Lezione 4. Calcolo integrale

1. Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore:Il calcolo infinitesimale nei licei non scientificiFebbraio-Marzo 2013LaboratorioDidattico effediesseDipartimento diMatematica – Politecnico di MilanoProf. Marco BramantiPagina web del corso (materiale scaricabile ecc.):www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2013.htmRaggiungibile anche dalla pagina web effediesse:http://fds.mate.polimi.it/ formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

2. Lezione 4. Calcolo integrale Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici. Matematica, Relazioni e funzioni “Lo studente acquisirà i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare (…) l’integrabilità – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati ((…) calcolo di aree e volumi). Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo, che si limiterà (...) alla capacità di integrare funzioni polinomiali intere e altre funzioni elementari, nonché a determinare aree e volumi in casi semplici. L’obiettivo principale sarà soprattutto quello di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura”.

3. Problemi da cui nasce il calcolo integrale (Come per il calcolo differenziale, occorre partire da qui) 1. Il problema di definire (e non solo di calcolare!) l'area di una regione a contorni curvilinei. Occorre riandare ai calcoli di aree della geometria elementare per comprendere come la stessa nozione di area si sia via via estesa. Idea di misura come rapporto tra quadratino unità di misura e regione da misurare; idea di equiscomponibilità; idea di additività dell'area. E poi? Manca ancora qualcosa per le regioni a contorno curvilineo. 2. Problema di calcolare lo spazio percorso da un punto mobile con velocità istantanea variabile. Nel caso v=at ci si è arrivati prima…

4. La definizione di integrale L'integrale come limite di somme. (Questo è lo slogan che vogliamo rimanga). Consideriamo f:[a,b]R continua (se f>0 è più intuitivo). Approssimiamo l’area sotto il grafico di f con le somme di Cauchy-Riemann relative a una partizione in intervalli di uguale ampiezza, con f calcolata in un punto arbitrario scelto in ogni intervallino. Enunciamo il teorema: la successione delle somme di C.R. converge, e il limite non dipende da come abbiamo fatto le scelte arbitrarie in ciascun intervallino e a ciascun passo della costruzione. Definizione: il numero s limite di (qualsiasi) successione di C.R. relativa a f in [a,b] si dice integrale (definito) di f in [a,b] e si indica col simbolo

5. La definizione di integrale Osservazione sul simbolo: è un simbolo, cioè ha un significato complessivo (il dx non ha un significato indipendente), però, come per il simbolo di Leibniz per la derivata, ricorda la definizione del concetto. (v. le due simulazioni Mathematica delle somme di Riemann). Per una motivazione dettagliata di questo modo di procedere, v. articolo su Emmeciquadro, nr. 36 - agosto 2009. (Scaricabile dalla pagina web).

6. Significato geometrico Se f(x) > 0 su [a,b] l'integrale ha il significato geometrico di area, anzi ne è la definizione (se i contorni sono curvilinei). Se f cambia segno l’integrale è un’area con segno. (Se vogliamo un’area in senso geometrico per una funzione di segno variabile, dovremo calcolare l'integrale del modulo di f(x)). Il fatto che nei casi elementari l'integrale restituisca l'area elementare andrebbe verificato. Si può osservare che è così per: il rettangolo (f(x)=c), il trapezio (f(x)=mx+q), quindi, per l’additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione, per i poligoni, infine per il cerchio (ev. si vedrà in seguito). Cenno al calcolo numerico dell’integrale, con la definizione.

7. Significato cinematico Se v(t) è la velocità di un punto mobile sulla retta, lo spostamento netto in un intervallo di tempo [0,T] è pari all’integrale di v(t) in [0,T]: vederlo ragionando sul limite di somme, non sull'area. Invece, lo spazio totale percorso è l’integrale di | v(t) | in [0,T] (che il punto vada avanti o indietro, voglio in ogni caso sommare le lunghezze percorse). Altri significati fisici: la massa di una sbarra non omogenea è l'integrale della densità lineare di massa; il lavoro è l'integrale rispetto allo spostamento ds della componente della forza nella direzione dello spostamento. (vedremo esempi).

8. Il calcolo degli integrali Abbiamo già citato la possibilità di usare una somma integrale finita come approssimazione numerica dell’integrale. Si può fare l'esempio dell'integrale di x2 su [0,1] con le somme di C.R. per mostrare che l’uso della definizione caso per caso è solo occasionalmente praticabile per il calcolo esatto. Veniamo al risultato centrale (abbiamo già detto cos’è una primitiva e mostrato che è determinata a meno di costante additiva; notare che non abbiamo introdotto la funzione integrale, né il teorema della media, né le altre proprietà base dell’integrale definito, tranne l’additività rispetto all’intervallo di integrazione). Teorema fondamentale del calcolo integrale. Se f:[a,b]R è continua e G è una sua primitiva in [a,b], allora

9. Il calcolo degli integrali Si può dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale direttamente, come applicazione del teorema di Lagrange e dell’integrabilità delle funzioni continue. Si può segnalare il Teorema (puramente accademico!): “Ogni funzione continua su un intervallo ammette ivi primitiva” (c’è ma non è detto che noi la sappiamo trovare, né che sia sempre esprimibile come composizione di funzioni elementari: ad es. la Gaussiana exp(-x2)…). In un approccio elementare, il calcolo delle primitive non deve diventare “un capitolo” del corso: si limita a pochi fatti, da dire ora che sappiamo cosa serve, non prima.

10. Il calcolo degli integrali 1. Si ricava la tabella delle primitive elementari, ragionando a ritroso sulla tabella delle derivate elementari: 2. L’operazione di primitiva è lineare, cioè… (senza parlare della linearità dell’integrale definito, che pure è vera) 3. Osservare il caso molto particolare di integrazione per sostituzione:

11. Il calcolo degli integrali Lo studente è quindi in grado di calcolare integrali come: e questo sarà sufficiente per applicazioni significative. Qualche altro fatto di calcolo integrale che può essere utile per qualche applicazione (es. in probabilità; lo si introdurrà al momento quando eventualmente servirà, non fa parte dell’irrinunciabile): integrazione per parti; idea di integrale generalizzato; idea di funzione integrale. Ora v. file 4b.

12. Applicazioni del calcolo integrale 1. Applicazioni geometriche: calcolo di aree e volumi significativi. Premessa: la geometria elementare non va dimenticata: vietato usare integrali per l’area dei poligoni e del cerchio. Per tutto il resto, però… Esempi: Volume del cono, della sfera (e area della superficie sferica), volume della piramide di base qualunque, area dell’ellisse, del segmento di parabola, volume dell’ellissoide di rotazione, della scodella parabolica, della “tromba di Torricelli”. Raccomandazioni: 1. Usare calcoli dimensionati, cioè introdurre i parametri raggio, altezza, ecc., non fare tutto coi numeri puri “perché è più semplice”. 2. Quando è possibile e significativo, esprimere il risultato finale come formula di geometria sintetica (v. segmento di parabola).

13. Applicazioni del calcolo integrale 2. Applicazioni fisiche: lavoro, spazio percorso. Esempi: Lavoro del campo gravitazionale ed energia potenziale; energia potenziale di una molla; spazio percorso nella caduta libera nel vuoto e nell’aria. (Abbiamo anche già usato le primitive per integrare qualche equazione differenziale).

14. Applicazioni del calcolo integrale 3. Applicazioni al calcolo delle probabilità(variabili aleatorie continue). Esempi: calcoli con legge uniforme, esponenziale, Gaussiana… Anziché pensare (didatticamente irrealistico) che le v.a. continue si fanno dopo gli integrali, si può dare un’idea su qualche v.a. continua senza integrali, e dopo gli integrali fare qualche esempio di che cosa il calcolo integrale permette di fare in più. Vediamo esempi…

15. Applicazioni al calcolo delle probabilità • Distribuzione uniforme su un intervallo [a,b]. • Senza integrali: • Probabilità che X abbia valore in un certo intervallo; • Valore atteso (intuitivo). • Con integrali: • Si definisce la densità e si calcola la probabilità che X abbia valore in un certo intervallo; • si può calcolare il valore atteso; • si può calcolare la varianza.

16. Applicazioni al calcolo delle probabilità 2. Legge esponenziale (istante del primo arrivo in un processo di Poisson di "arrivi casuali" di intensità ν). Senza integrali: Probabilità che X<t; Valore atteso (intuitivo) e varianza si possono segnalare. Con integrali: Occorre introdurre la funzione integrale e mostrare che la sua derivata è l’integranda (anche per via intuitiva). Si può calcolare la densità dalla funzione cumulativa, e con questa si può calcolare il valore atteso (serve l’integrazione per parti per xeax); si può calcolare la varianza.

17. Applicazioni al calcolo delle probabilità 3. Legge Gaussiana Senza integrali (serve almeno l’idea di “area sotto la curva”): Legge normale standard N(0,1): si definisce la probabilità che Z<t come area sotto la curva della Gaussiana, e si definisce la funzione cumulativa (tabulata); il valore atteso 0 è intuitivo. Si definisce poi la normale N(,2) come la legge di una variabile X= Z+ , e se ne può calcolare media e varianza. Per standardizzazione si riduce il calcolo sulle normali al calcolo con la normale standard. Con integrali: Si può ricavare la densità della normale N(,2). Si può calcolare valore atteso e varianza della normale standard (serve l’integrazione per parti).