Rette perpendicolari

1. Rette perpendicolari Due rette r e s si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli fra loro congruenti; ciascuno di questi angoli è un angolo retto. Teorema. La perpendicolare condotta per un punto a una retta data esiste sempre ed è unica.

2. Rette perpendicolari Il concetto di perpendicolarità permette di introdurre le seguenti definizioni: • Distanza di un punto P da una retta r : segmento di perpendicolare condotto da P su r. Il segmento PH è il segmento di minima lunghezza che congiunge P con r. H: piede, ossia proiezione ortogonale di P su r. • Consideriamo un segmento PQ e siano P’ e Q’ le proiezioni ortogonali di P e Q su r; il segmento P’Q’ si dice proiezione ortogonale di PQ su r.

3. Perpendicolarità Asse di un segmento AB: retta a ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio. K Ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento stesso. × ×

4. Perpendicolarità Dato un triangolo, di dice altezza relativa ad un lato il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto su quel lato. Triangolo acutangolo Triangolo ottusangolo Triangolo rettangolo Teorema. In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza.

5. Rette parallele Due rette si dicono parallele se non si intersecano oppure se sono coincidenti. L’esistenza di tali rette è garantita dal teorema: Teorema. Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora non hanno alcun punto in comune. • La relazione di parallelismo è: • Riflessiva: ogni retta è parallela a se stessa perché questo equivale a considerare due rette coincidenti • Simmetrica: se r ⁄⁄ s anche s ⁄⁄ r • Transitiva: se r ⁄⁄ s e s ⁄⁄ t anche r ⁄⁄ t. r s t

6. Rette parallele Direzione è la caratteristica comune a tutte le rette che sono tra loro parallele. L’insieme di tutte le rette che hanno la stessa direzione si dice fascio di rette parallele o fascio di rette improprio. Quinto postulato di Euclide A13. Dati una retta r ed un punto P, la parallela ad r per P è unica. P r

7. Rette parallele Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale t : • Alterni interni: γ e α’ o δ e β’ • Alterni esterni: α e γ’ o β e δ’ • Corrispondenti: α e α’ o β e β’ o γ e γ’ o δ e δ’ • Coniugati interni: γ e β’ o δ e α’ • Coniugati esterni: β e γ’ o α e δ’

8. Rette parallele Criterio generale di parallelismo. Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano: • angoli alterni congruenti; • angoli corrispondenti congruenti; • angoli coniugati supplementari. Angoli alterni congruenti Angoli corrispondenti congruenti Angoli coniugati supplementari

9. Triangoli SECONDO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO Teorema. In ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti. ACD≅ABC + BAC Teorema. La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto. ABC + BAC + ACB = π

10. Poligoni Da questa proprietà discende che: • Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. • La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente a n – 2 angoli piatti.

11. Poligoni • La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre congruente a due angoli piatti. • Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo. P r Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza PQ di un punto qualunque di una di esse dall’altra. s Q

12. Poligoni Criteri di congruenza per i triangoli rettangoli Teorema. Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: • i due cateti, oppure • un cateto e un angolo acuto, oppure • l’ipotenusa e un angolo acuto, oppure • l’ipotenusa e un cateto. Ipotenusa e cateto congruenti Cateti congruenti Ipotenusa e angolo acuto congruenti Cateto e angolo acuto congruenti