Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowa ń konforemnych

1. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych • współrzędne izometryczne • twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych • elementarna skala zniekształceń długości w odwzorowaniach konforemnych • zbieżność południków w odwzorowaniach konforemnych

2. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne Jeżeli elementarny łuk ds na powierzchni da się przedstawić w postaci gdzie (u,v) jest dowolną funkcją rzeczywistą parametrów u,v,to wówczas współrzędne u,v są współrzędnymi izometrycznymi. Ponieważ kwadrat elementarnego łuku na danej powierzchni określa wzór stąd widać, że współrzędne u,v są współrzędnymi izometrycznymi wówczas gdy F=0 oraz E=G. Pierwszy z tych warunków oznacza, że siatka linii parametrycznych musi być ortogonalna na danej powierzchni.

3. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne – własności Wzór na długość elementarnego łuku południka v=const na danej powierzchni odpowiadającego elementarnemu przyrostowi parametru u ma postać Wzór na długość elementarnego łuku równoleżnika u=const odpowiadającego elementarnemu przyrostowi parametru v ma postać Stąd widać, że jeżeli współrzędne u,v są współrzędnymi izometrycznymi (F=0, E=G) wtedy jednakowe przyrosty parametrów u=v powodują jednakowe przesunięcia punktów wzdłuż linii parametrycznych, i na odwrót jednakowe przesunięcia punktów wzdłuż linii parametrycznych powodują jednakowe przyrosty parametrów u=v.

4. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne na płaszczyźnie i powierzchni kuli Układ współrzędnych prostokątnych płaskich xoy jest izometryczny, wówczas gdy jednostki długości w kierunku osi x i y są takie same Dla powierzchni kuli opisanej równaniem współczynniki pierwszej formy kwadratowej mają postać

5. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne na powierzchni kuli a więc kwadrat elementarnego łuku na sferze można zapisać w postaci Stąd widać, że układ współrzędnych geograficznych nie jest układem izometrycznym. Aby wprowadzić na kuli układ współrzędnych izometrycznych należy dokonać przekształcenia powyższego wzoru do postaci Następnie wprowadzamy zmiennąq

6. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne na powierzchni kuli stąd otrzymujemy Zmienna q nosi nazwę szerokości geograficznej izometrycznej. Po wprowadzeniu szerokości izometrycznej uzyskujemy na powierzchni kuli układ współrzędnych izometrycznych

7. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne na powierzchni elipsoidy Dla powierzchni elipsoidy opisanej równaniem współczynniki pierwszej formy kwadratowej mają postać a więc kwadrat elementarnego łuku na powierzchni elipsoidy można zapisać w postaci

8. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Współrzędne izometryczne na powierzchni elipsoidy Stąd widać, że w powyższym równaniu należy wprowadzić zmiennąq rozwiązując równanie różniczkowe Zmienna q nosi nazwę szerokości geodezyjnej izometrycznej i jest określona wzorem Kwadrat elementarnego łuku na powierzchni elipsoidy ma więc postać

9. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych Jeżeli na powierzchni oryginału wprowadzimy współrzędne izometryczne u i v oraz na powierzchni obrazu współrzędne izometryczne i  to dowolne odwzorowaniekonforemne jest określone związkiem +i= f(z)=f(u+iv), gdzief(u+iv) jest funkcją analityczną zmiennej zespolonej opochodnej różnej od zera

10. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych –dowód Mamy daną powierzchnię oryginału o równaniu oraz powierzchnię obrazu o równaniu Pierwsze formy kwadratowe tych powierzchni mają postaci Dowolne odwzorowanie regularne można określić związkami

11. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych –dowód Wtedy równanie powierzchni obrazu możemy zapisać w postaci natomiast po wyznaczeniu różniczek pierwszą formę kwadratową tej powierzchni można zapisać w postaci Na podstawie warunku równokątności

12. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych –dowód widać, że powyższe odwzorowanie jest odwzorowaniem konforemnym wówczas gdy Powyższy układ równań jest spełniony, wówczas gdy spełniony jest układ równań lub

13. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Funkcja analityczna • Warunek konieczny i wystarczający – równania Cauchy-Riemanna • Każdy szereg potęgowy zmiennej zespolonej z jest funkcją analityczną wewnątrz swegokoła zbieżności.

14. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Etapy konstruowania odwzorowań konforemnych • Obiór współrzędnych izometrycznych (u,v) na powierzchni oryginału • Obiór współrzędnych izometrycznych (,) na powierzchni obrazu • Obiór funkcji analitycznej +i =f(u+iv) • Rozdzielenie tej funkcji na część rzeczywistą i urojoną

15. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Elementarna skala zniekształceń długości w odwzorowaniach konforemnych Elementarnaskala zniekształceń długości w odwzorowaniach kartograficznych ma postać W odwzorowaniu konforemnym elementarne łuki na powierzchni oryginału i powierzchni obrazu mają postać

16. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Elementarna skala zniekształceń długości w odwzorowaniach konforemnych Stąd elementarna skala w odwzorowaniu konforemnymma postać ostatecznie możemy napisać

17. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Zbieżność południków w odwzorowaniach konforemnych W odwzorowaniu kartograficznym określonym równaniem zbieżność południków można określić za pomocą wzoru W przypadku gdy na powierzchni oryginału mamy parametryzację ortogonalną oraz odwzorowanie jest odwzorowaniem równokątnym zbieżność południków można również wyznaczyć za pomocą wzoru:

18. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Odwzorowanie kartograficzne konforemne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę Odwzorowanie konforemne elipsoidy obrotowej spłaszczonej o równaniu można przedstawić za pomocą funkcji analitycznej zmiennej zespolonej

19. Wykład 11. Podstawy teoretyczne odwzorowań konforemnych Odwzorowanie kartograficzne konforemne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę gdzie q jest szerokością geodezyjną izometryczną Elementarna skala zniekształceń długości w odwzorowaniu konforemnym elipsoidy w płaszczyznę ma postać