2 Quantenzahlen n Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten Y(x=0) = 0 ) A+B=0 ) Y(x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx) Y(x=L) = 2iA sin(kL) = 0 ) kL= np (n=1,2,3 ...)

  7. hängt von En (n2) ab! Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung • Bemerkungen: • Unschärfe Relation Ort/Impulsk= np/L (n=1,2,3 ...) • Nullpunktsenergie • Woher kommt die Quantisierung?? • Zeitentwicklung der Zustände? Mögliche Energienivieaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

  8. Real Imaginärteil Aufenthaltswahrscheinlichkeit http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/stationary.html

  9. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung • Bemerkungen: • Unschärfe Relation Ort/Impulsk= np/L (n=1,2,3 ...) • Nullpunktsenergie • Woher kommt die Quantisierung?? • Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.B. Barriere aufziehen? Mögliche Energienivieaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

  10. Teilchen in 2 dim Potentialtopf (kx , ky) = (0.86 , 0.5) (sx , sy) = (2l , 2l)        http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/potential.htm

  11. Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

  12. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E(x) (II) (I) Bereich (I): V(x)=0 ) E0 Bereich (II): a2 x 11.4. Potentialstufe YI(x)=A eikx + B e-ikx YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)

  13. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung 11.4. Potentialstufe E(x) (II) (I) Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 Bereich (II): a2 YII(x)=C eiax + D e-iax x Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall a) E<E0 ik+a ik-a a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert C=0 Æ (i)Æ (ii)) ik(A-B)=-a (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

  14. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E(x) (II) (I) E0 a2 x ik+a ik-a 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) • Potentialwall reflektiert vollständig • Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) Energieerhaltung??? D E D t > ~ ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall a) E<E0 a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert C=0 Æ (i)Æ (ii)) ik(A-B)=-a (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

  15. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E(x) (II) (I) E0 a2 x Fall b) E>E0 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): YII(x)=C eiax + D e-iax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

  16. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung 11.4. Potentialstufe E(x) (II) (I) Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 Bereich (II): a2 YII(x)=C eiax + D e-iax x Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i)Æ (ii)) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

  17. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E(x) (II) (I) |A|2 E0 |B|2 |D|2 a2 x 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): YII(x)=C eiax + D e-iax • Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) • Wellenfunktion YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i)Æ (ii)) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

  18. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E(x) (II) (I) |A|2 E0 |B|2 |D|2 a2 x 11.4. Potentialstufe Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): YII(x)=C eiax + D e-iax • Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) • Wellenfunktion Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)

  19. Wellenpaket, Potentialstufe E = ½ Ekin Klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen! Ort Impuls + auf Stufe zu - reflektiert

  20. Wellenpaket, Potentialstufe BERGAB! Klassisches Teilchen würde beschleunigt weiterlaufen!

  21. Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude

  22. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E(x) (II) (I) E0 x 11.5. Tunneleffekt Idee: kann man die Welle “freisetzen”??

  23. Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung Stationäre Schrödingergleichung E0 0 a x Höhe 0.3eV, Breite 1nm (I) (II) (III) 11.5. Tunneleffekt YI(x)=A eikx + B e-ikx YII(x)=C eiax + D e-iax YIII(x)=A‘ eikx Randbedingungen: YI(0)=YII(0) , YII(a)=YIII(a) Transmissionskoeffizient (E<E0) für aa >>1 (dicke Barriere)

  24. Transmission hängt ab von: • Barrierenhöhe (Exponentiell) • Barrierenbreite • Masse Makroskopisch irrelevant

  25. Ekin<E • Fragen: • Energieerhaltung ??? • Wie lange braucht das Teilchen?

  26. Wellenfunktion und Transmission als Funktion der Barrierenhöhe E0 x (I) (II) (III) 0 a

  27. Tunneln eines Wellenpaketes Überhöht V = 2E, d = l http://rugth30.phys.rug.nl/quantummechanics/tunnel.htm#Potential%20barrier

  28. Tunnels eines Gauss Wellenpaketes im Ortsraum Mittlere Energie des Wellenpaketes

  29. Orts und Impulsraum:

  30. Mittlere Energie nahe an Schwellenhöhe Durch Mehrfachreflexionen wird ein Teil der Wellenfunktion für einige Zeit unter der Barriere gefangen

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