___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana

1. ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lez. 9 - Le procedure GLS di trasformazione Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari

2. L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE Torniamo ad affrontare il caso della autocorrelazione. Abbiamo già visualizzato il fenomeno: L’autocorrelazione può risultare da: Oppure, in termini più generali, si può avere: NB: stiamo ipotizzando un PROCESSO AUTOREGRESSIVO

3. L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE • La maggior parte della correlazione trasmessa da errori precedenti è catturata (nei campioni) dall’impatto di et-1 • Eccezioni: • Correlazioni stagionali o trimestrali; • Correlazioni spaziali (hanno significati complessi) • Nella maggior parte dei casi, correzioni AR(1) sono sufficienti

4. L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE • Autocorrelazione Positiva • Se rho è positivo abbiamo che gli errori tendono a mantenere lo stesso segno in osservazioni contigue (abbiamo visto varie volte); (relazione funzionale ??) • shock esterni dispiegano effetti per molto tempo (autocorrelazione genuina); • l’ispezione visiva mostra “clustering effects” (gruppi di errori con stesso segno).

5. L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE Autocorrelazione Negativa • Se rho è negativo abbiamo termini di errore che tendono a cambiare segno (da negativi diventano positivi) per osservazioni contigue. • Esiste un pattern ciclico nella distribuzione degli errori; • Problemi particolarmente rilevanti nel caso dei dati economici; Vi presento un “signore” che troveremo più avanti: Il correlogramma

6. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 5 10 15 20 L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE Caso con rho > 0 e vicino all’unità e ( t ) = 0 . 9 * e ( t - 1 ) + u ( t )

7. L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE Caso con rho < 0 e vicino a - 1 e ( t ) = - 0 . 9 * e ( t - 1 ) + u ( t ) 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 5 10 15 20

8. L’AUTOCORRELAZIONE: DEFINIZIONE • Proviamo a fare qualche esperimento con E-views • Generiamo serie utilizzando il generatore di numeri casuali nrnd… • Cosa succede se rho: • sale verso l’unità? • varca l’unità? • diventa negativo? • varca l’unità col segno meno davanti? • STUDIEREMO BENE PIU’ AVANTI

9. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI DIAGNOSI • Abbiamo già stabilito che i coefficienti sono unbiased; • Possiamo utilizzare gli errori osservati per diagnosticare la presenza di autocorrelazione; • Test: • DW • LM (ne abbiamo già parlato) • In ambedue i casi si studia la relazione tra residui e valori ritardati dei residui stessi (tuttavia il test LM è più generale)

10. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI IL TEST DW Come è costruito? Si parta considerando che:

11. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI Si sviluppi ora il numeratore:

12. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI • dw è uguale a 2 meno due volte la correlazione fra et e et-1 • dw è stato prefigurato per diagnosticare autocorrelazione del 1° ordine, ma è ora utilizzato come un test generale di specificazione del modello; • Regola decisionale: quando c’è autocorrelazione?? • La statistica dw ha una distribuzione conosciuta (con bande di incertezza che dipendono dalla numerosità campionaria) • La statistica dw è distribuita simmetricamente intorno a 2 • Valori superiori a 2 indicano autocorrelazione negativa; • Valori inferiori a 2 indicano autocorrelazione positiva; • Eviews calcola il valore (proveremo a farlo anche manualmente).

13. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI

14. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI

15. L’AUTOCORRELAZIONE: DIAGNOSI • NB: il test DW non è valido quando è presente una variabile dipendente ritardata • Si può usare il Durbin-h (si distribuisce secondo una normale) • dove è la varianza del beta stimato sulla variabile ritardata

16. L’AUTOCORRELAZIONE: RIMEDI Abbiamo già discusso della possibilità di trattare il problema della autocorrelazione per mezzo di trasformazioni GLS. Partiamo da un modello generico Dove

17. L’AUTOCORRELAZIONE: RIMEDI • Cochrane-Orcutt Method (rho sconosciuto): • Step 1: Applicare OLS al modello originale e calcolare: • Dove et sono i residui (autocorrelati) del modello originale

18. L’AUTOCORRELAZIONE: RIMEDI Step 2: Ritardare il modello di un periodo e moltiplicare per il rho stimato: Step 3: sottrarre il modello da quello originale e ottenere il modello “rho-differenced” :

19. L’AUTOCORRELAZIONE: RIMEDI Otteniamo: dove: Step 4: procedere alla stima con OLS (nel modello trasformato gli errori non sono correlati serialmente) E-views ripete la procedura fino a quando i beta diventano stabili (convergono)

20. L’AUTOCORRELAZIONE: RIMEDI • METODO DI HILDRETH-LU • Equivalente al metodo Cochrane-Orcutt • Usa il modello rho-differenced, e trova il valore di rho che minimizza SSR del modello trasformato

21. L’ETEROSCHEDASTICITA’: DEFINIZIONE L’Eteroschedasticità costituisce una delle due possibili violazioni dell’assunzione E(ee’)=σ2I Specificatamente è la violazione dell’assunzione di varianza costante degli errori (già studiato diverse volte) Se gli errori sono eteroschedastici, allora OLS produce ancora coefficienti corretti, ma non BLUE Gli SE dei coefficienti sono distorti (non possiamo fare t-tests).

22. L’ETEROSCHEDASTICITA’: DIAGNOSI Ci sono molti test che segnalano la presenza di eteroschedasticità Tutti presuppongono che si determinino gli errori dell’equazione stimata e si controllino le varianze (con metodologie alternative)

23. L’ETEROSCHEDASTICITA’: RIMEDI GLS ancora una volta • Si consideri il caso semplice bivariato • Yi=β1+β2X2i+ei • Con e eteroschedastico • si definisca • Abbiamo: Var(ei/σi) = 1/σi2 Var(ei)= σi2(1/σi2) = 1 Perciò: dove Può essere stimato con OLS

24. L’ETEROSCHEDASTICITA’: RIMEDI • Ora, l’errore è omoschedastico. Infatti: • Ne consegue che si può applicare OLS al modello asteriscato; • gli stimatori sono GLS (efficienti); • inoltre posso costruirmi correttamente gli SE e fare inferenza; • problema: i sigma sono sconosciuti e bisogna stimarli; • White suggerisce di sostituire i sigma con Var(et)1/2; • abbiamo in questo caso FLS (distorti, ma consistenti); • necessità di campioni molto grandi; • altrimenti devo conoscere forma eteroschedasticità; • fare bene esercitazione pag. 293.