Transpocición Didáctica de la noción de Probabilidad

1. Transpocición Didáctica de la noción de Probabilidad Universidad Nacional de Cuyo Elsa Rey Tudela Adriana D´Amelio Graciela Nardecchia 2002

2. Del saber sabio al saber enseñar • “Transpocición Didáctica es el conjunto de las transformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado” Yves Chevallard • Los cinco actos de la Transpocición Didáctica • El saber sabio • Los objetos a enseñar • El saber a enseñar y los objetos de enseñanza • El saber escolar • El saber enseñado

3. Introducción • El cálculo de probabilidades ocupa una situación muy particular, ya que a pesar de contar con una axiomática satisfactoria, prosiguen las controversias sobre la interpretación de conceptos básicos como los de probabilidad e independencia. Estas controversias no son de tipo técnico, ya que el cálculo de probabilidades, como tal, no plantea contradicciones ni paradojas, como ocurriera en el caso de la teoría de conjuntos, ni se han propuesto otras axiomáticas que compitan con éxito con la de Kolmogorov. • Desde una perspectiva didáctica la idea de probabilidad y la noción de aleatoriedad es el punto de partida del cálculo de probabilidades.

4. GÉNESIS DEL CONCEPTO • Sófocles atribuye la invención a Palamades quién lo habría enseñado durante el sitio de Troya (siglo X u XI a.C.) • A comienzos del siglo XVI los matemáticos italianos • En la Edad Media y el Renacimiento las loterías. • Alrededor del año 1500 se trató de resolver el problema de la división. • A Cardano se le debe una importante contribución en este campo. • Pascal y Fermat alrededor de 1654(manteniendo correspondencia sobre el tema) quienes ya contaban con un importante desarrollo.

5. Primeros Problemas • El primer científico que se ocupó de un problema de probabilidades fue el mismo Galileo ( 1564 – 1642). Se trataba de un juego de dados llamado el ¨pasadiez¨. • Más complicado es otro problema de dados que motivó una célebre correspondencia entre dos grandes matemáticos franceses Pascal (1623-1662) y Fermat (1601-1665) mantenida en 1654, a raíz de un problema propuesto a Pascal por un tal Caballero de Merè,

6. Surgimiento de la Teoría de Probabilidades • 1713 aparece la famosa Ars Conjectandi de Jacobo Bernoulli • Un siglo después la monumental Theorie Analytique des Probabilités de P.S. Laplace (1812).Fue un extraordinario continuador de las teorías iniciadas por otros por ejemplo las probabilidades de Bernoulli y De Moivre, pero no se detiene a analizar con demasiado cuidado los fundamentos. • Muchos autores han contribuido al desarrollo de la teoría desde el tiempo de Laplace; entre los más importantes están Chebyshev, Markov, Von Mises y Kolmogorov • Por otra parte la definición conjuntista de Kolmogorov (1933), actualmente la más aceptada no es más que la abstracción y axiomatización de tal definición intuitiva.

7. Concepciones Filosóficas de la noción • Enfoque clásico : “La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos del mismo tipo a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, que estos sean tales que nos dejen igualmente indecisos acerca de su existencia”. Laplace • Enfoque frecuencial: La probabilidad según Von Mises: • Enfoque Bayesiano:  J.M. Keynes, Jeffreys, Savage (1961) y en particular el italiano De Finetti establecen una probabilidad como grado de creencia, o subjetiva, o bayesiana.

8. Saber Sabio • Desde la Teoría de la medida .Borel (1898): Función de conjunto -aditiva : Una función se dice -aditiva sí y sólo sí a) b)     Para todo sucesión tal que con es Medida : Una función se dice -aditiva sí y sólo sí : a)   es -aditiva b)        En este sentido la probabilidad es una medida tal que la medida delespacio total es uno.

9. Saber Sabio • Axiomática de Kolmogorov (1933)  Al par (, A), donde A  P() es una -álgebra de subconjuntos de A se le denomina espacio medible o probabilizable. A los elementos de A se les denomima conjuntos medibles. Sea (, A) un espacio medible : Definimos una función P que va a ser una medida normada sobre A , mediante una aplicación de A en R que cumple con los siguientes axiomas: 1.     P() = 1 2. 3.      Para toda sucesión tal que es

10. Hábitad de la noción • Para permitir a los alumnos el paso de la percepción empírica, conceptos paramatemáticos, al enfoque científico, conceptos matemáticos, se debe tener en cuenta el concepto de azar y los obstáculos epistemológicos con los que está ligado. • Estos aparecen a través de las dudas históricas de: Pascal , Bernoulli, D¨Alembert , Laplace, Cournot , Poincaré . • Es muy importante que los profesores de matemática hayan evaluado sus propias concepciones, y las hayan confrontado con las de los matemáticos del pasado, para que no sean tomados por sorpresa ante tal o cual comportamiento del alumno que se enfrenta en esta etapa a las dificultades de comprensión.

11. Algunas definiciones del azar Jacques Bernoulli (publicado1713) “Si todo lo que es futuro no sucediera con certitud, no veo cómo el Creador Supremo podría conservar intacta la gloria de su omnipotencia.” Laplace (publicado en 1814) “Hemos de pensar el estado presente del universo como el efecto de su estado anterior y como la causa del que va a seguirle.........” La idea contemporánea es la de un desorden complejo que estructura el orden mediante unas regulaciones cuya resultante es previsible dentro de un marco probabilístico.

12. El saber a enseñar ¿Cómo se introduce la noción de Probabilidad en la enseñanza? Siglo XX Actualidad

13. Textos Universitarios • “Fundamentos de Estadística para negocios y Economía” (1962) • de J. Neter; W. Wasserman, G. A. Whitmore, da el concepto de • probabilidad, basándose en tres postulados: • 1) 0  P (Oi)  1 • 2) Las probabilidades de todos los resultados básicos deben sumar uno. • 3) P (Oi o Oj) = P (Oi) + P (Oj). • Calculus (1967) Tom Apóstol • Para los espacios muestrales finitos la probabilidad es simplemente una medida que asigna el valor 1 al espacio completo.

14. Textos del Tercer Ciclo • La noción aparece recién en los textos de este nivel desde la implementación de la Ley Federal de Educación (1994) se observan tres opciones: • Introducen la noción con situaciones adidácticas llevando al alumno a construir el concepto clásico de probabilidad. • A partir de la experimentación llevando a la idea frecuencial del concepto sin tener en cuenta las condiciones bajo las cuales se debe realizar. • Se presenta la noción desde la teoría de conteo presentando previamente los distintos arreglos que pueden darse en un conjunto finito numerable de datos.

15. Contenidos Educativos y Renovación Curricular • En el nivel inicial: • “Hay que introducir nuevos tópicos” • En EGB 1 y 2: • noción de suceso • se le asignan números, en determinadas condiciones , que miden su probabilidad. • Se aborda la noción clásica de probabilidad. • En EGB 3: • Conceptos de: azar, posibilidad, imposibilidad, grados de probabilidad. • Los alumnos podrán explorar las relaciones entre la probabilidad empírica y teórica, mediante situaciones de juego, experimentales o usando modelos de simulación.

16. Desde el Ministerio de Cultura y Educación de la Nación Materiales de Apoyo para la capacitación docente, Educación General Básica( EGB) Contenidos Básicos para la Educación Polimodal

17. Conclusiones La inclusión de esta noción en los CBC de matemática es una de las novedades más importantes de las propuestas del Ministerio de Cultura y Educación de la Nación Argentina (1995 y rectificada en 1997). Por lo que hay poca experiencia para abordar las situaciones de enseñanza – aprendizaje. Reconocemos que los alumnos y las alumnas enfrentan el aprendizaje a partir de los conocimientos previos y deben sortear el obstáculo, el nuevo contenido, para poder avanzar.

18. Conclusiones • También reconocemos que el error, que puede producirse, es una muestra de concepciones no aclaradas e incompletas que debe servir para construir los nuevos saberes. • Se sugiere la experimentación, la anotación y la comprobación de resultados, como así también el contraste entre éstos y los valores anticipados.