Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

1. Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia Estatística AplicadaI Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

2. Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia Capítulo II Teoria das Probabilidades Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

3. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

4. Teoria das Probabilidades - Sumário • Teoremas fundamentais • Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos • Espaços amostrais finitos equiprováveis • Probabilidade condicional • Teorema do produto • Independência estatística • Teorema de Bayes ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

5. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

6. 2.1 Introdução A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de determinar possíveis correlações e nexos causais. A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a freqüência da ocorrência de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais. Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de fenômenos futuros, conforme o caso. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

7. 2.1 Introdução • Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique, se determinístico ou probabilístico. • Modelo determinístico: • Adotado para explicar fenômenos submissos às leis sistemáticas. • Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em forma unívoca e imutável. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

8. 2.1 Introdução • Modelo probabilístico: • Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que são aqueles cujos resultados, mesmo em condições normais de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro. • Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo acaso. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

9. 2.1 Introdução • A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo matemático será o cálculo das probabilidades. • Diante de um acontecimento aleatório é possível, às vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de probabilidade. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

10. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

11. 2.2 Aleatoriedade • Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado considerando-se as seguintes afirmações: a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6; b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás. • A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa). • Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado que o fato é possível, mas que é possível, também, a saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

12. 2.2 Aleatoriedade • No segundo caso somente a realização do experimento permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira; trata-se de um acontecimento aleatório • Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem elementos de juízo suficientes para predizer qual deles ocorrerá em um determinado experimento. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

13. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaços amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

14. 2.3 Experimento Aleatório • Características: Para que um experimento seja considerado aleatório é necessário que apresente as seguintes características: • Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições; • Não se conhece, a priori, um particular valor do experimento; entretanto, pode-se descrever todos os possíveis resultados (as possibilidades); ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

15. 2.3 Experimento Aleatório • Características: Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dos resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da fração freqüência relativa: onde: n é o número de repetições, e r é o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

16. 2.3 Experimento Aleatório • Exemplos: • Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior. • Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o número de coroas obtidas. • Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina “A”. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

17. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

18. 2.4 Espaço Amostral • Definição: • Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral S como o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996). • Exemplos: • E: jogar um dado e observar o número na face superior. • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • E: lançar duas moedas e observar o resultado. • S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

19. 2.4 Espaço Amostral • Exemplos: • E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte, • acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até • fundir o filamento: • S = {t : t ≥ 0} • E: Registrar a temperatura continuamente durante um • período de 24 horas em uma determinada localidade; • as temperaturas mínima e máxima são registradas: • S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a • máxima ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

20. 2.4 Espaço Amostral • Exemplos: • E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade • não poderá ser menor que um certo valor (m) e a • temperatura máxima não poderá ser superior a um • certo valor (M). • S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M} ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

21. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

22. 2.5 Evento • Definição: • É um conjunto de resultados do experimento. • Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S. Observação: • Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio, • , são eventos. • S é dito o evento certo e o evento impossível. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

23. 2.5 Evento • Exemplo 1: E: lançar o dado e observar o número da face superior. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6} B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5} C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

24. 2.5 Evento • Exemplo 2: E: jogar três moedas e observar o resultado. S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)} Eventos: A: ocorrer pelo menos duas caras: A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

25. 2.5 Evento • Observações: • - Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode- • se verificar que o número total de eventos extraídos de S é • dado por 2n; • - No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de • eventos é 26 = 64. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

26. 2.5 Evento • Observações: • - A partir do uso das operações com conjuntos, novos • eventos podem ser formados: • a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou • ambos ocorrem; • b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem • simultaneamente; • c) é o evento que ocorre se A não ocorre. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

27. 2.5 Evento • Exemplo: • E: lançar um dado e observar o resultado. • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6} • B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6} • = {2, 3, 4, 6} • = {6} • = {1, 3, 5} • = {1, 2, 3, 4, 5} ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

28. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

29. 2.6 Eventos Mutuamente exclusivos • Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, • Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado. • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} • A = ocorre número par – A = {2, 4, 6} • B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5} • ; • logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a • ocorrência de um número que seja par e ímpar não • pode ser verificada como decorrência do mesmo evento. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

30. Teoria das Probabilidades - Sumário • Introdução • Aleatoriedade • Experimento aleatório • Espaço amostral • Evento • Eventos mutuamente exclusivos • Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

31. 2.7 Probabilidade • Definição: • - Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço • amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é • uma função definida em S que associa a cada evento um • número real, satisfazendo os seguintes axiomas: • (i)0 ≤ P(A) ≤ 1; • (ii)P(S) = 1; • (iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos • , então ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

32. Teoria das Probabilidades - Sumário • Teoremas fundamentais • Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos • Espaços amostrais finitos equiprováveis • Probabilidade condicional • Teorema do produto • Independência estatística • Teorema de Bayes ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

33. 2.8 Teoremas Fundamentais • T1: Se é o conjunto vazio, então . • Demonstração: • - Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois • ; • - De (iii), temos que ; • - Como , então ou • - Logo . ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

34. S A Ā 2.8 Teoremas Fundamentais • T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A). • Demonstração: • - Do diagrama, pode-se escrever . • - Como (são mutuamente exclusivos), • , • ; • - De (ii)1 = P(A) + P(Ā), • - LogoP(Ā) = 1 – P(A). ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

35. S A B 2.8 Teoremas Fundamentais • T3: Se , então P(A) ≤ P(B). • Demonstração: • - Do diagrama, pode-se escrever que . • - Como (são mutuamente exclusivos), • , • e • P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que • P(A) ≤ P(B). ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

36. S A B 2.8 Teoremas Fundamentais • T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer, então . • Demonstração: • a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no axioma (iii); ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

37. S A B 2.8 Teoremas Fundamentais • Demonstração: • b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se: • - Os eventos A e são mutuamente exclusivos; • logo, pelo axioma (iii) • - Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos • e ; • - Logo, ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

38. 2.8 Teoremas Fundamentais • Demonstração: • - Substituindo o valor de • na expressão anterior, tem-se: • - Analogamente, para três eventos tem-se: ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

39. Teoria das Probabilidades - Sumário • Teoremas Fundamentais • Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos • Espaços amostrais finitos equiprováveis • Probabilidade condicional • Teorema do produto • Independência estatística • Teorema de Bayes ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

40. 2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos • Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}. • Considere-se o evento formado por um resultado simples • A = {ai}. • A cada evento simples {ai} associa-se um número pi denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições: a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n • b) p1 + p2 + ...+ pn = 1 • A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos pontos de A. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

41. 2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos • Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C, quais são as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? • Solução: • P(C) = p ; P(B) = 2.P(C) = 2p ; P(A) = 2.P(B) = 4p • Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então • 4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7. • Logo: P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

42. 2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos • Solução (continuação): • - Qual a probabilidade de B ou C ganhar? • Do axioma (iii): • = 2/7 + 1/7 = 3/7. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

43. Teoria das Probabilidades - Sumário • Teoremas fundamentais • Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos • Espaços amostrais finitos equiprováveis • Probabilidade condicional • Teorema do produto • Independência estatística • Teorema de Bayes ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

44. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade. • Portanto, se S contém npontos, então a probabilidade de cada ponto será igual a 1/n. • Se um evento A contém r pontos, então: ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

45. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • Freqüentemente, este método de avaliar a probabilidade é enunciado da seguinte forma: ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

46. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas? • Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas} ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

47. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número de casos favoráveis e o número total de casos. • Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade: • a) de ambas serem defeituosas; • b) de ambas não serem defeituosas; • c) de pelo menos uma ser defeituosa. ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

48. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • Soluções: • a) A = {ambas são defeituosas} ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

49. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • Soluções: • b) B = {ambas não são defeituosas} ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

50. 2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis • Soluções: • c) C = {pelo menos uma é defeituosa} ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades