Filtrage de Kalman

1. Filtrage de Kalman Application au suivi des paramètres de problèmes de vision 1/90

2. Cadre de l’étude • Un système physique. • Distinction entre paramètres: • qui modélisent le système • que l’on peut mesurer. • Estimer les premiers à partir des seconds.

3. Cadre de l’étude Les paramètres mesurables observation xi Les paramètres internes (décrivant le modèle) vecteur d’état si

4. Prise en compte des incertitudes • Les mesures sont imprécises/incertaines • Le modèle est simpliste • On veut savoir la fiabilité d’une estimation si de l’état courant si. ce que le filtre de Kalman permet.

5. Formalisation: mesure et vecteur d’état • On a accès a: • bruit blanc additif et: • Evolution du modèle: • Modèle « lâche »:

6. Formalisation: mesure et vecteur d’état • Filtrage de Kalman: processus itératif d’estimation du vecteur • Estimation à l’instant i: • traduit la confiance que l’on a en l’estimation • Si on connaît , la meilleure estimation possible de est:

7. Formalisation: les équations de mesures • Liens entre les observations et le vecteur d’état: • Cas linéaire:

8. Formalisation: les équations de mesures • Dans le cas non-linéaire, on s’y ramène: développement de Taylor à l’ordre 1 de • on a bien:

9. L’algorithme • 3 étapes, propagation des incertitudes. • Initialisation: • Prédiction: • Calcul du gain de Kalman: • Mise à jour: • Un pas du filtre.

10. Algorithme: interprétation • Compromis entre la contribution de la prédiction et de la mesure: • On peut réécrire: • Grande incertitude sur le vecteur d’état « grande » « grand » innovation favorisée. • Grande incertitude sur la mesure « grande » « petit » prédiction privilégiée.

11. Algorithme: améliorations possibles • Filtres de Kalman itérés • Globalement • Localement • Objectif: limiter l’influence des linéarisations

12. Utilisation pour l’estimation robuste • Réjection des mesures aberrantes: v.a. gaussienne de moyenne nul, de covariance • Distance de Mahalanobis associée: • Seuil de réjection tel que:

13. Applications • Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan • Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points • Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.

14. Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan • Le système: mouvement à accélération constante • Equation de mesures: • Incertitude: Meyer a montré que

15. Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan • Résultats: • influence des incertitudes • influence des incertitudes • Réjection des valeurs aberrantes

16. Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points • Vecteur d’état: • Mesures: (points du nuage) • Equations de mesures:

17. Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points • résultats • comparaison filtre classique / itéré localement 1 • comparaison filtre classique / itéré localement 2 • Mais des fois…

18. Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle. • Rappel - modèle de caméra: • Calibrage…

19. Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle. • Une caméra en mouvement autour d’un cube. exemple • 2 possibilités: • suivi sur les points 2D, puis estimation de P (svd) grâce aux 8 correspondances 2D 3D • Résultats 1 | 2 • Suivi sur les paramètres (R,t): • rotation 3 angles • translation 3 composantes • Résultats 1 | 2

20. Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle. • La suite …