1 / 25

Probabilitas dan Statistika BAB 3 harapan matematik

Probabilitas dan Statistika BAB 3 harapan matematik. Pembahasan. Rataan Peubah Acak Variansi dan Kovariansi Rataan dan Variansi dari Kombinasi Linear Peubah Acak Teorema Chebyshev. Rataan peubah acak definisi 1.

vachel
Download Presentation

Probabilitas dan Statistika BAB 3 harapan matematik

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ProbabilitasdanStatistikaBAB 3 harapanmatematik

  2. Pembahasan • RataanPeubahAcak • VariansidanKovariansi • RataandanVariansidariKombinasi Linear PeubahAcak • TeoremaChebyshev

  3. Rataanpeubahacakdefinisi 1 • Misalkan X suatupeubahacakdengansebaranprobabilitasf(x). Nilairataanataunilaiharapandari X adalah bila X diskrit, dan bila X kontinu.

  4. Contoh 1 • Carilahnilaiharapanbanyaknyakimiawandalampanitia 3 orang yang dipilihsecaraacakdari 4 kimiawandan 3 biolog • Jawab : Misalkan X menyatakanbanyaknyakimiawandalampanitia . Distribusipeluang X adalah… Beberapaperhitungansederhanamenghasilkan f(0) = 1/35, f(1) = 12/35 , f(2) = 18/35 dan f(3) =4/35

  5. Jadi… • Jadi, bilasuatupanitiaberanggota 3 orangdipilihsecaraacakberulang-ulangdari 4 kimiawandan 3 biolog, maka rata-ratanyaakanberanggota 1,7 kimiawan

  6. Teorema 1 • Misalkan X merupakanpeubahacakdengansebaranprobabilitasf(x). Nilairataanataunilaiharapanpeubahacak g(X) adalah jika X diskritdan jika X kontinu.

  7. Contoh 2 • Banyaknyamobil X yang masukkesuatupencucimobilsetiaphariaantara jam 13.00 – 14.00 mempunyaidistribusipeluang : x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6 • Misalkan g(X) = 2X-1 menyatakanupah, dalamribuan rupiah, parakaryawan yang dibayarperusahaandalam jam tersebut. Cariharapanpendapatankaryawanpada jam tersebut.

  8. Jawab : = (7)(1/12) + (9)(1/12) + (11)(1/4) + (13) (1/4) + (15)(1/6) +(17)(1/6) = Rp 12,67

  9. Definisi 2 • Misalkan X dan Y merupakanpeubahacakgabungandengansebaranprobabilitasgabungan f(x,y). Nilairataanataunilaiharapanpeubahacak g(X,Y) adalah jika X dan Y diskrit, dan • Bila X dan Y kontinu.

  10. Contoh 3 • Misalkan X dan Y peubahacakdengandistribusipeluanggabunganpadaTabel 2.6 hal 75. Hitunglahnilaiharapan g(X,Y) = XY = (0) (0) f(0,0) + (0)(1)f(0,1) + (0)(2)f(0,2) + (1)(0) f (1,0) + (1)(1) f(1,1) + (2)(0) f(2,0) = f(1,1) = 3/14

  11. Variansidankovariansidefinisi 3 • Misalkan X merupakansuatupeubahacakdengansebaranprobabilitas f(x) dannilaitengahµ. Ragam x adalah jika x diskrit, dan • Jika X kontinu • Akarkuadratpositifdariragam, disebutsimpanganbaku X.

  12. Contoh4 • Misalkanpeubahacak X menyatakanbanyaknyamobil yang digunakanuntukkeperluandinaskantorpadasetiapharikerja. Distribusipeluanguntukkantor A adalah x 1 2 3 f(x) 0,3 0,4 0,3 Dan untukkantor B adalah x 0 1 2 3 4 f(x) 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1 Tunjukkanbahwavariansidistribusipeluangkantor B lebihbesardaripadavariansikantor A

  13. Jawab : • Untukkantor A diperoleh dan = (1-2)2 (0,3)+ (2-2)2 (0,3)+ (3-2)2 (0,3)=0,6

  14. Untukkantor B diperoleh : Dan = (0-2)2 (0,2) + (1-2)2 (0,1) +(2-2)2 (0,3)+(3-2)2 (0,3) + (4-2)2 (0,1) =1,6 Jelas..variansibanyaknyamobil yang digunakanuntuk Keperluandinaslebihbesaruntukkantor B daripada untukkantor A. Rumus yang lebihmudahdiberikanolehteorema Berikut : • Ragampeubahacak X adalah (Teorema 2)

  15. Teorema 3 • MisalkanX merupakansebuahpeubahacakdengansebaranprobabilitas f(x). Ragampeubahacak g(X) adalah jika X diskrit jikaX kontinu.

  16. Definisi 4 • Misalkan X dan Y merupakanpeubahacakdengansebaranprobabilitasgabungan f(x,y). variansidari X dan Y adalah JikaX dan Y diskrit jika X dan Y kontinu

  17. Teorema 4 • Peragamdariduapeubahacak X dan Y dengannilaitengahmasing-masingµXdan µYdiberikanoleh

  18. Rataandanvariansidarikombinasi linear peubahacak • Jikaadanbmerupakankonstanta, maka E(aX+b) = aE(X)+b akibatdariteoremadiatasadalah: • Denganmembuata=0, kitalihatbahwa E(b)=0 • Denganmembuat b=0, kitalihatbahwa E(aX)=aE(X)

  19. Nilaiharapanpenjumlahanatauperbedaandariduaataulebihfungsisuatupeubahacak X adalahpenjumlahanatauperbedaandarinilaiharapanfungsiitu. Dengankata lain E[g(X)±h(X)] = E[g(X)]±E[h(X)] • Nilaiharapandaripenjumlahanatauperbedaanduafungsiataulebihdaripeubahacak X dan Y merupakanpenjumlahanatauperbedaandarinilaiharapanfungsiitu. Dengankata lain E[g(X,Y)±h(X,Y)] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)]

  20. Akibatdariteoremadiatasadalah • Denganmembuat g(X,Y) = g(X) dan h(X,Y) = h(Y) kitalihatbahwa E[g(X)±h(Y)]=E[g(X)]±E[h(Y)] • Denganmembuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, kitalihatbahwa E(X±Y) = E(X) ± E(Y) • X dan Y adalahduapeubahacakbebas, maka E(XY) = E(X)E(Y)

  21. Jikaadanbmerupakankonstantamaka Akibatdariteorematersebutadalah • Denganmembuata=1 • denganmembuatb=0

  22. Jika X dan Y adalahpeubahacakdengansebaranprobabilitasgabungan f(x,y) maka • Akibatdariteorematersebutadalah • JikaX dan Y adalahpeubahacakbebas, maka • Jika X dan Y merupakanpeubahacakbebas, maka

  23. Jika X1, X2,…….,Xnadalahpeubahacakbebas, maka

  24. Teoremachebyshev • Probabilitasbahwasetiappeubahacak X akanmengambilsuatunilaididalamksimpanganbakudarinilaitengahpaling sedikitadalah 1-1/k² P(µ-kσ<X<µ+kσ)≥1-1/k²

  25. contoh • Suatupeubahacak X mempunyairataan µ=8, variasi = 9, sedangkanpeluangdistribusinyatidakdiketahui. Hitunglah a P(-4<X<20), dan b P( 6 ). Jawab: a. P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)] 15/16 b. P( 6 ) = 1–P( < 6) = 1–P(-6 < X -8 < 6) = 1–P[8-(2)(3)<X< 8+(2)(3)] 1/4

More Related