Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

1. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika (tõenäosus ja statistika)

2. Tundide jaotus • Kokku 35 tundi (üks 11. klassi matemaatika kursustest, nii kitsas kui ka laias matemaatikas) • Hindamine: • kontrolltööd (3-4) • praktiline töö (statistikast)

3. Materjalid • VIKO:http://viko.edu.ee

4. Õpikud: • K. Velsker, L. Lepmann, T. Lepmann “Matemaatika XI klassile” • T. Tõnso, A. Veelmaa “ Matemaatika 12. klassile” • O. Prinits “Matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria elemente keskkoolile : fakultatiivkursus” (1977) • arvukalt Internetist leitavad allikad

5. võõrkeelsed: • В.С. Лютикас “Факультативный курс по математике / теория вероятностей“ (1990) • C.M.Grinstead, J. Laurie Snell “Introduction to probability.”(vt http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html)

6. Ajaloost • Tekkinud 17. sajandil seoses hasartmängudega (kaardid, täringud) • AntoineGombaud’ (Chevalier de Méré) probleemid – kirjavahetus de Fermat’ja Pascal’iga

7. De Méré probleem • Teatud võrdsete võimalustega mängu mängitakse kindla arvu võitudeni (näiteks 3 võiduni). Kui mingil põhjusel mäng katkestatakse, kuidas tuleks siis panused jaotada (kui jaotada ausalt!)? Kui näit. esimene mängija on katkestamise momendiks võitnud kaks ja teine mängija ühe mängu?Kas jagada suhtes 2:1? Või mingis muus suhtes?

8. Ajaloost • Huygens – esimene tõenäosusteooria raamat 1657. a • Bernoulli – Bernoulli valem, Bernoulli suurte arvude seadus • Gauss – Gaussi kõver • Tšebõšev (ingl k Chebychev) – suurte arvude seadus (katseliselt määratava suuruse tõelise väärtuse parimaks lähendiks on katsetulemuste aritmeetiline keskmine, mis on seda usaldusväärsem, mida pikema katseseeria põhjal see on leitud) • Kolmogorov – tõenäosusteooria aksiomaatika looja ("Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung”(“Tõenäosusteooria põhimõisted”), 1933

9. Põhimõisted • Katse – toiming, mille korraldamise protseduur on fikseeritud; katse käigus jälgitakse, kas teatud sündmused toimuvad või mitte • Sündmus – katse tulemus Näide 1 • Katseks on täringu viskamine • Sündmused: • saadakse 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma • saadakse paarisarv silmi • silmade arv jagub 3-ga jne

10. Näide 2 • Visatakse korraga kahte täringut • Sündmused: • Summana saadakse 2, 3, 4, …, 12 silma • Ühel täringul on suurem silmade arv kui teisel • Summana saadakse vähemalt 3 silma • Mõlemal täringul on sama silmade arv

11. Sündmuste liigitamine • Näide 3 • Katseks on ühe täringu viskamine • A – saadakse 7 silmaB – saadakse 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silmaC – saadakse 4 silma võimatu sündmus kindel sündmus juhuslik sündmus

12. Võimatu sündmus – sündmus, mis antud katse käigus ei saa esile tulla; tähistus • Kindel sündmus – sündmus, mis antud katses kindlasti toimub; tähistus • Juhuslik sündmus – sündmus, mis antud katse käigus võib toimuda, võib aga ka mitte toimuda; tähistatakse A, B, C, … vahel kasutatakse ka indekseid: A1, A2, A3, …

13. Põhimõisted (II) • Vastandsündmus – seisneb sündmuse Amittetoimumises; tähistus (loe: A kaetud) • Näide Katseks on kahe täringu viskamine A – summana saadakse vähemalt 6 silma ( ) - summaks on 2, 3, 4 või 5 silma (<6)

14. Ülesanne 1

15. Ülesanne 1

16. Põhimõisted (III) • Sõltumatud sündmused – kui katse kordamisel ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist • Sõltuvad sündmused– ühe sündmuse toimumisest sõltub teise sündmuse toimumine

17. Näide sõltumatute sündmuste kohta Täringut visatakse järjest kaks korda. A – esimesel viskel saadakse 4 silmaB – teisel viskel saadakse 3 silma Sündmused A ja B on sõltumatud, sest teise viske tulemus ei sõltu esimese katse tulemusest.

18. Näide sõltuvate sündmuste kohtaKaardipakist võetakse järjest kaks kaarti. Esimest kaarti ei panda enne teise võtmist pakki tagasi.A – esimene kaart on ärtuB – teine kaart on samuti ärtuKui A toimub, siis on B toimumiseks 12 võimalust.Kui A ei toimu, siis on B toimumiseks 13 võimalust. Sündmuse B toimumine on sõltuv sündmuse A toimumisest. A ja B on sõltuvad sündmused.

19. De Méré probleemi lahendus (Fermat’ lahendus) Mängija A võit: Mängija B võit: Võitude suhe:

20. Nuputamiseks Teatud võrdsete võimalustega mängu mängitakse nelja võiduni. Enne mängu panustab kumbki mängija 100 raha. Katkestamise momendiks on mängija A võitnud kolm mängu, mängija B aga ühe mängu. Kuidas tuleks panustatud raha (200) jaotada?

21. /jätk/ Panuste jagamine.Kokku on 200 raha.Jagada tuleb suhtes 7:1.Osade koguarv on 8. Üks osa on Mängija A peab saama: mängija B peab saama:

22. Põhimõised (III) • Teineteist välistavad sündmused – sündmused, millest ühe toimumisel on teise sündmuse toimumine samal katsel võimatu • NäideVisatakse täringut.A – saadakse 4 silma,B – saadakse 5 silma.Sündmused A ja B on teineteist välistavad sündmused. • Aga:Visatakse korraga kahte täringut.C – saadud summa jagub 3-gaD – saadud summa jagub 2-gaSündmused C ja D ei ole teineteist välistavad (näit. kui summa on 12, siis see jagub nii 2-ga kui ka 3-ga).

23. Ülesanne 2 • Iga sündmuse kohta märkida, kas ta on juhuslik, võimatu või kindel sündmus. • Täringuviskel saadakse viis silma. • Rakveres paistab täna õhtul (7. novembril) kell 23.45 päike. • Raamatus on 200 lehekülge. Seda raamatut juhuslikust kohast avades avame ta 45. ja 46. lehekülje vahelt. • Kahe täringu koos viskamisel saadakse summaks 5 silma.

24. Ülesanne 2(jätk) • Kolme täringu koos viskamisel saadakse summaks 20 silma. • Normaaltingimustes hakkab vesi keema 100 kraadi juures. • Vesi hakkab keema 100 kraadi juures. • Täna kutsutakse geograafiatunnis vastama Peeter (Peeter on antud klassi õpilane ning täna ka koolis, geograafiatunnis on ta kohal).

25. Ülesanne 2 (jätk) • 100 aasta pärast on 100 m jooksu maailmarekord 9,2 sekundit. • Korvis on 2 musta ja 4 valget kuulikest. Võetakse üks kuul ning saadakse sinine kuul. • Sajast säästulambist on kaks aastat pärast kasutuselevõtmist töökorras vähemalt 90 lampi.

26. Ülesanne 3 • Iga sündmuse kohta märkida, mis on tema vastandsündmuseks. A – täringuviskel saadakse paarisarv silmi B – nelja vastutulija hulgas on vähemalt üks blondiin D– kaardipakist tõmmatud 3 kaarti on kõik ässad E – saja detaili hulgas on vähemalt 80 kvaliteetset detaili F – kolme täringu viskamisel saadakse summaks vähemalt 4

27. Ülesanne 4 • Kas sündmused on sõltumatud või sõltuvad? • Täringut visatakse kaks korda.A – esimesel viskel saadakse paarisarv silmiB – teisel viskel saadakse 4 silma • Korvis on 4 õuna ja 5 pirni. Võetakse kolm puuvilja.A – esimesena saadakse õun.B – teisena saadakse õun.C – kolmandana saadakse õun.

28. Ülesanne 4 (jätk) • Korvis on 4 valget ja 5 punast kuulikest. Võetakse üks kuul. Pärast tema värvi kindlakstegemist pannakse kuulike korvi tagasi. Samuti toimitakse veel kaks korda.A – esimesena saadakse valge kuulB – teisena saadakse valge kuulC – kolmandana saadakse kolmas kuulKas A, B, C on sõltumatud või sõltuvad?

29. Ülesanne 5 • Kas sündmused A ja B on teineteist välistavad sündmused või mitte? • Visatakse korraga kahte täringut.A – summana saadakse 7 silmaB – ühe täringuga saadakse 5 silma, teise täringuga 2 silma • Visatakse korraga kahte täringutA – mõlema täringuga saadakse paarisarv silmiB – summana saadakse 11 silma

30. Ülesanne 5 (jätk) • Kaardipakis on 52 kaarti. Tõmmatakse 4 suvalist kaarti.A – saadud kaartide hulgas on 3 ässaB – saadud kaartide hulgas on 3 ärtu mastist kaarti • Kaardipakis on 36 kaarti. Tõmmatakse üks kaart.A – saadud kaart on ärtu kuningasB – saadud kaart on pildikaart

31. Bernoulli valem Gaussikõver (normaaljaotus)

32. Gaussi kõver

33. Koduse ülesande lahendus A võit: B võit:

34. /jätk/ Panuste jagunemine: Vastus.Panused tuleb jaotada suhtes 11:5.

35. Tõenäosuse mõiste Tõenäosus – sündmuse toimumise võimalikkuse määr (arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust). Eristatakse järgmisi tõenäosuse arvutamise võtteid: • klassikaline tõenäosus, • geomeetriline tõenäosus, • statistiline tõenäosus.

36. Klassikaline tõenäosus p – tõenäosus A – sündmus m – soodsate võimaluste arv sündmuse A toimumiseks n – kõikide võimaluste arv Võimatu sündmuse korral Kindla sündmuse korral Juhusliku sündmuse korral Sündmuse ja vastandsündmus:

37. Näide 1 • Visatakse täringut.A – saadakse 6 silma, B – saadakse 5 silman = m = p(A) = p(B) =

38. Näide 1 (lahendus) • Visatakse täringut.A – saadakse 3 silman = 6 (6 erinevat võimalikku tulemust)m = 1 (saadakse 3 silma)

39. Näide 2 • Visatakse korraga kahte täringut.A – summana saadakse 8 silman = ……………..m = …………….p(A) = ……………………..

40. Näide 2 (idee) • Visatakse korraga kahte täringut.A – summana saadakse 8 silmaTulemused võiks esitada tabelis:

41. Näide 2 (lahendus) • Visatakse korraga kahte täringut.A – summana saadakse 8 silmaTulemused võiks esitada tabelis: n = 36m = 5

42. Näide 3 Visatakse korraga kolme täringut. Kui suur on tõenäosus, et summana saadakse vähemalt 4 silma?n = …m = …p(A) = …

43. Näide 3 (idee) Visatakse korraga kolme täringut. Kui suur on tõenäosus, et summana saadakse vähemalt 4 silma?Lahendusidee: kui võimaluste arv on suur, siis tasuks kaaluda üleminekut vastandsündmusele.Praegu on vastandsündmuseks:summana saadakse ………………………..

44. Näide 3 (lahendus) Praegu on vastandsündmuseks:summana saadakse ………………………..Soodsaid võimalusi vastandsündmuse toimumiseks m = ……Seega Otsitud tõenäosuse leiame seosestAvaldame p(A):

45. Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(I) • Täringut visatakse 5 korda järjest. Kui suur on tõenäosus, et neljandal katsel saadakse 5 silma? • Täringut visatakse 100 korda. Neist 20 korral saadakse 5 silma. Kui suur on tõenäosus, et 101. korral saadakse samuti 5 silma?

46. Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(II) • Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult üks kaart. Kui suur on tõenäosus, et saadakse pilt (piltideks on sõdur, emand, kuningas, äss)? • Kaardipakist tõmmatakse juhuslikult kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et nad mõlemad on ärtu mastist?

47. Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(III) • Klassis on 15 poissi ja 10 tüdrukut. Ajalootunnis kutsutakse vastama üks õpilastest. Kui õpilase väljavalimine on juhuslik, kui suur on siis tõenäosus, et vastama kutsutakse poiss? • Korvis on 2 valget, 5 musta ja 6 sinist palli. Võetakse 10 palli (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et korvi jäävad vaid valged pallid?

48. Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(IV) • Mustkunstniku 52-lehelises kaardipakis on vaid ärtu ässad ning risti kuningad (mõlemaid võrdselt). Võetakse 27 kaarti (neid tagasi panemata). Kui suur on tõenäosus, et nende kaartide hulgas on vähemalt üks äss? • Peeter ja Ants sõlmivad järgmise kihlveo. Neutraalne isik viskab kolme täringut korraga. Peeter võidab, kui kolme täringu summana saadakse vähemalt 10 silma, Ants võidab vastupidisel juhul. Kumma poisi võidu tõenäosus on suurem?

49. Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(V) • Missugune on tõenäosus, et 1995. a sündinud inimene on sündinuda) veebruarisb) mingi kuu viimasel päeval • Kaardipakist on võetud mõned kaardid. Kui suur on tõenäosus, et järgmisena võetav kaart on a) ruutu mastist b) kuningas c) 10 või emand

50. Ülesanded tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisele(VI) • Urnis on 8 valget, 7 punast ja 5 sinist kuuli. Võetakse juhuslikult üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et see kuul ona) valge,b) punane,c) sinine • Urnist võetakse 3 kuuli, neid tagasi panemata. Kui suur on tõenäosus, et need kuulid on kõik valged?