Prova por contradição

1. Prova por contradição • Premissas: Cube(c) Ú Dodec(c) e Tet(b) • Concluir: bc • Prova: • Supondo b=c • Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c) Se Cube(c) , então Cube(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) Se Dodec(c) então Dodec(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) • Obtemos contradição nos 2 casos, logo contradição. • Então, bc

2. Prova por contradição 2 • Provar: Ö2 é irracional • Factos acerca dos racionais • nº racional pode ser expresso como p/q, com pelo menos 1 de p e q ímpar • elevando ao quadrado um número ímpar, obtém-se outro ímpar; se n2 é par, n é par e n2 é divisível por 4 • Prova: • Suposição: Ö2 é racional Ö2= p/q (um de p e q é ímpar) p2 / q2 =2 ou p2 = 2 q2 : p2é par e p2 é divisível por 4 p2 é divisível por 4, q2 é divisível por 2; q é par p e q ambos pares: contradiz a afirmação incial • Então Ö2 não é racional

3. O que é contradição? • Afirmação que não pode ser verdadeira • Conjunto de afirmações que não podem ser verdadeiras simultaneamente NaSala(Rita) ÙØNaSala(Rita) b ¹ b Cube(c) e Tet(c) • Conjunto de frases é contraditório se não puder ser satisfeito • Para provar F usando contradição: Assume-se ØF Constrói-se ØØF Conclui-se ØØF e portanto F

4. Premissas inconsistentes • Conjunto de frases é inconsistente: não existe um mundo no qual possam ser satisfeitas simultaneamente • Consequência lógica: qualquer fórmula é consequência de um conjunto inconsistente de premissas • qualquer circunstância que as torne simultaneamente verdadeiras , torna a consequência verdadeira tambem • NaSala(Rita) Ù NaSala(Luis) • ØNaSala(Rita) • ØNaSala(Luis) • Argumentos com premissas insconsistentes: pouco úteis • se não há circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras , não temos indicação quanto ao valor lógico da conclusão.

5. P1Ù¼ ÙPiÙ ¼ÙPn M Pi P1 ß Pn M P1Ù¼ ÙPiÙ ¼ÙPn   Regras de inferência para Ù Eliminação da conjunção Introdução da conjunção P1 ß Pn • significa que todos os elementos P1 a Pn têm de aparecer na prova antes de se introduzir a conjunção

6. 1. P Ú Q 2. R 3. (P Ú Q) Ù R ÙIntro: 1,2 1. P Ú Q 2. R 3. P Ú Q Ù R ÙIntro: 1,2 Ù nas provas formais 1. A Ù B Ù C 2. B ÙElim: 1 3. C ÙElim: 1 4. C Ù B Ù C ÙIntro: 3,2,3 Parêntesis: introduzir quando pode haver ambiguidade

7. Pi M P1Ú¼ ÚPiÚ ¼ÚPn P1 M F  Pn M F Regras de inferência para Ú Eliminação da disjunção Introdução da disjunção P1Ú¼ ÚPiÚ ¼ÚPn M ß M F Prova por casos a 

8. 1. (A Ù B) Ú(C Ù D) 2. (A Ù B) 3. B ÙElim: 2 4. B Ú D ÚIntro: 3 5. (C Ù D) 6. D ÙElim: 5 7. B Ú D ÚIntro: 6 8. B Ú D ÚElim: 1, 2-4, 5-7 Ú nas provas formais

9. Exemplo 1. PÚ(Q Ù R) 2. P 3. P Ú Q Intro: 2 4. P Ú R ÚIntro: 5. ÙIntro: 3,4 6. Q Ù R 7. Q ÙElim: 8. P Ú Q ÚIntro: 7 9. R Elim: 6 10. ÚIntro: 9 11. (P Ú Q) Ù (P Ú R) ÙIntro: 8,10 12. (P Ú Q) Ù (P Ú R)ÚElim: , 2-5, 6- ? ? ? ? ? ? ? ?

10. ØØP M P P M Q ÙØQ ØP   Regras de Inferência para Ø Eliminação da negação Introdução da negação Prova por contradição Nota: Sistemas formais são rígidos acerca do tipo de fórmulas que constituem a contradição: aqui é Q ÙØQ

11. 1. P 2. Ø P 3. ØQ 4. P Ù ØP ÙIntro: 1,2 5. ØØQ ØIntro: 3-4 6. Q ØElim: 5 Ø nas provas formais 1. A 2. Ø A 3. A Ù ØA ÙIntro: 1,2 4. ØØA ØIntro: 2-3 Teorema 1 A Û ØØA Prova-se fórmula arbitrária a partir de premissas inconsistentes

12. 1. P Ù Q Ù ØP 2. P ÙElim: 1 3. Ø P ÙElim: 1 4. P Ù ØP ÙIntro: 2,3 5. Ø (P Ù Q Ù ØP)ØIntro: 1-4 Exemplo Prova de verdade lógica: não tem premissas

13. Uso de subprovas 1. (B Ù A) Ú(A Ù C) 2. B Ù A 3. B ÙElim: 2 4. A ÙElim: 2 5. (A Ù C) 6. A ÙElim: 5 7. A ÚElim: 1, 2-4, 5-6 8. A Ù B ÙIntro: 7,3 Errado 8: usa passo 3 de subprova fechada • Quando uma subprova é fechada: • Suposições são descarregadas • Subprova pode ser usada como um todo para justificar outros passos

14. Exemplo 1. Ø(P Ù R) 2. Ø(ØP Ú ØR) 3. ØP 4. ØP Ú ØR ÚIntro: 3 5. (ØP Ú ØR) ÙØ(ØP Ú ØR) ÙIntro: 4,2 6. ØØP ØIntro: 3-5 7. P ØElim: 6 8. ØR 9. ØP Ú ØR ÚIntro: 8 10. (ØP Ú ØR) ÙØ(ØP Ú ØR) ÙIntro: 9,2 11. ØØR ØIntro: 8-10 12. R ØElim: 11 13. P Ù R ÙIntro: 7,12 14. Ø(P Ù R) Reit: 1 15. (P Ù R) ÙØ(P Ù R) ÙIntro: 13,14 16. ØØ(ØP Ú ØR) ØIntro: 2-15 17. ØP Ú ØR ØElim: 16 Teorema 2

15. 1. Ø(P Ù Q) 2. P 3. ØP Ú ØQ Teor Prev (Teorema 2): 1 4. ØØPTeor Prev (Teorema 1): 2 5. ØQ Teor Prev (Cancelamento): 3,4 Citar teoremas • Para encurtar a prova em F : usar resultados prévios • Símbolos usados nas provas: podem ser substituídos • por outros símbolos • por fórmulas arbitrárias

16. Formas normais Leis distributivas Para toda a escolha de fórmulas P, Q e R (1) Distributividade de Ù sobre Ú : P Ù (Q Ú R) Û (P Ù Q) Ú (P Ù R) (1) Distributividade de Ú sobre Ù : P Ú (Q Ù R) Û (P Ú Q) Ù (P Ú R) • Forma normal disjuntiva (DNF): • Fórmula construída a partir de literais com as conectivas Ù e Ú: reescrita como disjunção de conjunções de literais • Forma normal conjuntiva (CNF): • Fórmula construída a partir de literais com as conectivas Ù e Ú: reescrita como conjunção de disjunções de literais

17. Exemplo Transformar em forma normal disjuntiva (A Ú B) Ù (C Ú D) Û [(A Ú B) Ù C] Ú [(A Ú B) Ù D] Û (A Ù C) Ú (B Ù C) Ú [(A Ú B) Ù D] Û (A Ù C) Ú (B Ù C) Ú (A Ù D) Ú (B Ù D) Transformar em forma normal conjuntiva (A Ù B) Ú (C Ù D) Û [(A Ù B) Ú C] Ù [(A Ù B) Ú D] Û (A Ú C) Ù (B Ú C) Ù [(A Ù B) Ú D] Û (A Ú C) Ù (B Ú C) Ù (A Ú D) Ù (B Ú D) Ø((A Ú B) ÙØC) Û Ø(A Ú B) ÚØØC Û (ØA Ù ØB) ÚØØC Û (ØA Ù ØB) Ú C Û (ØA Ú C) Ù (ØB Ú C)

18. P Q P * Q V V valor1 V F valor2 F V valor3 F F valor4 Completude para as funções da verdade • Uma conectiva arbitrária pode ser expressa com Ø, Ù e Ú ? • Conectivas binárias: tabela de verdade tem 4 linhas • cada linha pode ter V ou F • número de conectivas possíveis: 24 C1= P Ù Q C2= P ÙØQ C3= ØP Ù Q C4= ØP ÙØQ Representação de *: disjunção dos Ci correspondentes a linhas com valor V Todas as funções binárias funcionais da verdade podem ser descritas com Ø, Ù e Ú

19. P #P V valor1 F valor2 P Q R @(P,Q,R) V V V F MMM V Completude para as funções da verdade • Conectivas unárias Ambos os valores F: P ÙØP Outros casos: disjunção de C1= P e C2= ØP • Conectivas de outras aridades Exprimir conectiva em DNF: (P Ù Q ÙØR) Ú ... • Não são necessários Ø, Ù eÚ : P ÚQ Û Ø(ØP ÙØQ)