1 / 25

Podstawy analizy matematycznej II

Podstawy analizy matematycznej II. Andrzej Marciniak. Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10. Granica i ciągłość funkcji.

hisa
Download Presentation

Podstawy analizy matematycznej II

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Podstawyanalizy matematycznejII Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

  2. Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x c  0 x c + 0 jeżeli dla każdego  > 0 istnieje taka liczba  > 0, że | f (x )  g | <  dla c   < x < c (c < x < c +  ). • Mówimy, że + jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba  > 0, że f (x ) > M dla c   < x < c (c < x < c + ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  3. Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że  jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba  > 0, że f (x ) < M dla c   < x < c (c < x < c + ). Są to definicje w sensie Cauchy’ego. Definicja granicy funkcji w sensie Heinego : Mówimy, że liczba g (+, ) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdego ciągu {xn} zbieżnego do c i takiego, że dla każdego n zachodzi xn < c (xn > c), mamy lim f (xn) = g (+, ). n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  4. Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g, x c jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie x = c i obie są sobie równe. • Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) przy x + (x  ), co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x  +x   jeżeli dla dowolnej liczby  > 0 istnieje taka liczba K > 0, że | f (x)  g | <  dla każdej wartości x > K (x < K ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  5. Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że funkcjaf (x) dąży do + () przy x  +, co zapisujemy lim f (x ) = + ( lim f (x ) =  ), x  + x  + jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x ) > M ( f (x ) < M ) dla każdej wartości x > K. • Granice lim f (x ) = + i lim f (x ) =  x  x   określamy podobnie. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  6. Granica i ciągłość funkcji • Jeżeli istnieją granice lim f (x ) i lim g (x ), to x c x c lim (f (x )  g (x )) = lim f (x )  lim g (x ) x  c x  c x  c lim (f (x )  g (x )) = lim f (x )  lim g (x ) x  c x  c x  c lim (f (x )/g (x )) = lim f (x ) / lim g (x ), jeśli lim g (x )  0. x  c x  c x  c • Funkcję f (x ) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim f (x ) i jeśli granica ta jest równa f (c ). x c • Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Iloraz funkcji ciągłych o dzielniku różnym od zera jest funkcją ciągłą. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  7. Granica i ciągłość funkcji Przykład 1. Obliczyć granicę funkcji f (x ) = (3x 2 5x  2)/(5x 2  20) w punkcie x = 2. Dla x = 2 licznik i mianownik jest równy 0, a więc funkcja nie jest określona w tym punkcie. Zauważmy, że 3x 2 5x  2 = 3(x  2)(x + 1/3) i 5x 2  20 = 5(x  2)(x + 2). Możemy zatem funkcję f (x ) zapisać w postaci f (x ) = {3(x + 1/3)/[5(x + 2)]}  {(x  2)/(x  2)} = g (x )  h (x ). Pierwszy czynnik g (x ) jest funkcją wymierną, ciągłą w punkcie x = 2, więc lim g (x ) = g (2) = [3(2 + 1/3)]/[5(2+2)] = 7/20. x  2 Drugi czynnik h (x ) równa się 1 dla x  2, a dla x = 2 nie jest zdefiniowany. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  8. Granica i ciągłość funkcji W myśl definicji granicy lim h (x ) istnieje i równa się 1. x 2 Na podstawie twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy lim (3x 2 5x  2)/(5x 2  20) = (7/20)  1 = 7/20. x 2 Przykład 2. Wyznaczyć granicę funkcji [x ] w punkcie x = 3. Mamy lim [x ] = 3, gdyż dla 3  x < 4 jest [x ] = 3, x  3+0 natomiast lim [x ] = 2, bo dla 2  x < 3 jest [x ] = 2. x  30 Zatem granica funkcji [x ] w punkcie x = 3 nie istnieje. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  9. Granica i ciągłość funkcji Przykład 3. Obliczyć lim (10x )/tg(3x ). x 0 Dla x = 0 licznik i mianownik są równe 0. Przekształcamy wyrażenie: (10x )/tg(3x ) = [10x cos(3x )]/sin(3x ) = (10/3)  cos(3x )  3x /sin(3x ). Na podstawie jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim sinx /x = 1 x  0 mamy lim 3x /sin(3x ) = lim 1/[sin(3x )/(3x )] = 1. Ponadto x  0 x  0 lim cos(3x ) = cos 0 = 1. x  0 Zatem lim (10/3)  cos(3x )  3x /sin(3x ) = (10/3)  1  1 = (10/3). x  0 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  10. Granica i ciągłość funkcji Przykład 4. Obliczyć lim f (x ) dla f (x ) = {x[x (x 2  1)1/2]}1/2. x  + Po pomnożeniu i podzieleniu funkcji f (x ) przez [x + (x2  1)1/2]1/2 mamy f (x ) = x1/2/[x + (x2  1)1/2]1/2. Dzieląc teraz licznik i mianownik przez x 1/2 otrzymujemy f (x ) = 1/[1+(1 1/x 2)], skąd ostatecznie lim f (x ) = 1/(1 + 11/2)1/2 = 1/21/2. x  + Przykład 5. Wyznaczyć granicę funkcji exp[1/(1  x 2)] w punkcie x = 1. Przy wyznaczaniu granic funkcji wykładniczej korzystamy często z wzorów lim a x = +, lim a x = 0 dla a > 1 i lim a x = 0, lim a x = + dla 0 < a < 1. x  + x  x  + x   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  11. Granica i ciągłość funkcji Obliczmy najpierw w punkcie x = 1 granicę funkcji g (x ) = 1/(1 x 2). Funkcja ta nie jest określona w podanym punkcie. Przedstawiamy ją w postaci g(x ) = 1/(1 + x )  1/(1  x ). Pierwszy czynnik jest funkcją ciągłą w punkcie x = 1, w którym granica jest równa ½. Drugi czynnik ma granice lewostronną i prawostronną różne: lim 1/(1  x ) = +, lim 1/(1  x ) = . x  10 x  1+0 Z powyższego i na podstawie podanych wzorów wynika, że lim exp(1/(1 x 2) = 0, lim exp(1/(1 x 2) = +. x  1+0 x  10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  12. Pochodne funkcji • Pochodną funkcji y = f (x ) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu wartości funkcji y do przyrostu argumentu x , gdy przyrost argumentu dąży do zera, tj. granicę lim y/x = lim [f (x + x )  f (x )]/x . x  0 x  0 • Pochodna funkcji y = f (x ) w danym punkcie jest równa współczynnikowi kątowemu (kierunkowemu) stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. • Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną (jest różniczkowalna), to jest w tym punkcie ciągła (ale nie na odwrót, np. funkcja y = |x |w punkcie x = 0). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  13. Pochodne funkcji • Pochodna sumy (różnicy) funkcji. Jeżeli y = uv, to y’ = u’v’. • Pochodna iloczynu funkcji. Jeżeli y = uv, to y’ = u’v + uv’. • Pochodna ilorazu funkcji. Jeżeli y = u /v i v 0, to y’ = (u’v  uv’ )/v 2. • Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja y = f (g (x )) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x0 , funkcja g (x ) jest różniczkowalna w punkcie x = x0oraz funkcja f (u ) jest różniczkowalna w punkcie u = u0 , gdzie u0 = g (x0), to (dy/dx)x =x0 = (dy/du)u =u0 (du/dx)x =x0 . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  14. Pochodne funkcji • Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f (x ) ma funkcję odwrotną x =g(y ), to pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji, o ile dy/dx  0, tj. dx/dy = 1/ (dy/dx ). • Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (wzory na pochodne) dotyczą funkcji potęgowej, trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, odwrotnych względem hiperbolicznych, wykładniczych oraz logarytmicznych. Wzory te należy znać! Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  15. Pochodne funkcji Przykład 1. Obliczyć pochodną funkcji y = (3x 2 4xx2/3)/(2x 1/2). Funkcja jest ciągła, gdy x > 0. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x 1/2mamy y = (3/2)x 3/2  2x 7/6, skąd y’ = (9/4)x 1/2  (7/3)x 1/6. Przykład 2.Wyznaczyć pochodną funkcji y = (2  x 2)/(2x 3 + x + 3). Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Pochodna licznika jest równa 2x, a pochodna mianownika wynosi 6x 2 + 1. Zatem y’ = [2x (2x 3 + x + 3)  (2  x 2)(6x 2 +1)]/(2x 3 + x + 3)2 = (2x 4  13x 2  6x  2)/(2x 3 + x + 3)2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  16. Pochodne funkcji Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji y = sin3[(1  2x )/x ]1/2. Funkcja ta jest określona w przedziale 0 < x < ½. Można ją przedstawić za pomocą czterech funkcji prostych: y = z 3, z = sinu, u = t 1/2, t = (1  2x )/x. Mamy dy/dz = 3z 2, dz/du = cosu, du/dt = 1/(2t 1/2), dt/dx = 1/x 2. Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy dy/dx = 3z 2  cosu  1/2t 1/2  (1/x 2). Wracając do zmiennej x, po wykonaniu działań mamy dy/dx = 3/{2x [x (1  2x )]1/2}  sin2[(1  2x )/x ]1/2  cos[(1  2x )/x ]1/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  17. Pochodne funkcji Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji y = x x, gdzie x > 0. Ponieważ e lnx = x, więc x x = e x lnx. Stosując wzór na pochodną funkcji złożonej mamy y’ = e x lnx[1  lnx + x  (1/x )] = xx (lnx + 1). Przykład 5. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (sinx)tgx w przedziale 0 < x < /2. Ponieważ e lnu = u, więc sinx = e lnsinx. Po podniesieniu obu stron do potęgi tgx mamy y = (sinx )tgx = e tgxlnsinx. Jest to funkcja postaci e f(x ) i z wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy, że jej pochodna wynosi e f(x )f’ (x ). Zatem y’ = e tgxlnsinx [(1/cos2x )lnsinx + tgx (1/sinx)  cosx ] = (sinx )tgx [ln(sinx )/cos2x + 1]. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  18. Pochodne funkcji • Pochodną rzędu drugiego funkcji f (x ) nazywamy pochodną z pochodnej tej funkcji. Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Przykład 1. Obliczyć pochodną rzędu szóstego wielomianu y = x 5 2x 4 + 4x 2  16x + 15. Mamy y’ = 5x 4  8x 3+ 8x  16, y” = 20x 3  24x 2 + 8, y’’’ = 60x 2  48x, y (4) = 120x  48. y (5) = 120, y (6) = 0. Pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  19. Pochodne funkcji Przykład 2. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji y = sinx. Mamy y’ = cosx, y” = sinx, y’’’ = cosx, y (4) = sinx = y i pochodne wyższych rzędów powtarzają się: y (5) = y’, y(6) = y” itd. Ponieważ y’ = cosx =sin(x + /2), y” = sinx = sin(x + 2  /2), y’’’ = cosx = sin(x + 3  /2), y (4) = sinx = sin(x + 4  /2), więc można podać ogólny wzór na pochodną rzędu n funkcji y = sinx : y (n ) = sin(x + n  /2). Wyprowadzenie ogólnych wzorów na pochodną dowolnego rzędu danej funkcji jest w ogólności zadaniem trudnym. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  20. Pochodne funkcji • Jeżeli funkcja ma postać lub daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch prostszych funkcji (y = uv ), dla których można łatwo znaleźć wzory na pochodne rzędu n, to pochodną rzędu n danej funkcji y wyznaczamy z wzoru Leibniza: y (n ) = u (n )v + (n1)u (n 1)v’ + (n2)u (n 2)v” + … + (nk)u (n k )v (k ) + … + uv (n ). Przykład. Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji y = e x sinx. Przyjmując u = e x i v = sinx mamy u (n ) = (1)ne x, v (n ) = sin(x + n  /2) i na podstawie wzoru Leibniza: y (n ) = (1)n e x sinx + … + (1)n k (nk)e x sin(x + k  /2) + … + e x sin(x + n  /2). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  21. Pochodne funkcji • Dla funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = f (t ), y = g (t ), pochodną obliczamy z wzoru dy/dx = (dy/dt )/(dx/dt ), jeśli dx/dt 0. Przykład. Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint  t cost, y = cost + t sint. Mamy dx/dt = cost + tsint  cost = tsint, dy/dt = sint + tcost + sint = tcost. Zatem dy/dx = tcost/(tsint) = ctgt. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  22. Pochodne funkcji • Pochodną rzędu drugiego d 2y/dx 2 funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy następująco: d 2y/dx 2 = d/dx (dy/dx) = [d/dt(dy/dx)]/(dx/dt), gdzie d/dt(dy/dx) = d/dt[(dy/dt)/(dx/dt)] = (d 2y/dt2 dx/dt  d 2x/dt2 dy/dt )/(dx/dt)2 Przykład. Obliczyć d 2y/dx 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint  t cost, y = cost + t sint. Korzystając z poprzedniego przykładu i powyższego wzoru mamy d 2y/dx 2 = [d/dt(ctgt)]/(dx/dt ) = (1/sin2t )/(tsint ) = 1/(t sin3t ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  23. Pochodne funkcji • Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x1 + (1   )x2 , gdzie x1 < x2 i 0    1 zachodzi nierówność f (x)  y , gdzie y = f (x1)+ (1   )f (x2). • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to funkcjaf (x ) jest wypukła w przedziale [a, b]. • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) > 0 w [a, b], to funkcjaf (x ) jest w tym przedziale wypukła. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  24. Pochodne funkcji • Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x1 + (1   )x2 , gdzie x1 < x2 i 0    1 zachodzi nierówność f (x)  y , gdzie y = f (x1)+ (1   )f (x2). • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją malejącą, to funkcjaf (x ) jest wklęsła w przedziale [a, b]. • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) < 0 w [a, b], to funkcjaf (x ) jest w tym przedziale wklęsła. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  25. Pochodne funkcji • Punktem przegięcia wykresu funkcji y = f (x ), gdy funkcja f (x ) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą. • Jeżeli funkcja y = f (x ) ma ciągłą pochodną rzędu drugiego, to w punktach przegięcia wykresu funkcji mamy f” (x ) = 0. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

More Related