Relações Métricas no Triângulo ( Δ) Retângulo.

1. Ângulo de 90º Observe que o triângulo ABC é retângulo em Â, isto é a medida de  é 90º, e como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, concluímos que a soma dos ângulos B e Ĉ é 90º. ˆ Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo.

2. Ao dividirmos o triângulo ABC, pela altura relativa a sua hipotenusa, formamos os triângulos ABH e ACH, veja que são retângulos em Ĥ. E assim, desta forma verificamos que acabamos por dividir o ângulo  nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC que são Ĉ e B. ˆ Quando dois triângulos, possuírem ao menos dois ângulos de mesma medida, significa que são semelhantes.

3. Ângulo de 90º Lado AC Lado AB Lado BC O lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”. O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”. O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho”. Observem agora os lados deste triângulo.

4. Observe que dividimos o triângulo ABC em dois novos triângulos ABH e ACH, que são semelhantes entre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” e seus lados são proporcionais.

5. Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABC Lados do Δ ABH

6. Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABC e ABH. Não se esqueça que: “para passar o número que esta dividindo para o outro lado do sinal de igual o fazemos passar, multiplicando do outro lado”. 1ª) ah = cb Deduzimos as seguintes relações: 2ª) bm = ch 3ª) cc = am

7. Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABC Lados do Δ ACH

8. Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABC e ACH. 1ª) bh = cn Deduzimos as seguintes relações: 2ª) bb = an 3ª) bc = ah

9. Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABH Lados do Δ ACH

10. Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABH e ACH. 1ª) bh = cn Deduzimos as seguintes relações: 2ª) ch = bm 3ª) hh = mn

11. Outra relação métrica é: a = m + n, ou seja m (segmento BH) é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa e n (segmento CH) é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa, logo a soma de m (BH) + n (CH) é igual a hipotenusa a (segmento BC). Imagine estas projeções sendo como o sol “batendo”numa ripa de madeira inclinada numa parede, isto produz uma sombra, a qual chamaremos de projeção.

12. Ângulo de 90º Cateto Cateto Hipotenusa O lado BC do Δ ABC é contrário (está de frente) com o ângulo de 90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa. Os lados AB e AC do Δ ABC são chamados de Catetos. Teorema de Pitágoras

13. Hip2 = cat2 + cat2 a2 = b2 + c2 Teorema de Pitágoras. Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.

14. 1ª) ah = bc 4ª) bh = cn 7ª) a = m + n 2ª) c2 = am 5ª) b2 = an 8ª) a2 = b2 + c2 3ª) bm = ch 6ª) h2 = mn Resumo das fórmulas das relações métricas no Δ retângulo.

15. Espero que tenham gostado da aula em slides: Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger. E-mail: fabio@uli.com.br - fone 0xx1938079073 Data: 22/02/2004. Amparo-SP.