Gli angoli

1. Gli angoli Prof.ssa Laura Salvagno

2. Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi un’origine in comune B Definizione di angolo Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette

3. Elementi di un angolo Consideriamo l’angolo mostrato in figura Definiamo vertice il punto di origine delle due semirette a e b sono i lati dell’angolo α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione che lo caratterizza

4. Angoli concavi e convessi Dalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti

5. Angoli concavi e convessi Definiamo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo a Definiamoconcavol’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati cioè l’angolo b

6. Angoli consecutivi L’italiano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi Cosa significa consecutivo? Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quando abbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo? Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune

7. Angoli adiacenti • Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

8. Analizziamo le parole opposti al vertice Opposto è ciò che sta dall’altra parte rispetto a qualche cosa; questo qualche cosa si comporta come uno specchio Vertice indica che questo qualche cosa è il vertice di un angolo Da ciò si capisce che due angoli opposti al vertice hanno il vertice in comune …. Ma ciò non basta Angoli opposti al vertice • Questi due angoli hanno il vertice in comune ma non sono opposti al vertice perché il vertice, in questo caso, non si comporta come uno specchio

9. Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro Angoli opposti al vertice • Due angoli opposti al vertice sono congruenti a = b

10. A’1 A’ bisettrice O A Bisettrice Consideriamo l’angolo AOA’1 Tracciamo una semiretta che ha origine nel suo vertice e che lo divide a metà Tale retta prende il nome di bisettrice

11. Bisettrice Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice O divide l’angolo in due parti uguali

12. Confronto di angoli • Per confrontare due angoli basta far coincidere un vertice e il lato omologo e vedere cosa succede • Vediamo cosa dice il vocabolario alla parola omologo: che è simile, che corrisponde a un altro, che ha caratteristiche identiche • Quindi i lati omologhi sono lati che hanno la stessa funzione come si può vedere nelle due immagini qui a fianco in cui i lati omologhi hanno lo stesso colore

13. Confronto di angoli • Se sposto il lato O’A’ e lo faccio coincidere con OA posso confrontare i due angoli • Col confronto vedo se uno è maggiore, minore od uguale all’altro

14. Angolo maggiore di un altro • Consideriamo le due figure precedenti • Com’è l’angolo AOB rispetto all’angolo A’O’B’? • Quando li sovrappongo vedo che il lato c cade all’interno dell’angolo AOB • In questo caso avremmo che l’angolo AOB > A’O’C

15. Angolo maggiore di un altro Diciamo quindi che: • Un angolo è maggiore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’interno del primo

16. Angolo minore di un altro • Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C • Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c cade all’esterno del lato AOB • In questo caso avremmo che AOB < A’O’C

17. Angolo minore di un altro Diciamo quindi che: • Un angolo è minore di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo cade all’esterno del primo

18. Angoli congruenti • Consideriamo i seguenti due angoli AOB e A’O’C • Se li sovrapponiamo possiamo facilmente costatare che il lato c coincide col lato b • Perciò si ha che AOB = A’O’C

19. Angoli congruenti Diciamo quindi che: • Un angolo è congruente ( cioè ha la stessa ampiezza) di un altro quando sovrapponendoli si ha che l’altro lato del secondo angolo coincide col suo omologo del primo

20. Tipi di angoli • Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli (una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare) • Angolo giro • Angolo piatto • Angolo retto • Angolo acuto • Angolo ottuso

21. Angolo giro • Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono? • L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima • Chiamiamo questo angolo angolo giro

22. Angolo piatto • Definiamo Piatto l’angolo formato da due semirette che sono una il prolungamento dell’altra cioè che giacciono sulla stessa retta • La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro

23. Angolo Retto • Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice • Tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali • Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dell’angolo piatto

24. Angolo acuto • Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto

25. Angolo ottuso • Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto

26. Sono dati due angoli AOB e CKD Facciamone la somma: per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso) AOD è la somma fra l’angolo AOB e l’angolo CKD Somma di angoli B B A A O O D D C C K K

27. aOc è la somma fra l’angolo aOb e l’angolo bOc aOb + bOc = aOc γ = α + β Somma di angoli

28. Differenza di angoli B B • Sono dati due angoli AOB e CKD • Facciamone la differenza: per fare la differenza di due angoli faccio coincidere i lati omologhi e i due vertici • Lati omologhi: sono lati che occupano la stessa posizione (stesso colore nella figura) • DOB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo CKD A A O O D D C C K K

29. Differenza di angoli • COB è la differenza fra l’angolo AOB e l’angolo AOC • AOB – AOC = COB • γ = α - β

30. Sottomultipli di angoli • Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali • Com’è l’angolo AOC rispetto all’angolo AOB? • Osserviamo che l’angolo AOC è contenuto 3 volte in AOB; allora come sarà questo angolo? • Se AOC è contenuto 3 volte in AOB si dice che è un suo sottomultiplo • Quando allora diciamo che un angolo è sottomultiplo di un altro? Un angolo è sottomultiplo di un altro quando vi è contenuto un numero intero di volte

31. Quante volte AOB contiene AOC? Tre volte perché ho fatto l’operazione di dividere l’angolo in tre parti uguali e quindi l’ho definito in partenza Come sarà AOB rispetto ad AOC? Sarà un suo multiplo Allora quando un angolo è multiplo di un altro? Multipli di un angolo Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte

32. Multipli di un angolo • αè multiplo di β perché lo contiene n volte • βè sottomultiplo di α perché è contenuto n volte in α :n β α x n

33. Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli Cosa risulta la somma dei due angoli? Angoli complementari

34. La somma risulta un angolo retto Angoli complementari Due angoli si dicono complementariquando la loro somma è un angolo retto

35. Angoli supplementari • Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli • Cosa risulta la somma dei due angoli?

36. Angoli supplementari • La somma risulta un angolo piatto Due angoli si dicono supplementariquando la loro somma è un angolo piatto

37. Angoli esplementari • Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli Cosa risulta la somma dei due angoli?

38. Angoli esplementari • La somma risulta un angolo giro Due angoli si dicono esplementariquando la loro somma è un angolo giro