Elipsa chyb a Helmertova křivka

1. Elipsa chyb a Helmertova křivka Jiří Buneš Pavel Hromádka

2. Abstrakt Helmertova křivka a elipsa chyb jako nositel informace o středních chybách souřadnic v rovině a v prostoru. Geometrický význam HK a elipsy chyb, její odvození. Ukázka výpočetního prostředí Matlab užitého při vykreslení křivek, ploch a tvorbě uživatelského rozhraní.

3. Význam elipsy chyb jako nositele informace • Elipsa chyb vyjadřuje velikost středních chyb ve směru svých poloos • Velikost poloos a,b odpovídá odmocninám vl. čísel kovarianční matice • Směr poloos odpovídá vl. vektorům kovarianční matice • Elipsa chyb je geometrické místo koncových bodů vektorů majících stejnou hustotu pravděpodobnosti výskytu

4. Poloosy a,b elipsy chyb

5. Význam Helmertovy křivky jako nositele informace • Helmertova křivka vyjadřuje velikost středních chyb v libovolném směru • Pro zjištění velikosti střední chyby užijeme zákon hromadění středních chyb a výsledkem je průvodič HK • Zjednodušené vyjádření bez uvážení korelace

6. Průvodič HK • Průvodič ECH

7. Vznik fce. elipsy chyb z hustoty pravděpodobnosti • Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 2D chyby • V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. elipsy • Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6%případů

8. Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 2D chyby • V případě proměnné hustoty pravděpodobnosti (korelované), je rce. elipsy

9. V případě závislých (korelovaných) stř. chyb má elipsa své poloosy pootočeny a proto je potřeba souřadnice x a y transformovat do nové soustavy pro zjištění velikosti poloos • Úhel stočení • Transformační rce

11. Helmertova plocha a elipsoid chyb • HP a ECH mají svou podobu i v 3D, stejně jako v rovině je největší rozdíl mezi oběma plochami to, že ECH zobrazuje stř. chybu v jednotlivých poloosách, kdežto HP v libovolném směru • Opět je zde volen parametr t jež určuje procento výskytu možných hodnot

12. Poloosy a,b,c elipsoidu chyb • Řešení vl. Čísel této matice vede k rovnici 3. stupně

13. Význam HP jako nositele informace • Pro zjištění střední chyby v libovolném směru zjistíme velikost průvodiče v daném místě • Pro zjištění rozdělení pravděpodobnosti v požadovaném směru vedeme řez HP a výsledkem je Gaussova křivka rozdělení hustoty pravděpodobnosti

14. Zjednodušené vyjádření průvodiče HP a ECH bez uvážení korelace • Odvození je provedeno pomocí zákona hromadění středních chyb • Průvodič HP • Průvodič ECH

15. Vznik fce. elipsoidu chyb z hustoty pravděpodobnosti • Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 3D chyby • V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. Elipsoidu • Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6%případů

16. Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 3D chyby

19. Vysvětlivky • Geometrické charakteristiky rozptylu

20. Příklad • Vyrovnání jednoduché vázané sítě kde byly měřeny pouze délky a ukázka použití ECH a HK v praxi za použití skriptu vytvořeného v prostředí Matlab • Kovarianční matice

21. Parametry a,b elips vypočtené jako vl. čísla diagonálních submatic • Situační náčrt

22. Vykreslení HK a ECH bod 407

23. Vykreslení HK a ECH bod 422

24. Vykreslení HK a ECH bod 424

25. Děkuji za pozornost