1 / 25

ANALYSE CEPSTRALE

ANALYSE CEPSTRALE. Définitions et applications . ANALYSE CEPSTRALE contenu. Annulation d ’écho Définitions cepstre de puissance cepstre complexe propriétés Quelques applications mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion annulation d ’échos

issac
Download Presentation

ANALYSE CEPSTRALE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ANALYSE CEPSTRALE Définitions et applications notes de cours Analyse Cepstrale

  2. ANALYSE CEPSTRALEcontenu • Annulation d ’écho • Définitions • cepstre de puissance • cepstre complexe • propriétés • Quelques applications • mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion • annulation d ’échos • analyse des vibrations d ’engrenages notes de cours Analyse Cepstrale

  3. ANALYSE CEPSTRALEle problème de l ’annulation d ’échos • x(t)= s(t) + sr(t) • s(t) son direct , sr(t) son réfléchi • le problème de l ’annulation d ’échos • comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l ’écho ? notes de cours Analyse Cepstrale

  4. Signal + Echoformulation du problème • Hypothèses simplificatrices • la réflexion ne génère qu ’un retard et une atténuation • sr(t)= a0.s(t-t0) • x(t)=s(t)+a0.s(t-t0) • Dans le domaine fréquentiel notes de cours Analyse Cepstrale

  5. s(t) a0s(t-t0) [X(f)]2 Signal + Echoillustration • Domaine temporel • Domaine fréquentiel t0 notes de cours Analyse Cepstrale

  6. Signal + Echopropriétés de la phase Imag 1 Réel 2.pi.f.t0 notes de cours Analyse Cepstrale

  7. t Signal + EchoEffet du logarithme • On prend le « Log » pour rendre additif l ’effet de l ’écho • On en prend la Transformée de Fourier (inverse) f notes de cours Analyse Cepstrale

  8. Le cepstrePlusieurs définitions • Cepstre de puissance: • Cepstre complexe: notes de cours Analyse Cepstrale

  9. Cepstre de puissancePropriétés • Cx() = [TF-1(Ln(Sxx(f))]2 • fréquence  temps • relation avec la fonction d ’autocorrélation • R()=TF-1 (Sxx(f)) • Sxx(f) est réel et pair •  le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR notes de cours Analyse Cepstrale

  10. Cepstre complexePropriétés • Cx() = TF-1[Ln(X(f)] • X(f)=XRéel(f) + j.XImag(f)=[X(f)].ej(f) • Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) • x(t) est réel  Xréel pair et Ximag impair •  (f) est impair • [X(f)] est pair  Ln [X(f)] est pair • le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL notes de cours Analyse Cepstrale

  11. 2 1 1 Cepstres de puissance et complexeCas de signaux à minimum de phase • Soit x(t) , X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].ej(f) • x(t) à minimum de phase  H{ln[X(f)]}= (f) • Cx() = TF-1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) • Cx() est réel et causal (>0) • c ’est la somme d’une partie paire et d ’une partie impaire • TF-1{Ln[X(f)2]} est la partie paire, • ie, le cepstre de puissance • TF-1{(f)} est la partie impaire, • ie, le cepstre de phase notes de cours Analyse Cepstrale

  12. f Cepstre complexeRedéploiement de la phase • Cx() = TF-1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) • pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +  , qu ’il est nécessaire de « redéployer » (Unwrapping) • (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés (algorithmze de Triboulet 1977) notes de cours Analyse Cepstrale

  13. Cepstre Propriétés, application à la déconvolution • Système linéaire • temps : y(t)=h(t)*x(t) produit de convolution • fréquence : Y(f)=H(f).X(f) produit • cepstre : Cy() = Ch() + Cx() somme (du fait du Log!) • d ’où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l ’entrée) de h(t) (le milieu) • annulation d ’échos, • identification des sources (sismique, etc..) x(t) y(t) h(t) notes de cours Analyse Cepstrale

  14. t t Déconvolution via le cepstreExemple de l ’annulation d ’échos • x(t)=s(t)+a0.s(t-t0), X(f)=S(f)[1+a0.e-2jft0] • cx(t) = cs(t) +TF-1{Ln(1+a02+2a0.cos(2 ft0)} • on « liftre »  cs(t) • S(f)= TF{exp(cs(t))} et s(t)=TF-1{S(f)} • remarque: • le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase notes de cours Analyse Cepstrale

  15. Cepstre complexeExemple d ’annulation d ’échos notes de cours Analyse Cepstrale

  16. CepstreVocabulaire • vocabulaire (Bogert 1963): • Spectre Cepstre • Fréquence Quéfrence • Filtrage Liftrage • Harmonique Rahmonique • Période Répiode • Phase Saphe • Amplitude Gamnitude notes de cours Analyse Cepstrale

  17. CepstreANNEXES • A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier Directe et inverse • B: Systèmes à minimum de phase • C: caractérisation de matériaux (acoustique) notes de cours Analyse Cepstrale

  18. Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3) • ie, x(t)  X(f)  x(-t)  X(-f)  x(t) • TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) F F F F notes de cours Analyse Cepstrale

  19. Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3) • x(t) réel X(f) = X*(-f) • Re(X(f)) = Re(X(-f)) • Im(X(f) = - Im(X(-f)) • x(t) réel pair x(t) = x(-t)X(f)=X(-f) • Im(X(f)) = 0 • x(t) réel impair x(t) = -x(-t) • Re (X(f)) = 0 notes de cours Analyse Cepstrale

  20. Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3) • Signal temporelSpectre • réel, pair réel, pair • réel, impair imag, impair • imag, pair imag, pair • imag, impair réel, impair • réel complexe conjugué pair • complexe conjugué pair réel notes de cours Analyse Cepstrale

  21. Annexe B: Systèmes à minimum de phase (1/2) • Plusieurs définitions : • x(n) est à minimum de phase ssi • ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert • H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w)) • un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et d ’inverse stable, ie, • ses pôles et ses zéros sont à l ’intérieur du cercle unité (système discret), • ou à gauche de l ’axe jw (système continu) notes de cours Analyse Cepstrale

  22. Arg(X(f) Annexe B: Systèmes à minimum de phase (2/2) • X1(f) = TF(x1(t)) X2(f) = TF(x2(t)) • (1)  X1(f)  =  X2(f)  • (2) Arg(X1(f))>Arg (X2(f)) • Si x1(t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x2(t) vérifiant (2), alors x1 est dit à phase minimum.( en réalité maximum) x2(n) x1(n) notes de cours Analyse Cepstrale

  23. Annexe C: Caractérisation de matériaux (1/3) • Caractérisation acoustique d’un matériau: • x(t)= p(t) + (r1 /r2).p(t)*h(t-t0) • r1, r2 coefficients de réflexion • t0=(r2-r1)/c • X(f)=P(f){1+(r1/r2).H(f).e-2fto} • on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface réfléchissante • ou on veut estimer r1, r2 Haut parleur micro notes de cours Analyse Cepstrale

  24. Annexe C: Caractérisation de matériaux (2/3) • Expression du cepstre de puissance • [X(f)]2=[P(f)]2.{1+(r1/r2).H(f). e-2fto} .{1+(r1/r2).H*(f). E+2fto} • on utilise le développement • Ln(1+z)=z-z2/2+ z3/3,…. Pour [z]<1 • d ’où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E+2fto - 1/2.(r1/r2)2.(H(f). E+2fto)2 + 1/3.(r1/r2)3 .H*(f). E+2fto +…...} • le cepstre est de la forme: • Cx (t) = Cp(t) + (r1/r2).Ch(t-t0)-1/2.(r1/r2)2.Ch(t-t0)* Ch(t-t0)…+... • X (t) = P(t) + (r1/r2).h(t-t0) -1/2.(r1/r2)2.h(t-t0)* h(t-t0)…+... notes de cours Analyse Cepstrale

  25. Annexe C:Caractérisation de matériaux (3/3) • Illustration du cepstre de puissance • on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable » P(t) a1.h(t-t0) a2.h(t-t0)* h(t-t0) 2t0 t0 notes de cours Analyse Cepstrale

More Related