Sesión 4

1. Sesión 4 Tema: Función cuadrática Carrera: TNS de Electricidad en Potencia Objetivo: Resolver funciones cuadráticas, identificando elementos característicos de ellas para su aplicación en situaciones del ámbito laboral. Profesor: Víctor Manuel Reyes Asignatura: Matemática II Sede: Osorno

2. Ejemplo función cuadrática

3. Ejemplo función cuadrática Se estudia el valor instantáneo de la tensión durante un periodo de prueba que dura 5 ms y se ha establecido que la relación: T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25 es un modelo matemático aceptable para describir el estudio. Aquí, T(t) representa el valor instantáneo de la tensión del sistema y t representa el tiempo por milisegundo (ms)

4. Ejemplo función cuadrática T(t ) = − 1,6t2 + 8t + 0,25

5. Función cuadrática Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por: • y = f (x) = ax2 + bx + c • donde a, b, cson números reales y a≠ 0 .

6. Concavidad f(x) cuadrática: El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente. Concavidad (+) Concavidad (−) Se da cuandoa > 0 Se da cuandoa < 0

7. Intersección con los ejes: f(x) = x2 − 3x − 2 Intersección eje y Intersección eje x (0,y1) (x1,0) (x2,0)

8. Intersección con los ejes: La intersección de la parábola con el eje y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional • y = f (x) = ax2 + bx + c • Ejemplo: la función f (x) = 2x2 + 3x − 5corta al eje y en el punto (0, − 5) porque c = − 5. Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a=2 >0.

9. Intersección con los ejes: La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0 = ax2 + bx + c, • por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado. • Por factorización • Utilizando la fórmula • Por completación de cuadrados

10. Intersección con los ejes: Por factorización: • Resolver la ecuación: • x2 - 12x - 28 = 0 • Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den -28 y sumados den -12 Estos son -14 y 2, por lo tanto la factorización es: (x - 14)(x + 2) = 0 • Entonces se deduce que las soluciones son: • x = 14 y x = -2

11. Intersección con los ejes: • Utilizando la fórmula: Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0(con a ≠ 0), se utiliza la fórmula: • Ejemplo: • Resolver la ecuación: • x2 – 10x +24 = 0 • En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24, reemplazando en la fórmula, obtenemos: • Por lo tanto x= 6 ó x= 4

12. Intersección con los ejes: Las soluciones de una ecuación ax2+bx+c=0 dependen del signo del discriminante que es la cantidad subradical de la fórmula: Lo que se denota • Así tenemos que: • 1. Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x. • 2. Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x. • 3. Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.

13. Intersección con los ejes: • Si se tienen dos soluciones reales distintas x1, x2 , la gráfica corta al eje x en los dos puntos (x1 ,0) y(x2 , 0). y = x2 + 4x + 3 y = -2x2 + x + 2

14. Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1,x2 , la gráfica corta al eje x en un solo punto de coordenadas (x1,0) y = x2 + 4x + 4 y = -x2 + 2x -1

15. Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones no reales x1,x2 , la gráfica no corta al eje x. y = x2 + 2 y = -x2 -1

16. Coordenadas del vértice El vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a,b,c es: Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función.

17. Coordenadas del vértice Esto se aprecia en la gráfica, si analizamos la función • f (x) = 2x2 - 3x – 2 • Como tiene concavidad positiva, por ser a = 2 > 0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo. • Ocupando la fórmula, para a=2, b=−3 y c=−2, se tiene:

18. Coordenadas del vértice Observemos la gráfica de las siguientes funciones Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice.