1 / 39

Managerial Decision Modeling

Managerial Decision Modeling. Cliff Ragsdale 6. edition. Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming. Innledning. Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som: - Naturressurser, som oljereserver - Areal - Tid

hisoki
Download Presentation

Managerial Decision Modeling

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ManagerialDecisionModeling Cliff Ragsdale 6. edition Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming BØK350 OPERASJONSANALYSE

  2. Innledning Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som: - Naturressurser, som oljereserver - Areal - Tid - Penger - Ansatte BØK350 OPERASJONSANALYSE

  3. Matematisk programmering MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive måten å utnytte begrensede ressurser; for å oppnå målsettingen til et individ eller en organisasjon. m.a.o.Optimering BØK350 OPERASJONSANALYSE

  4. Anvendelser avMatematisk Optimering Bestemme produksjonsmiks Produksjonsplanlegging Ruteplanlegging og logistikk Finansiell planlegging BØK350 OPERASJONSANALYSE

  5. Karakteristika foroptimeringsproblemer Beslutninger - Handlingsvariabler Restriksjoner - Begrensninger Målsetting - Målfunksjon BØK350 OPERASJONSANALYSE

  6. Generell form på etoptimeringsproblem MAX (eller MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Slik at :f1(X1, X2, …, Xn)<=b1 : fk(X1, X2, …, Xn)>=bk : fm(X1, X2, …, Xn)=bm Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP). BØK350 OPERASJONSANALYSE

  7. Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP) MAX (eller MIN): c1X1+ c2X2+ … + cnXn Slik at: a11X1+ a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1+ ak2X2 + … + aknXn>= bk : am1X1+ am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE

  8. Eksempel på et LP Problem Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rør tilgjengelig. BØK350 OPERASJONSANALYSE Blue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes.

  9. 5 trinn i formulering av LP modeller: • Forstå problemet. • Identifiser beslutningsvariablene. X1=antallAqua-Spa produsert X2=antallHydro-Lux produsert • Angi målfunksjonen som en lineærkombinasjon av beslutningsvariablene. MAX: 350X1 + 300X2 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  10. 5 trinn i formulering av LP modeller: Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1X1 + 1X2 <= 200 } pumper 9X1 + 6X2 <= 1566 } arbeid 12X1 + 16X2 <= 2880 } rør Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. X1 >= 0 X2 >= 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  11. LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs BØK350 OPERASJONSANALYSE

  12. Løsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkel • Idé: Hver Aqua-Spa (X1) skaper det største dekningsbidraget($350), produser derfor så mange som mulig! • Hvor mange kan vi produsere? • La X2 = 0 • 1. restriksjon: 1X1 <= 200 • 2. restriksjon: 9X1 <=1566ellerX1 <=174 • 3. restriksjon: 12X1 <= 2880 ellerX1 <= 240 • Hvis X2=0, så er den største mulige verdien av X1lik 174 og totalt dekningsbidrag er $350*174 + $300*0 = $60,900 • Denne løsningen ermulig, men er denoptimal? NEI! BØK350 OPERASJONSANALYSE

  13. Løsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkel • Restriksjonene i et LP problemdefinerer et mulighetsområde. • Det beste punktet i mulighetsområdeter den optimale løsningen av problemet. • For LP problemermed 2 variablerer det lett å plotte mulighetsområdet og finneden optimaleløsningen. • En akse for hver variabel • En linje for hver restriksjon • En linje for målfunksjonen BØK350 OPERASJONSANALYSE

  14. Tegne restriksjonene Vi må gjøre ulikhetene om til likheter for å kunne tegne restriksjonene. For bruk av pumper må vi gjøre om: 1·X1+ 1·X2≤ 200 1·X1 + 1·X2=200 Om vi bare har X2på venstre side får vi:1·X2= 200 – 1·X1 X2= 200/1 – 1/1·X1 Vi får dermed: X2 = 200 – 1·X1 Dette kan vi tegne inn i et diagram. BØK350 OPERASJONSANALYSE

  15. Plotte den første restriksjonen Bruk av pumper: X2 = 200 – 1·X1 X2 X1 = 0  X2 = 200 (punkt på Y-aksen) X1 ≥ 0 X2 = 0  200 – 1·X1 = 0  1·X1 = 200  X1 = 200/1 = 200 (punkt på X-aksen) 200 Bruk av pumper: • 1·X1 + 1·X2 = 200 • Bruk av pumper: • 1·X1 + 1·X2 ≤ 200 X2 ≥ 0 • Merk ikke-negativitet: • X2 ≥ 0 200 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  16. Plotte den andre restriksjonen Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2= 1566 X2 261 X1 = 0  6X2 = 1566  X2= 1566/6 = 261 (punkt på Y-aksen) X2 = 0  9X1= 1566 X1= 1566/9 = 174 (punkt på X-aksen) Bruk av arbeid: • 9X1 + 6X2 = 1566 Bruk av arbeid: 9X1 + 6X2≤ 1566 174 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  17. Felles mulighetsområde X2 Område som tilfredsstiller begge restriksjonene 261 200 Bruk av arbeid: • 9X1 + 6X2 = 1566 Bruk av pumper: • 1·X1 + 1·X2 = 200 200 174 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  18. Plotte den tredje restriksjonen Bruk av rør: 12X1 + 16X2 = 2880 X2 X1 = 0  16X2 = 2880  X2= 2880/16 = 180 (punkt på Y-aksen) X2 = 0  12X1 = 2880 X1= 2880/12 = 240 (punkt på X-aksen) 180 Bruk av rør: • 12X1 + 16X2 = 2880 Bruk av rør: 12X1 + 16X2≤2880 240 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  19. Felles mulighetsområde X2 261 Bruk av arbeid:9X1+ 6X2 = 1566 200 Område som tilfredsstiller alle restriksjonene 180 Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1+ 16X2 = 2880 200 174 240 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  20. Tegne målfunksjonen Vi ønsker å maksimere DB = 350X1 + 300X2. Anta at vi f.eks. produserer X1= 100 og X2= 0. Da blir DB = 350·100 + 300·0 = 35 000. Om vi skal ha samme DB men lar X1= 0, må: DB = 350·0 + 300· X2= 35 000  300· X2= 35 000  X2= 35 000/300 ≈ 116,67. Begge disse punktene: (100, 0) og (0, 116,67) gir samme DB = 35 000 . BØK350 OPERASJONSANALYSE

  21. Plottenivåkurverfor målfunksjonen X2 261 Bruk av arbeid:9X1+ 6X2 = 1566 200 180 • DB =350X1 + 300X2 Totalt DB= 35 000 116 Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1+ 16X2 = 2880 200 174 240 100 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  22. Ny nivåkurvefor målfunksjonen X2 (0,175) • DB =350X1 + 300X2 Totalt DB= 52 500 175 Første nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 100. Andre nivåkurve tar utgangspunkt i X1 = 150. 116 (150, 0) 150 100 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  23. Maksimalt dekningsbidrag I figuren har vi tegnet isobidragslinjen for totalt dekningsbidrag lik 52 500. Alle punkt på denne linjen har samme DB. Om vi parallellforskyver linjen oppover (nordøst) i diagrammet vil DB øke (jo mer vi produserer av produktene jo større blir DB). Når isobidragslinjen akkurat tangerer mulighetsområdet har vi maksimalt DB, en større produksjon er ikke mulig. Denne tangeringen vil alltid skje i ett (eller 2) hjørnepunkt. BØK350 OPERASJONSANALYSE

  24. Parallellforskyve nivåkurver X2 Størst mulig dekningsbidrag når nivåkurven ligger lengst nordøst, og samtidig tangerer mulighetsområdet. Optimal løsning 175 DB: 350X1+ 300X2= 52 500 116 DB: 350X1+ 300X2= 35 000 150 100 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  25. Optimal løsning X2 261 Bruk av arbeid:9X1+ 6X2 = 1566 DB =350X1 + 300X2 200 180 Optimal løsning der restriksjonene for arbeid og pumper krysser hverandre Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 200 Bruk av rør: 12X1+ 16X2 = 2880 200 174 240 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  26. Beregne den optimale løsningen • Den optimale løsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser. • Det skjer når de er like: X1+ X2 = 200 (1) 9X1+ 6X2 = 1566 (2) • Fra (1) får vi, X2= 200 -X1 (3) • Setter vi (3) for X2 inn i (2) får vi, 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566 Som forenkles til X1 = 122 • Så den optimale løsningen er, X1=122, X2= 200 – X1 X2 =200 – 122 = 78 Totalt DB = $350122 + $30078 = $66,100 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  27. Undersøke alle hjørneløsninger X2 (0,180) Målfunksjon = 54 000 MERK: Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsområdet ikke er lukket. (80,120) Målfunksjon = 64 000 (122,78) Målfunksjon = 66 100 (174,0) Målfunksjon = 60 900 (0,0) Målfunksjon = 0 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  28. SammendragGrafisk løsning av LP Problemer • Plottgrenselinjen for hver restriksjon. • Identifiser mulighetsområdet. • Finn optimal løsning enten ved: • Plottnivåkurver for målfunksjonen,eller • Beregnalle hjørneløsningene. BØK350 OPERASJONSANALYSE

  29. Spesielle tilfellerav LP Modeller Forskjelligunormale forholdkan inntreffe i LP problemer: Alternative optimale løsninger Overflødige restriksjoner Ubegrenset gode løsninger Ingen mulige løsninger BØK350 OPERASJONSANALYSE

  30. Alternative optimale løsninger X2 DB: 450X1+ 300X2= 78 300 Alle punktene på linjestykket har like stort dekningsbidrag, inklusive endepunktene, som er hvert sitt hjørnepunkt. I tillegg til disse to hjørnepunktene er altså også alle punkt imellom like gode. (122,78) MERK: Alternative optimale løsninger er gunstig. En har flere valgmuligheter. (174,0) X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  31. Overflødig restriksjon X2 261 Bruk av arbeid:9X1+ 6X2 = 1566 225 180 Bruk av pumper:1·X1 + 1·X2 = 225 Pumper påvirker ikke lenger mulighetsområdet Bruk av rør: 12X1+ 16X2 = 2880 MERK: «Overflødige» restriksjoner bør ikke fjernes. De er nødvendige når en skal foreta sensitivitetsanalyse. 225 174 240 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  32. Ubegrenset løsning X2 Max:X1+ X2 -1·X1 + 2·X2 ≤ 400 800 X1+ X2 ≥ 400 Kan øke verdien på målfunksjonen i de uendelige. Problemet har derfor en ubegrenset god løsning. Mulighetsområdet er ikke lukket i alle retninger. 400 200 MERK: Ved ubegrenset løsning vil det ikke fungere å beregne alle hjørnepunkter for å finne optimal løsning. 600 800 400 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  33. Ingen mulig løsning X2 Max:X1+ X2 Det finnes ingen områder som tilfredsstiller alle restriksjonene samtidig. X1+ X2 ≥ 200 200 150 X1 + X2 ≤ 150 MERK: Ved ingen mulig løsning er det ofte feil fortegn, eller feil retning på restriksjonsgrensene, eventuelt feil verdi på noen restriksjonsgrenser. Hvis alle data er riktig, må en vurdere tiltak for å gjøre problemet løsbart. (Øke kapasitet) Mulighetsområdet er tomt. 150 200 X1 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  34. Slutt på kapittel 2 BØK350 OPERASJONSANALYSE

  35. LP på generell form MAX (eller MIN): c1X1+ c2X2+ … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn>= bk : am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm BØK350 OPERASJONSANALYSE

  36. LP på standard form MAX (eller MIN): c1X1+ c2X2+ … + cnXn Slik at: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn<= bk : am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm Merk at alle restriksjonene er på formen ”<=” BØK350 OPERASJONSANALYSE

  37. Omformulering til standard form ak1X1+ ak2X2 + … + aknXn>= bk Multiplisergjennom med -1: -1| ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn>= bk  -ak1X1 - ak2X2 - … - aknXn<= -bk Tilsvarende erstattes en ”=” med både ”<=” og ”>=”: am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm  am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm og am1X1 + am2X2 + … + amnXn >= bm dvs. am1X1 + am2X2 + … + amnXn <= bm og -am1X1 - am2X2 - … - amnXn <= -bm BØK350 OPERASJONSANALYSE

  38. LP på kompakt form MAX (eller MIN): Slik at: BØK350 OPERASJONSANALYSE

  39. LP på matriseform MAX (eller MIN): Slik at: Der: BØK350 OPERASJONSANALYSE

More Related