Bizonyítási stratégiák

1. Bizonyítási stratégiák • A => B • Gyakran hosszú, bonyolult • 3 stratégia: • Szintézis • Analízis • Nem teljes analízis

2. Szintézis • T:= tételek, axiómák, definíciók • (A és T)=>A1 • A1=>A2 • ... • An=B vagy An=>B • Séma: A=>A1=>A2=>...=>An=>B

3. Elemzés • Mesterkélt a kezdő lépés • Miből induljunk ki? • Mi következik egy feltételből?

4. Analízis (fordított irányú okoskodás)‏ • B-hez keresünk B1 elégséges feltételt • B1-hez keresünk B2 elégséges feltételt • ... • Bn=A vagy A=>Bn • Séma: B<=B1<=B2<=...<=Bn<=A

5. Nem teljes analízis • Séma: B=>B1=>B2=>...=>Bn, ahol • Bn hamis állítás => B is hamis • Bn nyilvánvalóan igaz állítás • Bn=A • Ezek szükséges feltételek • Külön meg kell mutatni, hogyelégségesek is!

6. Analízis és szintézis • A=>...=>Ai • B<=...<=Bj • Ai=Bj

7. Bizonyítási módszerek • Direkt bizonyítás • Teljes indukciós bizonyítás • Indirekt bizonyítás

8. Teljes indukció • 5. Peano axióma: Természetes számok minden M halmazára: ha 0M és ha egy Nn-nel együtt a rákövetkező természetes szám: n+1 is M-beli, akkor N=M. • Bevezetése: dominóelv

9. Bizonyítás, nem ígéret! • Három ígéretet teszek: • Jánosnak: “Ma, holnap és még utána több napon át naponta adok neked 1 forintot.” • Lacinak: “Ha egy nap adok neked 1 forintot, akkor a rákövetkező napon is köteles vagyok adni neked 1 forintot.” • Pistának: “Ha egy nap adok neked 1 forintot, akkor a rákövetkező napon is köteles vagyok 1 forintot adni neked. Ma kapsz tőlem 1 forintot.” • Ki jár legjobban?

10. Indirekt bizonyítások • A => B bizonyítandó. • Feltesszük, hogy B nem teljesül. • (T és A és (nem B)) => (C és (nem C))‏ • T és A igaz => (nem B) hamis => B igaz => A is és B is igaz => (A=>B) igaz.

11. Indirekt bizonyítások osztályozása • Direkt kipróbálás (véges halmazokra)‏ • Létezési állítások igazságának megmutatása (pl. skatulyaelv)‏ • Hamisság megmutatása egy ellenpéldával • Igazolás logikai következtetésekkel

12. Logikai következtetések • Kontrapozíció: (A=>B)<=>((nem B)=>(nem A))‏ • Fogalomazonosítás • Kontrollmódszerek • Dimenziópróba • Szimmetriaelv • függvénytulajdonságok

13. Logikai következtetések • Reductio ad absurdum: bizonyítandó tagadása ellentmondás • Ellentmondás az indirekt feltevésnek: ((nem A)=>A)=>A • Példa: végtelen sok prímszám létezik • Következtetés egy állításra és annak tagadására • Ellentmondás a tétel feltételeinek • Ellentmondás egy ismert tételnek,definíciónak, axiómának • Elimináció módszere: ((A vagy B vagy C) és ((nem A) és (nem B)))=>C

14. Tanulói problémák • Direkt, konstruktív gondolkodás • Ellentmondás felismerése • Tudatos stratégiaválasztás • Heurisztikus stratégiák hiánya

15. Indirekt bizonyítások tanítása • Alsó tagozaton is kell • Feltétel és következmény világos megkülönböztetése • Állítások tagadása