BUSSETTA Philippe Directeur: M. Daniel Marceau, UQAC

1. Modélisation et résolutiondu problème de contact mécaniqueet son applicationdans un contexte multiphysiqueSoutenance de thèsede doctorat en ingénierie BUSSETTA Philippe Directeur: M. Daniel Marceau, UQAC Codirecteur: M. Jean-Philippe Ponthot, ULg Université du Québec à Chicoutimi Département des sciences appliquées 3 Février 2009

2. Plan • Introduction • Mécanique du contact frottant • Méthodes de résolution • Limites des méthodes habituelles • Méthodes de résolution proposées • Conclusion et recommandations

3. Introduction • Introduction • Mécanique du contact frottant • Méthodes de résolution • Limites des méthodes habituelles • Méthodes de résolution proposées • Conclusion et recommandations • Problématique • Objectifs • État des connaissances • Méthodologie

4. Introduction…Problématique Le contact, un phénomène de tous les jours… Mathématique Physique Informatique Numérique

5. Introduction…Problématique… • Contrainte de Contact • Contraintes dans les solides • Résistance thermique • Résistance électrique • Méthode de résolution • Type de problème • Choix de paramètres

6. Introduction…Objectifs • Méthode de résolution • Polyvalente • Fiable • Rapide • Algorithme de résolution • Système d’équations • Discrétisation du contact • Discrétisation des frontières • Lois de contact

7. Introduction…État des connaissances • Modélisation mathématique • Méthode de résolution • Pénalisation (Sh. Keshavarz 08, etc.) • Multiplicateurs de Lagrange (H. Walter 99, etc.) • Lagrangien augmenté (J.C. Simo 92, etc.) • Discrétisation du contact • « Point-surface » (P. Goulet 04, etc.) • « Surface-surface » (M. A. Puso 04, etc.) • X-FEM (G. Legrain 05, etc.) • Lissage des frontières (D. Chamoret 04, etc.)

8. Introduction…Méthodologie • Technique de résolution • Étude comparative • Limites des méthodes usuelles • Méthode proposée • Discrétisation du contact • Étude comparative • Limites des méthodes usuelles • Méthode proposée

9. Mécanique du contact frottant • Introduction • Mécanique du contact frottant • Méthodes de résolution • Limites des méthodes habituelles • Méthodes de résolution proposées • Conclusion et recommandations • Physique du problème • Contact frottant • Modélisation du contact • Modélisation du frottement • Principe des travaux virtuels

10. Mécanique du contact frottant...Physique du problème Représentation du contact entre deux solides • Statut de contact? • Configuration déformée?

11. Mécanique du contact frottant...Contact frottant Modélisation du contact Lois non différentiables Loi de contact unilatérale

12. Mécanique du contact frottant... Contact frottant… Modélisation du frottement Lois non différentiables Loi de frottement de Coulomb

13. Mécanique du contact frottant...Principe des travaux virtuels Travaux virtuels des forces internes Travaux virtuels des forces de contact Travaux virtuels des forces externes

14. Méthodes de résolution • Introduction • Mécanique du contact frottant • Méthodes de résolution • Limites des méthodes habituelles • Méthodes de résolution proposées • Conclusion et recommandations • Système d’équations • Pénalisation • Lagrangien augmenté • Discrétisation du contact • « Point-surface » • « Surface-surface » • Algorithmes de résolution • Pénalisation • Pénalisation adaptative • Lagrangien augmenté

15. Méthodes de résolution…Système d’équations Méthode de pénalisation Loi de contact Coefficients de pénalisation? Loi de frottement

16. Méthodes de résolution…Système d’équations… Méthode du lagrangien augmenté Loi de contact Coefficients de pénalisation? Loi de frottement Augmentation des lagrangiens

17. Méthodes de résolution…Discrétisation du contact Méthode « point-surface » Conditions d’admissibilité • Problèmes : • Frontières irrégulières • Déplacements relatifs importants Représentation du calcul de l’interpénétration au point A

18. Méthodes de résolution…Discrétisation du contact… Méthode « surface-surface » Conditions d’admissibilité Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A • Problème : • Pour chaque nœud • Vecteur normal • Vecteur tangent

19. Méthodes de résolution…Algorithmes de résolution Méthode de pénalisation Méthode de Newton-Raphson :

20. Méthodes de résolution…Algorithmes de résolution… Méthode de pénalisation adaptative L’interpénétration doit respecter : Calcul du coefficient de pénalisation normale :

21. Méthodes de résolution…Algorithmes de résolution… Méthode du lagrangien augmenté Méthode de Newton-Raphson :

22. Limites des méthodes habituelles • Introduction • Mécanique du contact frottant • Méthodes de résolution • Limites des méthodes habituelles • Méthodes de résolution proposées • Conclusion et recommandations • Problème de Hertz • Pénalisation • Pénalisation adaptative • Lagrangien augmenté • Tubes concentriques

23. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz Deux cylindres en acier Rayon : 25 cm Module d’Young : 200 GPa Coefficient de Poisson : 0,3 Limite d’élasticité (se): 472 MPa Loi d’écrouissage : se + Ke K : 640 acier

24. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Nombre d’itérations

25. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz… Méthode de pénalisation Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

26. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Nombre d’itérations

27. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

28. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Nombre d’itérations

29. Limites des méthodes habituelles…Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

30. Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques Écrasement de deux tubes concentriques Rayon de contact : 25 cm Épaisseur (e) : 1 cm Coefficient de frottement : 0, 15 Module d’Young : 200 GPa Coefficient de Poisson : 0, 3 Limite d’élasticité (se): 472 MPa Loi d’écrouissage : se + Ke K : 640 Déplacement U imposé Frontière fixe

31. Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques… Maillage utilisés Frontières de contact Longueur : 10 cm

32. Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques… Nombre d’itérations en fonction du type de modélisation

33. Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation Maillage 1 Maillage 2

34. Limites des méthodes habituelles…Tubes concentriques… Contrainte normale de contact avec la méthode du lagrangien augmenté Maillage 1 Maillage 2

35. Méthodes de résolution proposées • Introduction • Mécanique du contact frottant • Méthodes de résolution • Limites des méthodes habituelles • Méthodes de résolution proposées • Conclusion et recommandations • Méthode « Surface-surface » • Pénalisation adaptative modifiée • Lagrangien augmenté adapté • Validation • Problème de Hertz • Tubes concentriques • Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse

36. Méthodes de résolution proposées…Méthode « Surface-surface » Conditions d’admissibilité Représentation du calcul de l’interpénétration au noeud A • Solution : • Pour chaque nœud • Vecteur normal et tangent (élément maître) Problème 3D

37. Méthodes de résolution proposées…Pénalisation adapté modifié Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi-1 gi≈ gi-1 gi > gi-1

38. Méthodes de résolution proposées…Lagrangien augmenté adapté Algorithme de calcul de la force normale de contact : Ai g2 Ai-1

39. Méthodes de résolution proposées…Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation normal gi >> gi-1 gi≈ gi-1 gi > gi-1

40. Méthodes de résolution proposées…Lagrangien augmenté adapté… Algorithme de calcul du coefficient de pénalisation tangentiel Initialisation Adaptation

41. Méthodes de résolution proposées…Validation Problème de Hertz acier

42. Méthodes de résolution proposées…Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée Nombre d’itérations

43. Méthodes de résolution proposées…Validation… Problème de Hertz… Méthode de pénalisation adaptative modifiée… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

44. Méthodes de résolution proposées…Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté Nombre d’itérations

45. Méthodes de résolution proposées…Validation… Problème de Hertz… Méthode du lagrangien augmenté adapté… Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élastique) Contrainte normale de contact tn (maillage 4 et comportement élasto-plastique)

46. Méthodes de résolution proposées…Validation… Écrasement de deux tubes concentriques Maillage utilisés

47. Méthodes de résolution proposées…Validation… Écrasement de deux tubes concentriques… Méthode « surface-surface » Contrainte normale de contact avec la méthode de pénalisation (en = 105 et et = 104) Maillage 1 Maillage 2

48. Méthodes de résolution proposées…Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse carbone fonte acier Courbe de montée en température du dessus du bloc cathodique Schéma d’un bloc cathodique

49. Méthodes de résolution proposées…Validation… Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Maillage d’un bloc cathodique

50. Méthodes de résolution proposées…Validation… Pénalisation – Lagrangien augmenté adapté Préchauffage de la cathode d’une cuve d’électrolyse… Nombre d’itération en fonction du pas de temps Valeur maximale de l’interpénétration pour chaque pas de temps avec la méthode du lagrangien augmenté adapté