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PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES. Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y Físicas. Prof. Juan Moncada Herrera. REALIDAD – POBLACIÓN – PROBLEMA. VARIABLES. Aleatorias. No aleatorias. Probabilidades Distribuciones Parámetros. ANOVA. Pruebas de Hipótesis. Muestreo.
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PROBABILIDADES YDISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y Físicas Prof. Juan Moncada Herrera
REALIDAD – POBLACIÓN – PROBLEMA VARIABLES Aleatorias No aleatorias Probabilidades Distribuciones Parámetros ANOVA Pruebas de Hipótesis Muestreo Intervalos de Confianza MUESTRA ALEATORIA VARIABLES Datos INFERENCIA ESTADÍSTICA Estimadores Distribuciones Estadística Descriptiva
NOCIONES DE PROBABILIDADES Fuente: http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/INICIO.HTML; 04/12/2008
NOCIONES DE PROBABILIDADES ¿De qué se hacen cargo? Falta de información Azar Variabilidad INCERTIDUMBRE
NOCIONES DE PROBABILIDADES Los grandes aportes … Huygens (1629-1695) Pascal (1623-1662) Fermat (1601-1665)
NOCIONES DE PROBABILIDADES Los grandes aportes … J. Bernoulli (1654-1705) De Moivre (1667-1754) Newton (1643-1727)
NOCIONES DE PROBABILIDADES Los grandes aportes … Laplace (1749-1827) Gauss (1777-1855) Bayes (1707-1761)
NOCIONES DE PROBABILIDADES Los grandes aportes … Markov (1856-1922) Börel (1871-1956) Chebyshev (1821-1894)
NOCIONES DE PROBABILIDADES Los grandes aportes … Lèvy (1886-1971) Mises (1883-1953)
NOCIONES DE PROBABILIDADES Los grandes aportes … Feller (1906-1970) Kolmogorov (1903-1987)
NOCIONES DE PROBABILIDADES ¿Y qué es (qué son) …? Probabilidad = Medida de la incertidumbre
NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Clásico (Regla de Pascal) Frecuentista Bayesiano o subjetivo Axiomático
NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Clásico (Regla de Laplace) Laplace (1749-1827) Cuociente entre casos favorables y casos posibles, siempre que todos los casos sean igualmente probables.
NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Frecuentista Cuociente entre frecuencia observada del suceso y el total de observaciones del suceso cuando el experimento se realiza un número grande veces.
NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Bayesiano o subjetivo Bayes (1702-1761) Grado de creencia o juicio personal.
NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Axiomático • No se define probabilidad, propiamente tal. • Hay un conjunto de axiomas, de los que se deduce la teoría. Kolmogorov (1903-1987)
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Base empírica: Experimentos aleatorios Espacio muestral: A Suceso o Evento:
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades: Existe probabilidad de un suceso:
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades: Ejemplo: Se selecciona aleatoriamente un asistente a la clase de hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Evento A: Ser mujer Espacio muestral : {mujer, … , hombre} Número de elementos de A = Número de elementos de =
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Propiedades fundamentales: A y B eventos de un espacio muestral P() = 0 P() = 1 0 ≤ P(A) ≤1 P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(Ac) = 1 – P(A), Ac evento complementario de A
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Probabilidad Condicional: A y B eventos de un espacio muestral
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Independencia de eventos: A y B eventos de un espacio muestral A y B independientes si:
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Probabilidad Total: Teorema. Sea E1, E2,...,En una partición de E (esto significa que ij, Ei Ej , y Ei =E). Entonces: P(E) = P(E | Ei) P(Ei), para i = 1,2,...,n
NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Teorema de Bayes: Si E1, ... , En son n eventos mutuamente independientes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir, P(Ei) = 1, entonces, para un evento dado A:
Variables aleatorias Y Distribuciones de Probabilidades
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Variables aleatorias: Definición Discretas Continuas Recorrido de X es infinito Recorrido de X es finito o infinito numerable
X discreta X continua DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribuciones de probabilidades X discreta Función de probabilidad X continua Función de densidad
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución Acumulada Caso discreto:
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución Acumulada Caso discreto:
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución Acumulada Caso discreto: Caso continuo:
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Tendencia central X discreta Media Valor esperado Esperanza matemática X continua Propiedades:
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Tendencia central Mediana X discreta Moda X continua
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Posición Extremos Cuartiles Quintiles Deciles
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Dispersión Rango Varianza Propiedades: Desviación estándar
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Proceso de estandarización
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Variables aleatorias: Parámetros PARÁMETRO: Rasgo, característica, propiedad fija o constante de una población. Las medidas de resumen de una variable aleatoria son parámetros. Los parámetros determinan la distribución de probabilidades.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Variables aleatorias: Resumen • Definición-Contexto-Problema Discretas • Valores • Parámetros Continuas • Función de probabilidad • Función de densidad • Medidas de resumen • Distribución Acumulada
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Experimento de base: Todo experimento aleatorio que tenga sólo dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, que pueden denominarse Éxito y Fracaso. P[Éxito] = p P[Fracaso] = 1 – p = q Variable aleatoria – Definición: Número de Éxitos observados en un ensayo. Usos–aplicaciones: Muy poco. Electrónica, proceso binarios en general.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Variable aleatoria – Valores: 0 y 1 Parámetros: p: Probabilidad de éxito Notación: X Ber(p)
p(x) = px(1–p)1-x ; x = 0,1 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Función de distribución de probabilidades: Función de distribución acumulativa:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Propiedades: X Ber(p)
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Experimento de base: Realización de n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p. Variable aleatoria – Definición: Número de Éxitos observados en n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p. Usos – aplicaciones: Control de calidad, tratamientos de encuestas …
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Valores de la variable: 0, 1, 2, …, n Parámetros: n: Número de ensayos p: Probabilidad de éxito Notación: X bin(n , p)
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Función de distribución de probabilidades: Función de distribución acumulativa:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Cálculo de probabilidades acumulativas:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Propiedades: X bin(n , p)
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Experimento de base: Observación de la ocurrencia de eventos en un espacio (intervalo) determinado (fijo). Variable aleatoria – Definición: Número de eventos que ocurren de manera aleatoria e independiente, a una tasa constante , en un espacio o intervalo determinado. Usos –aplicaciones: Fenómenos de espera, fenómenos de transporte …
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Valores de la variable: 0, 1, 2, … Parámetros: : Tasa promedio de ocurrencia de los eventos Notación: X P()