Zespół Szkół Ogólnokształcących w Śremie 97/54_MF_G1 Zespół Szkół Technicznych w Słubicach

2. Zespół Szkół Ogólnokształcących w Śremie • 97/54_MF_G1 • Zespół Szkół Technicznych w Słubicach • 97/23_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno-Fizyczna • Temat projektowy: • Liczby Fibonacciego • IV semestr/ rok szkolny 2011/2012

3. LICZBY FIBONACCIEGO

4. Leonardo Fibonacci • Leonardo Fibonacci urodzony ok. 1170 w Pizie zmarł 1240. Był to matematyk, który w 1202 roku napisał on swoje głośną pracę Liber Abaci (Księga Rachunków)- dzieło o arytmetyce i algebrze, w której można znaleźć wiele ciekawych matematycznych problemów (jak na przykład zagadka o dwóch ptakach),równania diofantyńskie (równanie z dwoma niewiadomymi) pojawiły się tam również zadania związane z ciągiem liczb Fibonacciego, jednakże niewiadomo, kto był jego twórcą.

5. CIĄG FIBONACCIEGO • Jest to ciąg określony wzorem rekurencyjnym z czego wynika że każdy wyraz tego ciągu (począwszy od trzeciego) jest sumą dwóch poprzednich;

6. CIĄG FIBONACCIEGO • Wzór na ogólny wyraz tego ciągu można otrzymać metodą funkcji tworzących. Ciąg można zdefiniować jako i dla ciągu fn obliczyć wzór na wyraz n-ty. Funkcja tworząca dla ciągu jest postaci:

7. CIĄG FIBONACCIEGO Mniej popularne twierdzenia na temat Ciągu Fibonacciego: • Pomijając jednocyfrowe liczby z Ciągu Fibonacciego zawsze cztery albo pięć następujących po sobie wyrazów ciągu ma tę samą liczbę cyfr w układzie dziesiętnym; • Jedynymi liczbami w całym ciągu Fibonacciego, będącymi kwadratami liczb całkowitych są 1 i 144; • Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2, co czwarta – przez 3. Ogólniej: jeśli numer n dzieli się przez k, to liczba Fn dzieli się przez Fk. Zachodzi jeszcze silniejszy związek: największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb: • Każda niezerowa liczba całkowita ma wielokrotność będącą liczbą Fibonacciego; • Istnieje nieskończenie wiele liczb n dla których zachodzi podzielność n | Fn. W szczególności można pokazać, że , jeżeli

8. CIĄG FIBONACCIEGO • Podstawiając otrzymuje się:

9. CIĄG FIBONACCIEGO • Tak więc ; wyrażenie można przedstawić jako : gdzie , wtenczas z czego wynika, że a podstawiając otrzymujemy tzw. Wzór Bineta.

10. WZÓR BINETA • Wzór ten jest wzorem na jawny ogólny wyraz Ciągu Fibonacciego

11. CIĄG FIBONACCIEGOwybrane tożsamości

12. TRÓJKĄT PASCALA • Jest to układ liczb, którego nazwa pochodzi od nazwiska Blaise'a Pascala gdzie wartości znajdujące się na zewnątrz trójkąta to 1, a każda wartość znajdująca się wewnątrz jest sumą dwóch znajdujących się bezpośrednio nad nią; iloraz dwóch sąsiednich wyrazów dąży do złotej liczby.

13. CIĄG FIBONACCIEGO A ZŁOTA LICZBA • Złotą liczbą nazywamy dodatni pierwiastek równania : • Ilorazy kolejnych wyrazów Ciągu Fibonacciego równe są przybliżeniom złotej liczby, np.:

14. ZŁOTA LICZBA I PROPORCJAzastosowanie • Zasada złotego podziału stosowana jest od starożytności w architekturze np. Okna w renesansowych budowlach mają szerokość do wysokości w stosunku 5:8 • W budowie licznych pałaców i świątyń np. Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, Palazzo Strozzi, Partenon na Akropolu Partenon na Akropolu wykorzystywano złotą proporcje • Sposób ten przejęli od starożytnych artyści renesansowi, choć nie traktowali go już w tak dosłowny sposób. Co prawda istniała opcja estetyczna, według której plan i proporcje kościoła podłużnego powinny odpowiadać kształtom i proporcjom ludzkiego ciała, a proporcje dobrze zbudowanego człowieka powinny odpowiadać prostym figurom geometrycznym, kołu i kwadratowi • Złota proporcja wg. Leonarda da Vinci

15. CIĄG FIBONACCIEGO A LICZBY LUCASA • Ciąg liczb Lucasa opiera się na tej samej zasadzie co liczby Fibonacciego, jednakże różnią je 2 pierwsze wyrazy ciągu: w ciągu liczb Lucasa są to liczby 2 i 1; wzór rekurencyjny: • Niech Fn oznacza n-ty wyraz ciągu Fibonacciego, a Ln n-ty wyraz ciągu Lucasa. Widoczne są wtedy zależności:

16. CIĄG FIBONACCIEGOinterpretacja geometryczna Ciąg Fibonacciego może być geometrycznie interpretowany przez coraz większe kwadraty jako wymiar jednostki. Jeżeli numer jeden doda się do numeru jeden wynikiem jest dwa - co jest długością boku kwadratu „2”. Jeśli długości boku kwadratów „1” i „2” są sumowane, rezultatem jest długość boku kwadratu „3”, itd.. A więc ciąg można zinterpretować jako długości kwadratów jak na obrazku poniżej, oraz można opisać na nich spiralę, której każdy łuk ma promień o tej samej wartości co kwadrat, w który jest wpisany.