La sezione Aurea

1. La sezione Aurea

2. Matematica Geometria: La costruzione con riga e compasso Il decagono: un poligono d’oro Seno, coseno e tangente di alcuni angoli: 36°, 18°, 9°, 1° Aritmetica Frazioni Continue Radici nidificate Arte La sezione aurea nell’arte classica, nell’arte rinascimentale e moderna Piet Mondrian e l sezione aurea Astronomia Keplero: il legame tra sezione aurea e successione di Fibonacci Le galassie a spirale: la sezione aurea dell’universo Filosofia: Thomas Kuhn e il ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana Sezione Aurea

3. La sezione aurea di un segmento è la sua divisione in 2 parti in modo che il rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga sia pari al rapporto tra la parte più lunga e la parte più corta: Costruzione con riga e compasso: AB : AC = AC : CB 2 1 3 1 3 2 4 4 Geometria: la costruzione con riga e compasso Dato il segmento, trovare la sua sezione aurea Data la sezione aurea, trovare il segmento

4. Geometria: il decagono, poligono d’oro Dimostriamo che il lato del decagono inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio della circonferenza, ovvero che risulta: AC : BC = BC : (AC – BC) Tracciata la bisettrice dell’angolo alla base B, otteniamo il triangolo ABD che è isoscele per avere 2 angoli congruenti ABD  DAB. Ne segue che BD  AD. Anche il triangolo CBD è d’altra parte isoscele per avere congruenti due angoli BDC  BCD. Ne segue che BD  BC Mostriamo ora che i triangoli BAC e CBD sono simili: • l’angolo DBC  BAC poiché entrambe misurano 36°; • l’angolo CDB  ACB poiché entrambe misurano 180° - (36° + 72°) = 72°; • l’angolo in C è comune; I 2 triangoli sono pertanto simili. Possiamo pertanto impostare la proporzione seguente: AB : BC = BC : DC Sostituendo a DC = AC – AD = AC –BD = AC - BC, si ottiene: AB : BC = BC : (AC – BC) r : l10 = l10 : (r - l10) l102 = r·(r - l10) l102 + r·l10 – r2 = 0

5. Geometria: seno, coseno e tangente di alcuni angoli • Dal teorema di Carnot applicato al triangolo ABC: l102 = 2r2(1 – cos36°). Poiché sappiamo che l102 = 1/φ2, si ottiene che: • Dalla trigonometria si ricava poi:

6. Geometria: il decagono, poligono d’oro Determiniamo ora il valore di cos 1°. A questo scopo ricordiamo che: Scegliendo α = 1°, si ottiene: Poichè 1° è un angolo piccolo dovrà risultare cos1° circa pari a 1. Per ottenere un’approssimazione del valore preciso scriviamo cos1° = 1 - , con  ≈ 0. Sostituendo nella equazione, si ricava: Essendo  ≈ 0, 3 sarà ancora più piccolo e dunque si può trascurare:

7. La sezione aurea è un numero davvero magico ! Esiste infatti una bellissima formula basata su una frazione continua infinita che fornisce esattamente il valore della sezione aurea utilizzando solo il più semplice dei numeri: 1 Aritmetica: frazioni continue

8. La sezione aurea non finisce mai di stupire ! Non solo frazioni continue, ma anche radici nidificate possono esprimerne il valore ! Aritmetica: radici nidificate

9. Il Partenone è il più celebre monumento dell'architettura Ellenica e contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti. La proiezione ortogonale della facciata mostra come essa sia stata concepita ispirandosi ad un rettangolo aureo, in modo che la larghezza e l'altezza stiano nel rapporto: :1 Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

10. La sezione aurea affascinò pittori come Botticelli (1445-1510) che la rappresentò ne La Venere. Misurando l’altezza da terra dell’OMBELICO e l’ALTEZZA COMPLESSIVA il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il rapporto tra la distanza tra il COLLO DEL FEMORE e il GINOCCHIO e la lunghezza dell’INTERA GAMBA o anche il rapporto tra il GOMITO e la PUNTA DEL DITO MEDIO e la lunghezza del BRACCIO. Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

11. Le immagini di Seurat sono prive di volume, come ritagliate in un composto alternarsi di gruppi, ordinatamente divisi in sequenze compositive che rispettano le proporzioni della sezione aurea. Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

12. Alcuni artisti moderni come Piet Mondrian (1872-1944) utilizzano il rettangolo aureo nelle loro opere. In questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli aurei. Arte: Piet Mondrian e la sezione aurea • Anche se in Mondrian si ha il senso aureo della precisione del calcolo, il pittore non fa matematica, ma esprime il sentimento della perfezione matematica e quindi della bellezza. Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori e superfici. Solo in modo più nitido e più forte. (Piet Mondrian)

13. Il lavoro matematico di Keplero recò notevoli progressi nella teoria del rapporto aureo. Il teso di una lettera scritta nel 1608 a un professore di Lipsia rivela che egli scoprì il rapporto tra  e i numeri di Fibonacci. Scrive infatti Keplero La geometria divina è congeniata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formano il terzo e gli ultimi due addizionati, il termine successivo, e così via indefinitamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata..più si va avanti a partire dal numero 1, più l’esempio diventa perfetto. Astronomia: Keplero, sezione aurea e Fibonacci

14. Le galassie in generale seguono la spirale logaritmica ( = 0eb) Sembra infatti che la spirale logaritmica sia naturalmente associata alle galassie che si comportano come sistemi parzialmente rigidi, ovvero con una velocità angolare costante per una grande percentuale del raggio. Rettangoli di Fibonacci Spirale logaritmica Galassia M51 Astronomia: galassie a spirale

15. “La Geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l’altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello” Per esemplificare la sua teoria delle rivoluzioni scientifiche come progressivo superamento di paradigmi, Thomas Kuhn richiama, nel suo libro “La rivoluzione Copernicana”, il lavoro di Keplero. Nella descrizione delle tre leggi che governano i moti planetari è infatti possibile riconoscere lo sviluppo e l’applicazione del un nuovo paradigma Copernicano capace di spiegare anche fenomeni non interpretabili alla luce del precedente paradigma Tolemaico. Filosofia: Thomas Kuhn e ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana