1 / 16

Vsebina

Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe. Eulerjeva in Möbiusova funkcija Operatorji Polinomska zaporedja. Vsebina. Polinomska zaporedja.

jeri
Download Presentation

Vsebina

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe Eulerjeva in Möbiusova funkcija Operatorji Polinomska zaporedja Vsebina Kombinatorika 2002

  2. Polinomska zaporedja • Zaporedje polinomov (Pn(x)), n = 0,1, ... Imenujemo polinomsko zaporedje, če je degPn(x) = n. • Izrek: Vsako polinomsko zaporedje je baza vektorskega prostora polinomov R[x]. Kombinatorika 2002

  3. Vezni koeficienti • Polinomski zaporedji (Pn(x)) in (Qn(x)) povezujejo vezni koeficienti: • Pn(x) = a(n,0) Q0(x)+ a(n,1) Q1(x)+...+ a(n,n) Qn(x) • Qn(x) = b(n,0) P0(x)+ b(n,1) P1(x)+...+ b(n,n) Pn(x) • Izrek: Naj bosta polinomski zaporedji (Pn(x)) in (Qn(x)) povezani z zgornjimi veznimi koeficienti. Tedaj za poljubni zaporedji (un) in (vn) velja: • un = a(n,0) v0 + a(n,1) v1 +...+ a(n,n) vn • če in samo če • vn = b(n,0) u0 + b(n,1) u1 +...+ b(n,n) un Kombinatorika 2002

  4. Bernoullijevi polinomi • Več polinomskih zaporedij (Pn(x)), n=0,1,... Zadošča pogoju: • DPn(x) = Pn-1(x). • Polinomsko zaporedje, ki zadošča dvema pogojema: • Dbn(x) = bn-1(x), Dbn(x) = xn-1/n! • b0(x) = 1, b1(x) = x-1/2, b2(x) = x2/2-x/2+1/12,... • Bn(x) := n! bn(x) – Bernoullijevi polinomi. Kombinatorika 2002

  5. Bernoullijeva števila • Bernoullijeva števila Bn lahko definiramo s pomočjo Bernoullijevih polinomov Bn(x): • Bn := Bn(0). • text/(et-1)– eksponentna rodovna funkcija za Bernoullijeve polinome Bn(x). • t/(et-1)– eksponentna rodovna funkcija za Bernoullijeva števila Bn. Kombinatorika 2002

  6. Eulerjevi polinomi • Eno samo polinomsko zaporedje, zadošča dvema pogojema: • DEn(x) = En-1(x), MEn(x) = xn/n! • E0(x) = 1, E1(x) = x-1/2, E2(x) = x2/2-x/2,... • En(x) – Eulerjevi polinomi. Kombinatorika 2002

  7. Eulerjeva števila • Eulerjeva števila En lahko definiramo s pomočjo Eulerjevih polinomov En(x): • En := 2n En(1/2). • 2ext/(et+1)– eksponentna rodovna funkcija za Eulerjeve polinome En(x). • 2et/(e2t +1)– eksponentna rodovna funkcija za Eulerjeva števila En. Kombinatorika 2002

  8. Enačba deli in vladaj • Naj velja rekurzija: • T(1) = 0 • T(n) = a T(n/c) + b .n, n > 1 • Za n = ck dobimo rešitev: • T(n) = bn (1 + a/c + a2/c2 +... + ak-1/ck-1) = bn((a/c)k-1)/(a/c – 1) • Naloga: Rešitev T(n) obravnavaj za naslednje funkcije primere: • a < c: T(n) = O(n). • a = c: T(n) = O(n log n) • a > c: T(n) = O(nd), kjer je d = logca . Kombinatorika 2002

  9. Stirlingova števila prve vrste • Naj s(n,k) označuje število permutacij reda n, ki so produkti k disjunktnih ciklov. • Očitno je: s(n,0) = 0, s(n,n) = 1 • Poleg tega: s(n,1) = (n-1)! • Trditev: Za n,k > 0 velja: • s(n,k) = (n-1)s(n-1,k) + s(n-1,k-1) Kombinatorika 2002

  10. Stirlingov trikotnik (prve vrste) n = 1 r = 2 s(5,2)=50 n = 5 Kombinatorika 2002

  11. Navadne in padajoče potence • Definirajmo: • x[0] = 1 • x[n] = x[n-1] (x-n+1) za n > 0. • Trditev: • xn = S(n,0) x[0] + S(n,1) x[1] + ... + S(n,n) x[n] • x[n] = s(n,n)xn - s(n,n-1)xn-1 + ... +(-1)n s(n,0)x0 Kombinatorika 2002

  12. Naraščajoče in padajoče potence • Definirajmo: • x[0] = 1 • x[n] = x[n-1] (x+n-1) za n > 0. • Vezne koeficiente označimo: • x[n] = L’(n,0) x[0] + L’(n,1) x[1] + ... + L’(n,n) x[n] • Števila L’(n,k) se imenujejo nepredznačenaLahova števila. Kombinatorika 2002

  13. Lahova števila • Ob številih L’(n,k) lahko definiramo še (predznačena) Lahova števila L(n,k) takole: L(n,k) = (-1)nL’(n,k). Veljata zvezi: • (-x)[n] = L(n,0) x[0] + L(n,1) x[1] + ... + L(n,n) x[n] • x[n] = L(n,0)(-x)[0] + L(n,1)(-x)[1] + ... + L(n,n)(-x)[n] Kombinatorika 2002

  14. Izraz za Lahova števila • Lahova števila lahko izračunamo neposredno: • L(n,k) = (-1)n n!(n-1)!/[k!(k-1)!(n-k)!] • L’(n,k) = n!(n-1)!/[k!(k-1)!(n-k)!] • Po kom se pravzaprav imenujejo Lahova števila? Kombinatorika 2002

  15. Poimenovanje Lahovih števil • Po kom se pravzaprav imenujejo Lahova števila? • Leta 1955 jih je odkril in v nemščini objavil slovenski matematik Ivo Lah. Leta 1958 jih je v svoji knjigi o kombinatoriki po njem poimenoval Riordan, ki je v Math. Reviews ocenil njegov članek. • [Ivo Lah (Štrukljeva vas 5.9.1896 – Ljubljana, 23.3.1979)] Kombinatorika 2002

  16. Reference na Lahova števila • V. Batagelj, Kombinatorika, str.79-80, 1997. • S. Gill Williamson: Combinatorics for Computer Science, str. 176, 1985 • John Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley, New York, 1958. Kombinatorika 2002

More Related