1 / 51

HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI (SSTS 2305 / 3 sks )

HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI (SSTS 2305 / 3 sks ). Dra. Noeryanti, M.Si. Pengantar:

heath
Download Presentation

HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI (SSTS 2305 / 3 sks )

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSI (SSTS 2305 / 3 sks) Dra. Noeryanti, M.Si

  2. Pengantar: Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (atau nilai harapan) dan variansi. Harapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X da Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan .

  3. Kompetensi: Setelahmempelajarimateripokokbahasandisini, mahasiswadiharapkan: Mampumenggunakankonsep-konsepdasarnilaiharapanmatematis, variansidanKovariansisecarabenar. Mampudanterampildalammelakukanoperasihitungan-hitungan yang berkaitandengan rata-rata perubahacak, variansi, kovariansidanteoremaChebyshev . Terampildalammengerjakansoal-soaltugasdanlatihan.

  4. Daftar Isi Materi: • Rata-rata Perubah Acak • Variansi dan Kovariansi • Rata-rata dan Variansi dari • Kombinasi linier • Teorema Chebyshev

  5. 4.1. Rata-rata PerubahAcak Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis atau . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai .Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas. Contoh (4.1): Suatupercobaanduauanglogam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakanbanyaknyasisimuka yang muncul per lantunan, maka X dapatberharga 0, 1, dan 2 Misalkanpercobaanitumasing-masingmenghasilkansebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknyasisimuka per lantunan [=nilaiharapanmatematik] adalah

  6. E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X. Definisi (4.1): Jika X suatuperubahacakdenganfungsiprobabilitasf(x), maka nilaiharapan (atau rata-rata) perubahacak X adalah

  7. Contoh (4.2): Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi. Jawab: Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia. X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai Dari perhitungan diperoleh:

  8. Dibuattabeldistribusiprobabilitas X Tabel 4.1. DistribusiProbabilitas X Jadinilaiharapan (rata-rata) banyaknyastatistikawan yang dudukdalampanitiaadalah:

  9. Contoh(4.3) Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut: Jawab: menurut definisi Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya)) berumur 200 jam

  10. Teorema (4.1): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah Contoh (4.4): Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini: Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X

  11. Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut. Jawab: Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

  12. Contoh(4.5) Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas: Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3 Jawab: Nilai harapan g(x) = 4X+3 adalah

  13. Definisi (4.2): Jika X dan Y, perubahacakdenganfungsiprobabilitasgabunganf(x,y), makanilaiharapanperubahacak g(X,Y) adalah 1. Untuk X dan Y diskret 2. Untuk X dan Y kontinu

  14. Contoh (4.6): Jika X dan Y suatu perubah acak dengan distribusi peluang gabungan seperti tabel berikut: Tabel. 4.3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y Hitung nilai harapan g(X,Y) = XY

  15. Jawab:

  16. Contoh(4.7): Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang Jawab:

  17. Catatan: Jika dalam definisi (4.2) g(X,Y) = X, maka dan dimana: g(x) distribusi marginal X dan h(y) distribusi marginal Y

  18. 4.2. VariansidanCovariansi Variansiperubahacak X yang akandibahasdisinisangatbergunadalammemberikangambaranmengenaikeragamanpengamatandisekitarnilai rata-rata . Variansidariperubahacak X diberinotasiVar(X) atauakarpositipdarivariansi, disebutsimpanganbaku X. Definisi (4.3): Jika X suatuperubahacakdenganfungsipeluangf(x) dengan rata-rata , , makavariansi X adalah

  19. Teorema (4.2): Variansi perubah acak X adalah Bukti: (kasus diskret) karena dan Maka diperoleh

  20. Teorema (4.3): Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah a. untuk kasus diskret b. untuk kasus kontinu Bukti: Langsung menggunakan teorema (4.1) dan definisi (4.3)

  21. Definisi (4.4): Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah a. untuk kasus X dan Y diskret b. untuk kasus X dan Y kontinu

  22. Teorema (4.4): Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus: Bukti: a. untuk kasus X dan Y diskrit

  23. Karena Maka diperoleh: b. Untuk kasus X dan Y kontinu (seperti a) dg mengganti tanda jumlahan dengan integral)

  24. Contoh (4.8): Berikutiniperubahacak X menyatakanbanyaknyabagian yang cacatdarisuatumesinjika 3 sukucadangdisamplingdarirantaiproduksidandiuji. Kemudianhitungvariansinyapadatabeldibawahini Tabel 4.4. DistribusiProbabilitas X Jawab: Jadibanyaknyabagian yang cacatdarisuatumesinmempunyaivariansisebesar 0,4979

  25. Contoh(4.9) Permintaanmingguan Coca Cola (dalam liter), padajaringanpemasarandaerahmerupakanperubahacak yang dapatdinyatakandalambentukberikut: Carilah rata-rata danvariansinya Jawab: Jadi rata-ratanya, danvariansinya,

  26. Contoh(4.10): Hitungvariansi g(X) = 2X+3 ,jikaperubahacakdengandistribusi probabilitas: Tabel 4.5. DistribusiProbabilitas X Jawab: Pertama-tama hitung rata-rata perubahacak 2X+3 Menggunakanteorema (4.3) padakasusinidiperoleh

  27. Contoh (4.11): Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh (4.5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 Jawab: Dari contoh (4.5) diperoleh; Menggunakan teorema (4.3) pada kasus ini diperoleh:

  28. Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:

  29. Contoh (4.12): Jika perubah acak X dan Y diberikan seperti pada contoh (4.6) dengan distribusi probabilitas gabungan pada tabel (4.1) maka carilah kovariansi dari X dan Y Jawab: Dari contoh (4.6) diperoleh Sekarang pada kasus ini diperoleh:

  30. dan Sehingga diperoleh kovariansi dari X dan Y adalah:

  31. Contoh (4.13): Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb: maka carilah kovariansi dari X dan Y Jawab: Dari contoh (3.10) diperoleh: dan Dan dapat dinyatakan sebagai: dan

  32. Fingsi padat gabungan diatas, diperoleh: Dan Jadi kovariansi dari X dan Y

  33. 4.3. Rata-rata dan Variansi dari Konbinasi Linier Dibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi Teorema (4.5): Jika a dan b konstanta sembarang, maka Bukti: Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu) Karena: dan

  34. Akibatnya: 1. Jika diambil a=0, maka 2. Jika diambil b=0, maka Contoh (4.14): Kembali ke contoh (4.4) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan Dari contoh (4.4) diperoleh Jadi

  35. Contoh (4.15): Kembali ke contoh (4.5) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai: Dari contoh (4.5) diperoleh Jadi Hasilnya sama seperti pada contoh (4.5)

  36. Teorema (4.5): Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti: Menurut definisi (kasus kontinnyu) Analog untuk kasus diskrit

  37. Contoh (4.16): Diketahui X perubah acak dengan distribusi probabilitas sbb: Tabel 4.6. Distribusi Probabilitas X Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh Dengan Jadi

  38. Contoh (4.17): Jika diketahui X perubah acak dengan fungsi padat sbb: Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas: Akibatnya: Jadi

  39. Teorema (4.7): Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X dan Y sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti: Menurut definisi (kasus kontinnyu) Analog untuk kasus diskrit

  40. Akibatnya: 1. Jika maka diperoleh: 2. Jika maka diperoleh Teorema (4.8): Jika X dan Y merupakan dua perubah acak bebas, maka Bukti: Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu)

  41. Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga Contoh (4.17): Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan distribusi probabilitas gabungan: Periksa apakah dipenuhi?

  42. Jawab

  43. Jadi Teorema (4.9): Jika a dan b konstanta sembarang, maka Bukti: Menurut definisi, dan

  44. Sehingga: Akibatnya: 1. Jika a=1, maka 2. Jika b=0, maka Teorema (4.10): Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y) maka Bukti: Menurut definisi,

  45. dan Maka Akibatnya: 1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka 2. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka 3. Jika perubah acak bebas, maka berlaku

  46. Contoh (4.18): Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ; dan kovariansi . Carilah variansi perubah acak : Jawab: Contoh (4.19): Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan variansi ; .. Carilah variansi perubah acak Jawab:

  47. 4.4. Teorema Chebyshev Telah dikemukakan diatas bahwa variansi perubah acak akan memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar rata-rata. Bila variansi dan simpangan baku dari perubah acak kecil maka dapat diharapkan bahwa pengamatan akan mengelompok di sekitar nilai rata-rata. Sehingga probabilitas perubah acak dalam selang tertentu di sekitar rata-rata akan lebih besar dari perubah acak serupa, yang lebih besar simpangan bakunya. Tetapi jika nilai besar menyatakan keragaman yang lebih besar, sehingga dapat diharapkan pengamatan akan lebih menyebar. Perhatikan gambar 4.1dibawah ini.

  48. Distribusi Kontinyu Gambar 4.1. Keragaman pengamatan di sekitar rata-rata

  49. Gambar 4.2. Keragaman pengamatan dengan

More Related