Statistično zaključevanje (inferenčna statistika)

1. Statistično zaključevanje (inferenčna statistika) = zaključevanje o značilnostih populacije ven

2. Inferenčna statistika Izberemo vzorec. Določimo statistiko (npr. M). Posplošujemo z vzorca na populacijo. • ocenjevanje parametraVprašanje: Kolikšen je parameter (m) v populaciji? • testiranje hipotezVprašanje: Ali je M pomembno različna od neke vrednosti? ven

3. Populacija in vzorec • posploševanje z vzorca na populacijo • opredelitev populacije in vzorcasestavljanje liste, s katere vzorčimo • reprezentativnost, nepristranskost vzorec ima podobne lastnosti kot populacija (enakost deležev) • velikost vzorca ekonomičen N, dopustna napaka vzorčenja, variabilnost pojava, pričakovana razlika, določitev N iz enačb za testiranje hipotez ven

4. Vzorčne porazdelitve ven

5. Vzorčne porazdelitve ven

6. Vzorčne porazdelitve • Če iz definirane populacije izberemo vse možne vzorce velikosti N, lahko za vsak vzorec določimo statistike (npr. M, SD). Statistike se od vzorca do vzorca spreminjajo. vzorčne porazdelitve statistik • opisnih statistik vzorca, npr. M, var, p, r… • drugih izrazov, npr. • Vsako vzorčno porazdelitev lahko opišemo: MstatistikeSD = SEstatistike ven

7. Vzorčne porazdelitve frekvenčna porazdelitev spremenljivke SD M Vzorčne porazdelitve različnih statistik se razlikujejo: normalna, F, t, c2 vzorčna porazdelitev statistike SEstatistike Mstatistike ven

8. Če je vzorec velik, bo statistika vzorca bolj podobna parametru. Razpršenost vzorčne porazdelitve se z večanjem vzorca manjša. Vzorčne porazdelitve frekvenčna porazdelitev spremenljivke SD M vzorčna porazdelitev statistike za manjše / večje vzorce SEstatistike Mstatistike ven

9. Standardna napaka Standardna napaka M SEM= standardni odklon vzorčnih aritmetičnih sredin Standardna napaka se z večanjem vzorca manjša. ven

10. Ocenjevanje parametra Vzorčna statistika je ocena populacijskega parametra. Točkovna ocena parametra • Nepristranska ocena:Sredina vzorčne porazdelitve statistike je enaka ocenjevanemu parametru.Velja za vse mere centralne tendence, deleže, korelacijske koeficiente. • Pristranska ocena:Mere razpršenosti. Vzorčna SD podcenjuje vrednost s. ven

11. Ocenjevanje parametra Intervalna ocena parametra razpon vrednosti, znotraj katerega se bo populacijski parameter nahajal z določeno verjetnostjo B = B-odstotni interval zaupanja ven

12. Intervalno ocenjevanje Mpri velikih vzorcih Ocenjevanje parametra SEM M m vzorčna porazdelitev M je N.D. N (0,1) 1 0 z

13. grafični prikaz kvantilov SEM · zp SDz · zp vzorčna porazdelitev z 1 - a p = a / 2 a / 2 SDz = 1 zsp zzg z = 0 vzorčna porazdelitev M 1 - a p = a / 2 a / 2 SEM sp zg  ven

14. Pri majhnih vzorcih Interval zaupanja za m: df = N - 1 Ocenjevanje parametra Vzorčna porazdelitev M jeN.D. le, če je frekvenčna porazdelitev spremenljivke normalna. preveriti Vrednost SEM se spreminja z velikostjo vzorca. Vzorčna porazdelitev je odvisna od stopenj prostosti. SEM m 1 0

15. Testiranje hipotez • Postavimo dve nasprotni si hipotezi (ničelno in alternativno). H0: V našem vzorcu je povprečni IQ enak 100 (oz. naš vzorec izhaja iz populacije, kjer je povprečni IQ enak 100; M = 100). H1: V našem vzorcu je povprečni IQ različen od 100. (oz. naš vzorec ne izhaja iz populacije, kjer je povprečni IQ enak 100; M  100). • Konstruiramo vzorčno porazdelitev (pod predpostavko pravilnosti ničelne hipoteze). odvisna od velikosti vzorca odvisna od razpršenosti v populaciji SE 100

16. Če je vrednost statistike verjetna (znotraj intervala zaupanja), ohranimo ničelno hipotezo. Če je vrednost višja/nižja od zgornje/spodnje meje intervala zaupanja (pade v kritično regijo), ničelno hipotezo zavrnemo. (Pravilnost ničelne hipoteze je malo verjetna. Alternativna hipoteza je verjetnejša. Statistika našega vzorca se od poznanega / predpostavljenega parametra pomembno razlikuje.) Testiranje hipotez Na osnovi vzorčne porazdelitve poznamo verjetnost pojavljanja določene vrednosti statistike. SE SE 100 100 M M

17. Napake pri statističnem zaključevanju naš zaključek r = 0 M = m r 0 M m pravilna potrditev ničelne hipoteze r = 0 M = m a napaka dejansko stanje pravilna zavrnitev ničelne hipoteze r 0 M m b napaka

18. zkrit. zkrit. z Napake pri statističnem zaključevanju a napaka zkrit. zkrit. z b napaka ven

19. Raziskovalni načrti z 1 NV in 1 OV • primerjava vzorca s populacijo (primerjava vzorčne statistike s poznano ali predpostavljeno vrednostjo parametra) • primerjava statistik dveh vzorcev • primerjava statistik več vzorcev Ali so vrednosti preveč različne? Ali vzorci pripadajo isti populaciji? ven

20. Testiranje hipotez o povprečju: primerjava povprečja vzorca z znano vrednostjo H0: M = m H1: Mm SEM M m tkrit. tkrit. 1 t primerjamo s tkrit 0 z

21. Testiranje hipotez o povprečju: primerjava povprečja vzorca z znano vrednostjo Če bi bila ničelna hipoteza pravilna (če bi vzorčili iz populacije s sredino 6.0), bi vrednosti t v 5 % vzorcev presegale 2.09. Verjetnost pojavljanja t vrednosti 4.60 zaradi napake vzorčenja bi bila zelo majhna, manjša od 5 %. Večja verjetnost je, da vrednost našega vzorca ni posledica napake vzorčenja, temveč da naš vzorec pripada neki drugi populaciji. Ničelno hipotezo zavrnemo, sprejmemo alternativno. Povprečje našega vzorca statistično pomembno odstopa od 6.0. Študenti v povprečju na nekem testu dosegajo rezultat 6.0, rezultati testa v naši skupini pa so bili naslednji: 9 7 4 11 10 8 7 10 7 4 7 10 8 10 6 8 10 7 8 9 Vprašanje: Ali je naša skupina običajna skupina študentov ali morda ne? Ali je povprečje našega vzorca enako 6.0? H0: M = 6.0 H1: M6.0 M = 8.0 s’ = 1.95 SEM = 1.95 / Sqrt(20) = 0.44 t = (8.0 - 6.0) / 0.44 = 4.60 df = N - 1 = 19 tkrit (19) = 2.09 t > tkrit 0.44 6.0 8.0 --- t = 4.6

22. t-test Primerjava povprečij dveh vzorcev Ali oba vzorca izhajata iz iste populacije?Je razlika med njunimi Mničelna? Ima NV vpliv na OV?

23. Primer t testa dva neodvisna vzorca Vprašanje: Ali se študenti iz EU po znanju slovenščine razlikujejo od študentov iz drugih držav? Pr.1 S1 S2 7.0 7.5 14.0 5.0 10.0 5.0 11.0 6.0 8.5 1.0 5.0 6.0 4.5 9.0 11.0 3.0 9.0 6.0 10.0 7.0 M 9.00 5.55 s’ 2.90 2.27var’ 8.41 5.15 t = (9.00-5.55) / 1.16 = 2.97df = 10+10-2 = 18; t.05(18) = 2.101 kritični t Naša vzorca se razlikujeta za 3.45, medtem ko je variabilnost vrednosti znotraj vsakega vzorca sorazmerno majhna. Razlika med vzorcema je v primerjavi z razlikami med osebami znotraj vzorcev precejšnja. S t-testom ugotovimo, ali je razlika med sredinama obeh vzorcev tudi statistično pomembna. Če bi neštetokrat vzorčili po dva vzorca iz iste populacije, bi pri 5% primerov vzorčenj vrednost t-testa presegla kritično vrednost 2.101. Naš dobljeni t znaša 2.97 in je višji od kritične vrednosti. To pomeni, da bi v manj kot 5% primerov vzorčenj iz iste populacije potegnili dva tako različna vzorca, kot sta naša. Ker je naša dobljena vrednost t višja od kritične, zaključujemo, da je verjetnost, da smo oba vzorca potegnili iz iste populacije, premajhna. Najverjetneje vzorca izhajata iz dveh različnih populacij. Zaključimo, da se aritmetični sredini pri naših vzorcih statistično pomembno razlikujeta, oz. da je S1 dosegala statistično pomembno drugačne rezultate od S2. Neodvisna spremenljivka (to, iz katere skupine držav je učenec) je imela učinek na merjeno odvisno spremenljivko (znanje slovenščine).

24. Primerjava povprečij več vzorcev Analiza variance • preverjamo pomembnost razlik med sredinami več vzorcev • meritve v več pogojih (oz. vzorčenje iz več populacij) • H0: ni razlik med njihovimi m ven

25. Analiza variance • preverjamo pomembnost razlik med sredinami več vzorcev • meritve v več pogojih (oz. vzorčenje iz več populacij) • H0: ni razlik med njihovimi m ven

26. Analiza variance Ocena variance Skupno varianco vseh podatkov lahko razstavimo na dva dela: • varianco napake, ki je posledica: • napak merjenja (slabih merskih instrumentov), • napak kontrole (zunanjih spremenljivk), • razlik med posamezniki • varianco, nastalo zaradi učinkov neodvisne spremenljivke vsota kvadratov odklonov (SS) df

27. Analizavariance Mtot Mj Yi skupna variabilnost variabilnost znotraj skupin variabilnost med skupinami

28. Primer analize variance za dva vzorca 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 MT = 7SSznotraj-1 = 1(2-4)2 + 2(3-4)2 + 3(4-4)2 + 2(5-4)2 + 1(6-4)2 =12 SSznotraj-2 = 1(8-10)2 + 2(9-10)2 + 3(10-10)2 + 2(11-10)2 + 1(12-10)2 =12 SSmed = 9(4-7)2 + 9(10-7)2 = 81 + 81 = 162 dfznotraj = N - a = 18 - 2 = 16 dfmed = a - 1 = 2 - 1 = 1 MSznotraj = SSznotraj / dfznotraj = 24 / 16 = 1.5MSmed = SSmed / dfmed = 162 / 1 = 162F = 162 /1.5 = 108Ft (1,16) = 4.49 ven

29. Primer analize variance za dva vzorca Tabela povzetka analize variance izvor variabilnost SS df MS F p NV 162 1 162.0 108 < .001 napaka 24 16 1.5 skupaj 186 89 Skupina 1 (M = 4.0, SD = 1.2) je dosegla statistično pomembno drugačne rezultate od skupine 2 (M = 10.0, SD = 1.2), F (1, 16) = 108, p < .001. ven t-test

30. Analiza variance • neponovljene in ponovljene meritve • pogoji: • nominalna NV • OV na vsaj intervalni merski ravni • normalna porazdelitev spremenljivke v populaciji • enakost varianc vzorcev • analiza variance za več NV • dvosmerna, trismerna ANOVA • glavni učinki + interakcija med NV ven

31. Statistično zaključevanje za frekvence • Opis: tabele, frekvenčni poligoni, histogrami • Običajna vprašanja:- enakost deležev kategorij pri več vzorcih- ujemanje dejanskih podatkov s pričakovanimi, testiranje hipotez o obliki porazdelitve - povezanost (interakcija) med dvema nominalnima spremenljivkama ven

32. c2 test za eno spremenljivko • Ali je višja pogostost ene kategorije slučajna? • pričakovane frekvence • H0: Populacijska frekvenčna distribucija je enaka pričakovani. • odstopanje dejanskih od pričakovanih vrednosti … Pearsonov c2- približek c2 distribucije df = a - 1 ven

33. Primer c2 testa za preverjanje pravokotnosti porazdelitve (= enakosti deleža oseb v vseh kategorijah) Delež izbir napačnih alternativ na vprašanju zaprtega tipa: a) b) c) fe 30 40 80 skupaj 150 dejanski delež 0.20 0.27 0.53 ft 50 50 50 teoretični delež 0.33 0.33 0.33 c2(2)= (30-50)2/50 + (40-50)2/50 + (80-50)2/50 = 28 kritična vrednost c2 pri 5% tveganju: 5.99 Naš dobljeni c2 presega kritično vrednost. Če bi neštetokrat vzorčili iz populacije, kjer osebe enakovredno izbirajo napačne alternative (kjer je delež izbire vseh alternativ enak, in sicer 0.33), bi kritično vrednost c2 po slučaju preseglo le 5 % vzorcev. Ker so bili deleži v našem vzorcu zelo različni od teoretičnega deleža 0.33 in je zato c2 pri našem vzorcu zelo presegel kritično vrednost, ni preveč verjetno, da smo ga potegnili iz populacije, kjer osebe enako pogosto izbirajo vse tri alternative. Bolj verjetno kot to je, da smo ga povlekli iz populacije, kjer osebe različne alternative izbirajo različno pogosto. Zaključimo torej, da alternativni odgovori niso enako privlačni. ven

34. c2 test odvisnosti dveh spremenljivk • kontingenčna tabela • H0: Vpliv ene spremenljivke ni odvisen od druge spremenljivke (na vseh ravneh ene spremenljivke so ravni druge enako izražene). • pričakovana frekvenca ft = fvrsta fstolpec/ N • v vsakem polju izračunamo • seštejemo izračune v vseh poljih, dobimo c2 • Dobljeno vrednost primerjamo s kritično vrednostjo c2 df = (število vrstic - 1) (število stolpcev - 1) ven

35. uspešnost pri nalogi 1 +- ženske 36 14 50 (29) (21) moški 22 28 50 (29) (21) 58 42 100 c2 = (36-29)2/29 + (14-21)2/21 + (22-29)2/29 + (28-21)2/21 = 8.05 df = (število vrstic - 1) ·(število stolpcev - 1) = (2-1)(2-1) = 1 kritična vrednost: c2.05 (1) = 3.841 Naš dobljeni c2 je višji od kritične vrednosti, kar pomeni, da je rezultat statistično pomemben. Če bi naš vzorec izhajal iz populacije, kjer se moški in ženske ne bi razlikovali v uspešnosti pri nalogi, bi v manj kot 5% vzorcev dejanske frekvence tako zelo odstopale od teoretičnih. To pomeni, da je bolj kot to, da smo vzorec vlekli iz populacije, kjer oba spola enako pogosto pravilno odgovorita, verjetno, da smo vzorec vlekli iz populacije, v kateri se ženske in moški razlikujejo v uspešnosti reševanja naloge. Zaključimo, da so ženske pri reševanju naloge statistično pomembno bolj uspešne kot moški. robna vsota frekvenc V oklepajih so navedene teoretične frekvence. število vseh oseb robna vsota frekvenc

36. Previdnost! • Interpretacija izsledka naj upošteva značilnosti raziskovalnega načrta. • Statistična pomembnost je relativen pojem. Raste z velikostjo vzorca. ------- Pregledati velikost učinka • Ni statistično pomembno = ni dokazano. Če ničelne hipoteze ne zavrnemo, to še ne pomeni, da je pravilna. Pri opazovanem pojavu ni bilo tako izrazitega učinka NV, da bi ga zaznali, kar ne pomeni, da zagotovo ne obstaja. • V nekaterih primerih parametričnih testov ne moremo uporabiti. ven

37. vrsta statistike raven merjenja normalnost porazdelitve enakost varianc odvisni / neodvisni vzorci majhni / veliki vzorci vrednost ničelne hipoteze nivo tveganja enosmerno / dvosmerno testiranje Neparametrični testi pogosto pri majhnih vzorcih, pri omejenosti razpona, stališča (U-porazdelitev) Pri intervalnih ali razmernostnih spremenljivkah z neparametričnimi testi ne upoštevamo vseh informacij - nižja moč testa (ničelno hipotezo, ki je napačna, težje ovržemo). Izbor ustreznega statističnega testa ven

38. Testiranje hipotez o povprečju Povprečja N.D. parametrični testi več vzorcev 2 vzorca 1 vzorec neodvisna neodvisnih odvisnih odvisna enosmerna ANOVA (GLM - univariate) enosmerna ANOVA (GLM - repeated-measures) t test (one-sample) t test (independent) t test (paired-samples) ven

39. Testiranje hipotez o povprečju Povprečja ni N.D. neparametrični testi 2 vzorca 1 vzorec več vzorcev odvisna neodvisnih neodvisna odvisnih binomski test - Mann- Whitneyev U - medianski test - Wilcoxonov T test (matched pairs) - test predznakov - Kruskal- Wallisov H - razširjeni medianski test Friedmanov test ven

40. Osnovna literatura • Ferguson, G. A. (1998). Statistical analysis in psychology and education (3.izd.). New York: McGraw-Hill. • Graveter, F.J., in Wallnau, L.B. (2000). Statistics for the Behavioral Sciences (5.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. • Pagano, R.R. (2001). Understanding Statistics in the Behavioral Sciences (6.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. • Petz, B. (1997). Osnovne statističke metode za nematematičare (3. izd.). Jastrebarsko: Naklada Slap. • Spatz, C. (2001). Basic Statistics (7.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning. • Spiegel, M. R. (1991). Theory and problems of statistics (2. izd.). New York: McGraw - Hill. ven