Experimentelle Mathematik

1. Experimentelle Mathematik

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Versammlung von 105 Personen genau 37 Frauen anwesend sind, wenn man annimmt, dass die Anwesenheit einer Frau bzw. eines Mannes gleichwahrscheinlich ist? Lösung: Oder Für diese B(105; 0,5)-verteilte Variable wird es aber kaum Tabellen geben. Den Wert werden wir erst recht kaum in einer Tabelle finden. Bei der Berechnung von treten aber so große Zahlen auf, dass auch der Taschenrechner nicht hilft, denn für kann mit der Fakultätstaste des Taschenrechners nicht mehr berechnet werden. Es ist daher sinnvoll eine Näherungsformel für „große“ herzuleiten.

3. bezeichne wie üblich das Produkt · · · . Um zu einer Näherung zu kommen, kann man etwa versuchen, die verschiedenen Faktoren durch dieselbe Anzahl gleicher Faktoren zu ersetzen. Wählen wir versuchsweise etwa als gleichen Faktor den Wert ,so erhalten wir folgende Näherung, wobei wir den „Korrekturfaktor“ nicht kennen: Um kleinere Zahlen zu erhalten, logarithmieren wir: wobei ist. Untersuchen wir das „Fehlerglied“ :

5. Aufgrund der Tabelle scheint die Beziehung zu gelten. Ein Zufall? „Arbeiten“ wir aber einmal mit dieser Hypothese weiter! „Entlogarithmiert“ man die Gleichung und setzt man unsere vermutete Näherungsgleichung ein, erhält man: , also Um daraus eine Gleichung zu erhalten, schreiben wir bzw. , wobei und neue Korrekturfaktoren sind. So dürfen wir auf eine Näherungsformel für hoffen, sobald wir mehr über wissen. Hier hilft wieder „experimentieren“ mit speziellen Werten für :

7. Offenbar hat D(n) - nach der Normierung mittels D(10) -- den Wert , also , wobei eine Konstante oder – wenigstens für nicht allzu große – annähernd konstant ist. Dies „prüfen“ wir, indem wir diesen Wert für verschiedene berechnen:

9. Offenbar „pendelt“ sich $E(n)$ bei einem Wert ein, der - zumindest für Zahlen zwischen 40 und 60 - mit 2,51 angenommen werden darf. Somit haben wir - jedenfalls für solche - eine Näherungsformel für n! gefunden, nämlich: die leicht mit dem Taschenrechner oder logarithmisch berechnet werden kann. Exakte und tieferliegende Überlegungen zeigen, dass diese Formel tatsächlich für beliebig große verwendet werden kann und sogar umso besser, je größer ist. Statt 2,51 ergibt sich bei diesen Überlegungen der Wert 2,507… Es gilt die STIRLINGsche Formel:

10. Diese Formel ist in Wahrheit eine Grenzaussage. Man kann nämlich beweisen, dass gilt. (Wir sagen: Zähler und Nenner sind „asymptotisch gleich“; für große n also fast gleich). Um zu überprüfen, wie gut die Näherung ist, verwenden wir Excel: Wir sehen: Der Fehler beträgt weniger als 0,1 %!

11. Dabei muss betont werden, dass Mathematik nicht allein in sogenannten „exakten Schlussfolgerungen“ oder gar im „Gebrauch von vorgefertigter Mathematik“ und allenfalls deren Anwendung besteht! Freilich entstehen dabei vielfach „nur“ Vermutungen (oder Näherungsresultate), die dann einer Absicherung bedürfen (Beweis!). Hierzu entwickeln die Mathematiker/innen dann Theorien, die in Beweisen oder Widerlegungen münden können. Für den Mathematikunterricht eignet sich diesbezüglich oft auch eine bloße „Mitteilung“, ein Kurzbericht aus dem Hintergrundwissen der Lehrkraft.

12. Eine Gärtnerei soll 3 Randbeete bepflanzen: ein großes im Park (d1 = 16 m) und zwei kleinere auf einem Spielplatz (d2 = 13 m, d3 = 8 m). Pro Pflanze rechnet man 1 dm2 Platz. Wohin würdest Du die meisten Pflanzen bringen? Lösung: Mathematisieren der Aufgabe: Gegeben sind 3 Kreise mit den Durchmessern 16 m, 13 m, 8 m. Gesucht ist ihr Flächeninhalt.

13. Arbeitsgruppen: Flächeninhalt von Kreisen mit verschiedenen Durchmessern. Ergebnisse in Tabelle eintragen.

14. Benzinverbrauch eines PKW Der Benzinverbrauch eines PKW hängt stark von der gefahrenen Geschwindigkeit ab, wie man im nebenstehenden erbrauchsdiagramm aus einer Gebrauchsanleitung sieht. Die drei Kurven zeigen den Verbrauch in Liter je 100 km für drei unterschiedliche Ausführungen eines PKW-Typs bei konstanter Geschwindigkeit x, gefahren im höchsten Gang. Daher beginnen die Kurven auch erst bei 40 km/h.

15. In der folgenden Tabelle sind die Verbrauchswerte bei 90 bzw. 120 km/h für drei verschiedene PKW-Typen zusammengestellt:

16. Die Methode des logisch-deduktiven Schließens ist sicherlich untrennbar mit der Mathematik verbunden und jeder Schüler soll mit ihr konfrontiert werden. Zum Anwenden von Mathematik und zum Lösen mathematischer Probleme reicht aber Deduktion nicht aus, sie ist nur eine Seite des mathematischen Denkens, die zweite Seite ist die schöpferische Konstruktion. COURANT-ROBBINS: „Wenn die kristallisierte, deduktive Form das letzte Ziel ist, so sind Intuition und Konstruktion die treibenden Kräfte“. Diese beiden Seiten bedingen und ergänzen sich wechselseitig. Die logische Strenge in der Darstellung der Ergebnisse verleiht der Mathematik Sicherheit, die Konstruktion ermöglicht (größten­teils) überhaupt erst die Ergebnisse.

17. Auch der Schulunterricht sollte beide Gesichter der Mathematik vermitteln, wobei die „induktive Mathematik“ als Gegensatz zur „deduktiven Mathematik“ für den späteren Nichtmathematiker (und das sind fast alle der Schüler/innen) beinahe noch wichtiger ist, vor allem deren Methoden: • Das Herantasten an ein Ergebnis durch spezielle Beispiele und Experimente • Mathematisierung einer Situation • Beweisen als forschendes Beweisen auf dem Weg zum vermuteten Ergebnis, nicht nur als Verknüpfung von Axiomen und logischen Schlussregeln.

18. Was ist experimentelle Mathematik? Bei dieser Unterrichtsform bzw. bei dieser Art von Erkenntnisgewinnung im Bereich der Mathematik wird die Tätigkeit des Physikers und anderer Naturwissenschaftler nachgeahmt, deren wichtigste Quelle der Erkenntnisgewinnung das Experiment ist. In den Naturwissenschaften experimentiert man, wenn man unter absichtlich herbeigeführten und kontrollierten Be­dingungen beobachtet. Einige der für naturwissenschaftliche Experimente typischen Merkmale lassen sich aber auch auf den Bereich der Mathematik übertragen. Eine experimentelle Behandlung mathematischer Fragestellungen könnte (sollte) daher folgende charakteristische Merkmale aufweisen:

19. Nicht zufälliges, sondern gezieltes Herbeiführen ver­schiedener mathematischer Situationen, die einen Bei­trag zur Fragestellung leisten können • Sammeln von Daten • Entnahme der in jedem Experiment für die Fragestellung relevanter Informationen • Abänderung der einzelnen Bedingungen, um bessere Infor­mationen zu erhalten • Prüfung der Auswirkung der Variation der Bedingungen • Bilden von Hypothesen • Überprüfung der Hypothesen an anderen Experimenten