Einführung

1. Hauptseminar WS2002/2003Schlüsselexperimente zur QuantenmechanikWellenpakete und EinzelphotoneninterferenzMichael Grupp7.Januar 2003 Massehafte Teilchen

2. Einführung • Doppelspaltexperimente, Photoeffekt,... Unter welchen Bedingungen zeigen Quantenobjekte Wellen- oder Teilchencharakter? • Interpretation von Max Born und Welle-Teilchen-Dualismus • Darstellung der Konsequenzen der dualistischen Beschreibung durch Wellenpakete • Einzelphotoneninterferenz: vom Gedankenexperiment zum Realexperiment Einführung

3. Gliederung • Allgemeine Betrachtungen zu Wellenpaketen • Wellenpakete massenhafter Teilchen • Wellenpakete masseloser Teilchen • Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) • Messpostulat der Quantenmechanik • Zusammenfassung • Quellverzeichnis Gliederung

4. Allgemeine Betrachtungen • Für Photonen gilt im Vakuum die freie Maxwellgleichung Wellengleichung für Photonen • Verallgemeinerung Klein-Gordon-Gleichung • Nichtrelativistischer Grenzfall freie Schrödingergleichung Allgemeine Betrachtungen

5. Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen Diese partiellen Differentialgleichungen sind linear  es gilt das Superpositionsprinzip Die Lösung dieser Gleichungen können durch folgende kontinuierliche Fourierentwicklung dargestellt werden: Allgemeine Betrachtungen

6. Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen Die Lösungen unterscheiden sich in den Dispersionsrelationen Freie Maxwellgleichung Klein-Gordon-Gleichung Freie Schrödingergleichung Allgemeine Betrachtungen

7. Allgemeine Darstellung von (k) und (k) • Entwicklung der Dispersionsrelation um k0 Mit vg Gruppengeschwindigkeit und  Dispersionsparameter • Berechnung von (k) Ist der Anfangszustand bekannt, so gilt Allgemeine Betrachtungen

8. Gaußfunktion • Es wird nun für (k) eine Gaußfunktion gewählt Mit C  Normierungskonstante;  bestimmt die Breite der Gaußfunktion • Für das Gaußförmige Wellenpaket findet man Allgemeine Betrachtungen

9. Interpretation der Wellenfunktion • Max Born schlug vor die Wellenfunktion statistisch zu interpretieren: Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist demnach proportional zur Wahrscheinlichkeit das Teilchen nachzuweisen. • Für das Gaußförmige Wellenpaket folgt damit Max Born 1882-1970 Nobelpreis 1954 Allgemeine Betrachtungen

10. Unschärferelation • Für das Gaußpaket ergibt sich folgende Unschärferelation • Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation, so ist das Gaußpaket der Zustand geringster Unschärfe für t = 0 bzw.  = 0 Allgemeine Betrachtungen

11. Massenhafte Teilchen • Zunächst: freies Teilchen  • Gruppengeschwindigkeit • Dispersionsparameter • Zustand zum Zeitpunkt t=0 hat geringste Unschärfe • Wellenpaket zerfließt für t>0 • Schwerpunkt des Gaußpaketes bewegt sich auf klassischer Bahn Massenhafte Teilchen

12. Visualisierung Im z • Die komplexe Zahl kann durch Farben dargestellt werden • Der Farbton ist abhängig von der Phase • Die Helligkeit ist eine Funktion des Absolutbetrages IzI • Für IzI = 0  schwarz • Für IzI    weiß Re z Visualisierung komplexer Zahlen durch Farben Massenhafte Teilchen

13. Freies Teilchen Ruhendes freies Teilchen Bewegtes freies Teilchen Massenhafte Teilchen

14. Freies Teilchen • Das Auseinanderlaufen eines Wellenpaketes ist kein auf die Quantenmechanik beschränktes Phänomen! • Der größte Unterschied zur klassischen Beschreibung von Teilchen steckt in der Bedeutung der Phase des Wellenpaketes • Wellenpakete die ein Teilchen beschreiben können mit sich selbst interferieren! Massenhafte Teilchen

15. Teilchen in der Box Lösung der freien Schrödingergleichung (x,t) unter Dirichletschen Randbedingungen  Analogie zur Spiegelladungsmethode in der Elektrostatik Lösung für eindimensionale Box der Länge L Massenhafte Teilchen

16. Teilchen in der Box • Ensemble aus klassischen Teilchen würde sich mit der Zeit gleichmäßig auf L verteilen • Quantenmechanische Betrachtung führt auf Strukturen! 1. Gebrochene Wiederkehr2. Wiederkehr ist die Wiederkehrzeit Massenhafte Teilchen

17. Teilchen in der Box Quantenteppich – Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Falschfarbendarstellung (ausStudienführer Physik, Universität Ulm, 2002) Massenhafte Teilchen

18. Weitere Beispiele • Gaußpaket trifft auf Potentialstufe • Gaußpaket trifft auf Potentialbarriere Massenhafte Teilchen

19. Masselose Teilchen Die Dispersionsrelation führt auf • Gruppengeschwindigkeit • Dispersionsparameter • Die Form eines Wellenpakets, das sich im Vakuum mit c ausbreitet bleibt erhalten • Gaußpaket ist Zustand geringster Unschärfe für alle t Masselose Teilchen

20. Energie-Zeit-Unschärferelation • Die Breite x des Wellenpaketes lässt sich als seine Kohärenzlänge festlegen  • Impulsunschärfe   Die Energie-Zeit-Unschärferelation folgt nicht direkt aus der Heisenbergschen Unschärferelation! Masselose Teilchen

21. Versuch von Grangier (et al.) • Experimenteller Nachweis der Einzelphotoneninterferenz • Notwendig: Hochgeschwindigkeitselektronik daher war dieser Versuch erst 1985 durchführbar • Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen? • Erster Versuchsteil : ein Stahlteiler  Photonen verhalten sich wie Teilchen • Zweiter Versuchsteil : Mach-Zehnder-Interferometer  Einzelphotoneninterferenz Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

22. Erster Versuchsteil Einzelne Photonen treffen auf einen Strahlteiler und werden durch zwei Photomultipier nachgewiesen. Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

23. Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen? • Quelle: Durch Laser angeregte Kalziumatome • angeregter Zustand zerfällt in zwei Schritten in den Grundzustand • das erste emittierte Photon 1 wird von PM1 nachgewiesen und das Gate wird für w  9ns geöffnet • nur während w kann das zweite Photons 2 (Lebensdauer 2= 4,7ns) durch die Photomultipier PMr und PMt nachgewiesen werden Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

24. Was wird gemessen? – Klassische Betrachtung • Wahrscheinlichkeiten gemittelte Intensität während Messzeit • Aus der Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung folgt • Damit gilt für die Wahrscheinlichkeiten  (Anti)korrelationskoeffizient Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

25. Was wird gemessen – quantenmechanische Betrachtung • Die Verletzung der klassischen Ungleichung führt auf ein Antikorrelationskriterium, das ein nichtklassisches Verhalten charakterisiert. • Eine umfangreiche quantenmechanische Rechnung führt auf ist in diesem Experiment nahe 1 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

26. Ergebnis: Photon zeigt Teilcheneigenschaft Maximal gemessene Verletzung der klassischen Ungleichung: Messzeit T  5h bei N1  8800s-1 Klassische Theorie sagt  50 Koinzidenzen voraus gemessen wurden nur 9! Vergleich zwischen Messergebnissen und der theoretischen Kurve (durchgezogen) Die Photonen verhalten sich in diesem Experiment wie Teilchen! Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

27. Mach-Zehnder-Interferometer Die Versuchsanordnung wird nun in ein Mach-Zehner-Interferometer umgebaut. Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

28. Wellenpaket • Wellenpaket eines Photon, das von einem Atom emittiert ist lorentzförmig • Zur Erinnerung: Wellenpaket behält seine Form (Vakuum!) • Abschätzung der Kohärenzlänge • Kohärenzlänge ist unabhängig von Abstand Quelle-Detektoren • Beobachtung der Interferenz hängt von der Wegdifferenz  ab und nicht von dem Abstand Quelle-Detektor Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

29. Ergebnis: Photon zeigt Welleneigenschaften Gemessen wurde um die Weißlichtposition =0 in 256 Stufen mit einem jeweiligen Abstand von /50 (8,45nm) : a) 1s Messzeit pro Kanal b) 15s Messzeit pro Kanal Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

30. Teilt sich das Photon? • Auch hier: • Erster Stahlteiler teilt das Wellenpaket in zwei Teilpakete • Beide Teilwellenpakete bestimmen die Wahrscheinlichkeit das eine Photon nachzuweisen • Wellenpaket “sieht“ und “nutzt“ alle Möglichkeiten sich im Interferometer auszubreiten • Photon ist an der Quelle und an dem Detektor lokalisierbar dazwischen nicht Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.)

31. Gedankenexperiment – Eigenschaft “Weg“ • Photonen lassen sich durch Polarisationsfilter “markieren“ • Beide gleich eingestellt  Interferenzmuster • Ungleich eingestellt  kein Interferenzmuster Gedankenexperiment

32. Messpostulat der Quantenmechanik Obwohl ein Quantenobjekt eine Eigenschaft nicht besitzen muss, wird bei einer Messung dieser Eigenschaft immer ein bestimmter Wert (Eigenwert) gefunden! Messpostulat

33. Zusammenfassung • Quantenmechanik seit fast achtzig Jahren eine der erfolgreichsten Theorien • Dynamik einzelner Quantenobjekte kann durch Wellen-pakete beschrieben werden • Wellenpakete können visualisiert werden und damit die Quantenmechanik verdeutlichen • Die Einzelphotoneninterferenz hat den Welle-Teilchen-Dualismus des Photons bestätigt (1985(!)) Zusammenfassung

34. Quellverzeichnis • B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 2000 (http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/) • T. Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000 • Grangier, P.; Rogier, G; Aspect, A., Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beamsplitter, Europhys. Lett. 1 (1986)173 • P. Grangier cited by A. L. Robinson, Science 231(1986)671 • Müller,R;Wiesner,H., Photonen im Mach-Zehnder-Interferometer, Universität München (http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/quanten/Interferometer.pdf) • W.P.Schleich, Elements of Quantum Mechanics, Ulm, 2002 Quellverzeichnis