La sezione aurea

1. Eugenio Mercuri La sezione aurea

2. Eugenio Mercuri Il “ Bello “ … che cos’ è ? Dov’ è ? La natura ? La musica ? L’ arte ? L’ uomo ? ………… ………… E la matematica che cciazzecca?

3. La Natura … Eugenio Mercuri

4. La Musica … Eugenio Mercuri

5. L’ Arte … Eugenio Mercuri

6. L’ Uomo … Eugenio Mercuri

7. Esiste un legame tra queste molteplici creature della natura e dell’ingegno umano ? • Ebbene si, il loro “ denominatore comune ” è un numero irrazionale : Eugenio Mercuri

8. Excursus storico matematico • Gli architetti dei faraoni egizi . • La definizione del rapporto aureo vien fissata attorno al VI secolo a.C., ad opera della scuola pitagorica (i discepoli e seguaci di Pitagora), nell’Italia meridionale, dove secondo Giamblico fu scoperto da Ippaso di Metaponto , che associò ad esso il concetto di incommensurabilità. • In greco Pheidías, in latino Phidias. Scultore greco nato ad Atene poco prima o poco dopo il 500 a.C ne deriva il simbolo Ǿ il numero di FIDIA Eugenio Mercuri

9. Euclide, intorno al 300 a.C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi Elementi,a proposito della costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di divisione di un segmento in "media e ultima ragione“ Eugenio Mercuri

10. Sezione aurea di un segmento: Eugenio Mercuri

11. La sezione aurea si diffonde nell'800 anche nel campo dell'arte, comparendo nelle opere di molti artisti in cui contrariamente al passato, se ne può affermare la presenza per ammissione dello stesso artista; particolare contributo alla sua diffusione fu dato dalla convinzione che la proporzione aurea, in particolare il rettangolo aureo , costituisse un canone estetico "naturale", per la sua ricorrenza in natura, che studi recenti avevano certificato, e che quindi le sue proporzioni conferissero uno straordinario senso di armonia in tutto ciò che la possedeva. Eugenio Mercuri

12. La successione di Fibonacci • Una successione è una sequenza di numeri individuati per l a posizione che occupano, essi possono essere generati o mediante una formula o mediante un legame con gli elementi che li precedono. • Quella di Fibonacci è generata dal legame: • Fn = Fn-1 + Fn-2 con n > 1 • Partendo da due numeri (0,1) il generico termine è uguale alla somma dei due precedenti. • O, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, 55, …….. Eugenio Mercuri

13. Alcune stupefacenti proprietà dei n.d.F. • Dati 4 n.d.F. consecutivi, il prodotto degli estremi è = a quello dei medi. • La sequenza dei quadrati dei n.d.F, e si costruisce una sequenza sommando a due a due i numeri della prima sequenza, la sequenza risultante è costituita da tutti e soli i numeri di Fibonacci di posto dispari • Ogni numero di Fibonacci corrisponde alla somma dei numeri che lo precedono eccetto l'ultimo, aumentata di 1. • Ecc. Ecc. … Eugenio Mercuri

14. Il rinnovato interesse per il numero aureo in epoca rinascimentale può essere ascritto ad un altro libro, il De divina proportione di Luca Pacioli (pubblicato a Venezia nel 1509 e corredato di disegni di solidi platonici di Leonardo da Vinci), nel quale si divulgava a una vasta platea di intellettuali l'esistenza del numero e delle sue innumerevoli proprietà • La relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci, rimasta ignota anche a Luca Pacioli, fu scoperta nel 1611 da Keplero Eugenio Mercuri

15. L'uomo di Vitruvio in cui una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l'altezza  dell 'uomo (AB) è pari alla distanza (BC) tra le estremità delle mani con le braccia distese . La retta x-y passante per l'ombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe aperte. Eugenio Mercuri

16. Meno famosa, ma non meno esplicita, è la figura dell'uomo di Rutilio il Vecchio, nel quale la figura umana è inscritta in una stella a cinque punte. Eugenio Mercuri

17. Le Corbusier sviluppò il Modulor all'interno della lunga tradizione di Vitruvio, l'uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, i lavori di Leon Battista Alberti, e altri tentativi di trovare proporzioni geometriche e matematiche relative al corpo umano e usare queste conoscenze per migliorare sia l'estetica che la funzionalità dell’ architettura. Eugenio Mercuri

18. Una famosa rappresentazione della figura umana in proporzioni auree è anche la  di Venere di Botticelli nella qualesi possono individuarediversi rapporti aurei (1:1,618) . Oltre all’altezza da terra dell’ombelico e l’altezza complessiva, è aureo anche il rapporto tra  la distanza del collo del femore al ginocchio e la lunghezza dell’intera gamba o il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza dell'intero braccio. Eugenio Mercuri

19. Se Altri esempi del nostro corpo possono essere ricondotti alla sezione aurea. misuriamo le dita della nostra mano, noteremo che i rapporti tra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare sono aurei. Eugenio Mercuri Così come è aureo il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore.

20. La prova più evidente di come il rapporto aureo può influenzare in modo notevole il nostro occhio è data dal volto umano.  L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si credeva fosse dovuto ad un puro istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che definiamo "bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente legati alla proporzione aurea. Eugenio Mercuri

21. LA SEZIONE AUREA IN NATURA • Cosa hanno in comune una galassia, l'accrescimento biologico di alcune specie animali, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi di girasole? Tutti questi  presentano schemi riconducibili a quello della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci. • Ecco qui rappresentata una serie  di esempi in cui l’espressione matematica della sezione aurea si manifesta nella bellezza e della eleganza della natura Eugenio Mercuri

22. Eugenio Mercuri

23. Eugenio Mercuri

24. Sulla testa di un tipico girasole, per esempio, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema:  89 spirali che si irradiano ripide in senso orario; 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso orario ma meno ripido.  Il più grande girasole che si sia mai conosciuto aveva 144, 89 e 55 spirali. Eugenio Mercuri

25. Forse si troverà ancora qualche principio che colleghi tutti gli esempi naturali di fenomeni aurei e indichi altre manifestazioni non ancora scoperte. Forse gli esseri umani hanno percepito inconsciamente tale principio in questi fenomeni naturali e se ne sono serviti come metro di giudizio per valutare le opere d'arte. • Anche se non si trova mai una spiegazione universale, lo studio dei fenomeni aurei e delle successione numerica di Fibonacci può essere visto come un nobile esercizio nella ricerca di unità e di rapporti matematici. In fin dei conti, la ricerca era una caratteristica fondamentale della filosofia greca e anima tuttora la scienza moderna. Eugenio Mercuri

26. Musica, sezione Aurea e n. d. F. • Molti degli intervalli musicali naturali sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una sesta maggiore di La e Do 5/3, una sesta minore di Do e Mi 8/5). • L'uso della serie di Fibonacci nel sistema ritmico mi sembra invece giusto e naturale perché il ritmo è legato alla naturalità del nostro respiro • Anche la musica Rock, specialmente nel cosiddetto rock progressivo, si è confrontata con gli aspetti mistico-esoterici della sezione aurea, e più precisamente dalla serie di Fibonacci. • L’esempio più emblematico è la musica dei Genesis, che hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note Eugenio Mercuri

27. Violino e pianoforte • Nel caso dei violini alcuni ritengono che la piacevolezza del suono derivi dalla sapienti capacità dei liutai di costruire la sua cassa armonica secondo particolari geometrie; per esempio l'arco che ne costituisce la base avrebbe, in molti casi, il suo centro di curvatura proprio in posizione aurea rispetto la lunghezza complessiva dello strumento,inoltre anche lo stesso Stradivari si sa per certo che cercasse di posizionare gli occhielli del violino sempre in tale posizione. • Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci Eugenio Mercuri

28. La sezione aurea in architettura Eugenio Mercuri

29. La sezione aurea nella pittura Eugenio Mercuri

30. Eugenio Mercuri

31. La sezione aurea in psicologia • Theodor Fechner, pioniere della psicologia sperimentale, che tentò di confermare sperimentalmente, come si credeva fermamente, la supposta superiorità estetica del rettangolo aureo attraverso una serie di indagini volte a dimostrarne la preferenza diffusa nell'uomo. • Il metodo della scelta (Wahl): richiesta diretta ai soggetti di scegliere quale fra i rettangoli mostrato fosse per loro preferibile. • Il metodo della produzione (Herstellung): si chiede ai soggetti di disegnare il rettangolo che ritengono più gradevole. • Il metodo dell'uso (Verwendung): indagine oggettiva su campo misurando numerosi oggetti di uso quotidiano per verificarne la presenza del rapporto aureo. Eugenio Mercuri

32. I risultati dell’esperimento Eugenio Mercuri

33. I NUMERI DI FIBONACCI E LA BORSA DI MILANO • Un’applicazione moderna dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da Leonardo Fibonacci da Pisa, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa. Usando le onde di Elliot ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98. Eugenio Mercuri

34. I NUMERI DI FIBONACCI NEL PROCESSORE PENTIUM • I numeri di Fibonacci sono utilizzati anche nel sistema informatico di molti computer. In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto "Fibonacci heap" che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione degli algoritmi. Eugenio Mercuri

35. Nel 1974 il matematico Roger Penrose scoprì, utilizzando figure legate a φ, la possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla, attraverso l'uso di figure diverse, detta tassellatura di Penrose. Eugenio Mercuri

36. Solo le persone superficiali non giudicano dalle apparenze. • Il mistero del mondo è il visibile, non l’invisibile. • Oscar Wilde Eugenio Mercuri