Sezione aurea

1. Si chiama sezione aurea di un segmento AB, quella parte del segmento AM media proporzionale tra l'intero segmento AB e la parte restante,essendo AM > MB. (a – x) = MB a = AB x = AM AB : AM = AM : MB a : x = x : (a - x) Sezione aurea Sezione aurea di un segmento

2. Svolgiamo la proporzione: x² = a(a – x) x² + ax – a² = 0 Si ricava un'equazione di 2°grado. Svolgiamola: x₁,₂ = -a ± √a²+ 4a² = -a ± √5a² = -a ± a√5 = a(±√5-1) 2 2 2 2 Tralasciamo il segno negativo poiché non può rappresentare la misura di un segmento nella geometria euclidea. La sezione aurea di un segmento = (√5-1)a 2

3. Funzioni goniometriche dell'angolo di 18° • Il triangolo OBA è isoscele poichè i due lati OB e OA sono i due raggi della circonferenza goniometrica.BȎH=18°e BȎA=36°; in quanto decima parte di un angolo giro, la base del triangolo AB è il lato di un decagono regolare inscritto in un circonferenza goniometrica di centro O e di raggio OB= 1. Dalla geometria si sa che il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio: AB = l = √5-1 • 2 = 0,618

4. Il seno dell'angolo di 18 ° sarà la misura del segmento BH il quale è la metà di AB poiché il triangolo è isoscele. BH=sen(18°)= ½ AB, AB= √5 -1 BH=½√5-1; sen (18°)= √5-1. 4 Per ricavarci il coseno dell‘angolo,ovvero la misura di OH, dobbiamo prendere in considerazione la 1° relazione fondamentale: cos²(18°)+(√5-1)²=1, cos(18°)=√1-(√5-1)²= √10+2√5 16 4 Svolgiamoilseno e ilcoseno 2 2 1 6

5. Tangente e cotangente Per calcolare la tangente dell’angolo di 18°, utilizziamo la seconda relazione fondamentale: =

6. Excursus storico-matematico A livello storico vi sono varie questioni: non si sa ,con sicurezza, se la sezione aurea fosse conosciuta e praticata prima dei greci,popolo che la utilizzava nelle sue opere. La definizione del rapporto aureo viene fissata attorno il VI secolo a.C, ad opera della scuola pitagorica . La definizione del rapporto aureo viene ricondotta allo studio del pentagono regolare , il cui numero dei lati simboleggiava l'amore e il matrimonio, dovuto all'unione del principio maschile e quello femminile(rispettivamente il 2 e il 3). Inoltre, il simbolo della setta pitagorica era la stella a cinque punte inscritta in un pentagono regolare. Le diagonali che formano la stella si intersecano in modo da formare un altro pentagono più piccolo e capovolto rispetto al primo. Se si tracciano le diagonali di quest'ultimo, ne viene fuori un altro pentagono ancora e così via fino all'infinito.

7. …... Intersecandosi l’un con l'altra, due qualsiasi di queste diagonali si dividono in due parti disuguali; il rapporto dell'intera diagonale con il segmento più lungo è uguale al rapporto di quest'ultimo con il segmento più breve, e questi rapporti si trovano in tutte le diagonali successive. Tale rapporto è detto sezione aurea e, da come abbiamo calcolato precedentemente, è un numero irrazionale uguale a 1,618. Infatti 5 +1 = 1,61 2 Quindi ,la sezione aurea è connessa con la geometria del pentagono: il rapporto aureo è pari al rapporto fra il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche fra AB e BD, fra AD e AC'e, a sua volta, fra AD e DC', e in un'infinità di relazioni simili. Euclide, intorno al 300 a.C, lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. La se zione aurea è strettamente legata alla successione di Fibonacci che è una successione di numeri interi naturali in cui un numero è il risultato della somma dei due precedenti. E’ una successione ricorsiva per cui per determinare l’n-esimo termine è necessario conoscere quelli che lo precedono. All’ aumentare di n il rapporto tra ogni termine ed il termine che lo precede tende ad av- vicinarsi a 1,618..ovvero alla sezione aurea.

8. . Esistono in geometria dei poligoni definibili GEOMETRIA: aurei, poiché presentano, in alcune delle loro parti, il rapporto aureo.Il caso più emblematico è il rettangolo aureo. Se si disegna un rettangolo con i lati,che stanno in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e in un altro rettangolo, simile a quello grande poiché anche i suoi lati stanno in rapporto aureo fra di loro.A questo punto,il rettangolo minore può essere di- viso in un quadrato e in un rettangolo avente, anch' esso, i lati in rapporto aureo, e così via fino all'in- finito. Per costruire il rettangolo aureo,si disegna un quadrato di lato ai cui vertici sono AEFD. Il la- to lo si divide in due, ove A'é il punto medio. Uti lizziamo il compasso, puntato in A'per disegnare un arco che da E intersechi il prolungamento DF in C. Con un squadra si disegna il segmento BC - lare a DF e il segmento EB perpendicolare a EF. EB:AE=AE:AB

9. In natura... Tale rapporto è stato ritrovato, tra l'altro,nella dimensio- ne delle foglie,nella distribuzione dei rami negli alberi, nella disposizione dei semi di girasole, perfino nel corpo umano. Infatti, la forma del pentagono è riscontrabile, molto spesso, in natura, come, ad esempio,in alcune pian te grasse(come nella foto). La spirale logaritmica non cambia aspetto nel corso della crescita, un fatto che spiega come mai si trovi così spesso in natura: nella morfologia della conchiglia del Nautilus e di alcuni mi crorganismi e perfino nella forma delle galassie!! Quindi in natura esistono organismi a forma di spirale fatta secondo i numeri di Fibonacci. Infatti, già dai tempi dell' antico Egitto, si assumeva l'organici smo della Natura e le sue leggi nu- meriche come fattori essenziali che preesistono a tutti gli eventi i quali se- guono sempre lo stesso divenire.

10. nell'arte... I greci pensavano che il rapporto aureo rappresen- tasse la proporzione “ideale”tra parti del corpo come il viso e il torso, o tra gli arti il corpo intero. Diversi dipinti sono stati effettuatati secondo la sezione aurea. In realtà è dimostrato che la percezione umana mo- stra una naturale preferenza e predisposizione verso le proporzioni in accordo con la sezione aurea. Gli artisti e i matematici del Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e Sandro Botticelli rimasero molto affascinati dalla sezione aurea.Allora essa era considerata una “divina proportione”. In particolare,Leonardo incorporò la sezione aurea in tre suoi capolavori: La gioconda, L'ultima cena e L'uomo di Vitruvio.

11. Nell'architettura... Nell'architettura del XX seco- lo, una delle più interessanti ap- plicazioni della sezione aurea fu senz'altro segnata dalla nascita del Modulor, letteralmente “modulo d'oro”. L'ideatore fu l'architetto svizzero Le Corbusier che si prefisse di utilizzare la sezione aurea e la successione di Fibonacci quale sistema su cui basare le proporzioni di tutti gli spazi, con l'intento di creare uno standard che fosse allo stesso tempo armonico e funzionale alle esigenze del vivere quotidiano. Lo stesso Corbusier utilizzò gli schemi del Modulor in di versi suoi progetti. La sezione aurea è già presente come ideale di bellezza nel Partenone diAtene; il rapporto fra lunghezza e larghezza nel Partenone corrisponde alla sezione aurea. nella grande piramide di Giza, costruita molti secoli prima del Partenone, il rapporto tra l'altezza di una facciata e la me tà di un lato della base corrisponde ancora una volta alle se zione aurea.

12. F I N E Francesca De Agostino V I