1º I.T.I. : MECANICA I

1. 1º I.T.I. : MECANICA I TEMA Nº 7: ESTÁTICA ARMADURAS, ENTRAMADOS Y MÁQUINAS Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

2. Indice • Punto 7.1 Introducción • Punto 7.2 Armaduras planas • Punto 7.2.1 Método de los nudos • Punto 7.2.2 Miembros de fuerza nula • Punto 7.2.3 Método de las secciones • Punto 7.2.4 Fuerzas en miembros de dos fuerzas rectos y curvos • Punto 7.3 Armaduras espaciales • Punto 7.4 Entramados y máquinas • Punto 7.4.1 Entramados • Punto 7.4.2 Máquinas

3. 7.1 Introducción • La determinación de las reacciones en los apoyos vista en el tema anterior sólo es el primer paso del análisis de las estructuras y máquinas. • En este tema utilizaremos las ecuaciones de equilibrio (en adelante EQ) para determinar las fuerzas en los nudos de estructuras compuestas de miembros conectados por pasador. • Este paso es necesario para elegir las sujeciones (tipo, tamaño, material, etc.) que se utilicen para mantener unida la estructura. • La determinación de las fuerzas interiores (Resistencia de materiales) es necesaria para proyectar los miembros que constituyan la estructura. • Las fuerzas en los nudos siempre son, dos a dos, de igual módulo y recta soporte, pero opuestas. Si no se separan del resto de la estructura por medio de un DSL, no habrá que considerar estas parejas de fuerzas al escribir las EQ. Por tanto, para poder determinarlas habrá que dividir la estructura en dos o más partes. Así, las fuerzas de los nudos se convertirán, en los puntos de separación, en fuerzas exteriores en cada DSL y entrarán en las EQ. La aplicación de estas EQ a las distintas partes de una estructura permitirá determinar todas las fuerzas que actúan en las conexiones.

4. Aun cuando existen muchos tipos de estructuras, en este tema calcularemos dos de los tipos más corrientes e importantes: 1.- Armaduras, estructuras compuestas totalmente por miembros de dos fuerzas. Las armaduras constan generalmente de subelementos triangulares y están apoyadas de manera que se impida todo movimiento. Su estructura ligera puede soportar una fuerte carga con un peso estructural relativamente pequeño. Ejemplo: Puente de la figura 1. 2.- Entramados, estructuras que siempre contienen al menos un miembro sobre el que se ejercen fuerzas en tres o más puntos. Los entramados también se construyen y apoyan de manera que se impida su movimiento. Las estructuras tipo entramado que no estén totalmente inmovilizadas reciben el nombre de máquinas o mecanismos. Ejemplo: Mesa de la figura 2.

5. 7.2 Armaduras planas La Armadura es una estructura compuesta por miembros, usualmente rectos, unidos por sus extremos y cargada solamente en estos puntos de unión (nudos). La estructura ligera de una armadura proporciona, para grandes luces, una resistencia mayor que la que proporcionarían muchos tipos de estructura más recios. - LasArmaduras planasestán contenidas en un solo plano y todas las cargas aplicadas deben estar contenidas en él. Ejemplo: Se utilizan a menudo por parejas para sostener puentes. Las cargas sobre el piso son transmitidas a los nudos ABCD por la estructura del piso. - LasArmadura espacialesson estructuras que noestán contenidas en un solo plano y/o están cargadas fuera del plano de la estructura. Ejemplos: Grandes antenas, molinos de viento, etc.

6. En el análisis de armaduras se formulan cuatro hipótesis fundamentales: 1ª.-Los miembros de las armaduras están unidos solo por sus extremos. Aunque en la realidad haya miembros que cubran varios nudos. Al ser largos y esbeltos, la hipótesis de miembro no continuo suele ser aceptable. 2ª.-Los miembros de la armadura están conectados por pasadores exentos de rozamiento por lo que no hay momentos aplicados a los extremos de los miembros. Válido si los ejes de los miembros son concurrentes. 3ª.-La armadura sólo está cargada en los nudos. Como los miembros suelen ser largos y esbeltos, no pueden soportar momentos flectores o cargas laterales fuertes, con lo que las cargas se deben llevar a los nudos. 4ª.-Se pueden despreciar los pesos de los miembros. En el caso de armaduras grandes, es corriente suponer que la mitad del peso de cada miembro se ejerce sobre cada uno de los dos nudos que lo conectan.

7. El resultado de estas cuatro hipótesis es que todos los miembros de la estructura idealizada son miembros de dos fuerzas. (figura). Tales estructuras son mucho más fáciles de analizar que otras más generales con igual número de miembros. El error resultante suele ser suficientemente pequeño como para justificar las hipótesis. En su forma más sencilla, una armadura consiste en un conjunto de miembros de dos fuerzas unidos por pasadores exentos de rozamiento (figura).

8. En el caso de los miembros de dos fuerzas, las fuerzas están dirigidas según la recta que une sus puntos de aplicación. Cuando un nudo ejerce una fuerza que tira del extremo de un miembro, éste ejerce una reacción que también tira del nudo. (Principio de acción y reacción). • Las fuerzas que tiran del extremo de un miembro se denominan fuerzas de tracción o de tensión y tienden a alargar el miembro. • Las fuerzas que aprietan el extremo del miembro se denominan fuerzas de compresión y tienden a acortarlo. Los miembros largos y esbeltos que constituyen una armadura son muy resistentes a la tracción pero tienden a sufrir flexión o pandeo cuando se someten a cargas compresivas fuertes, por lo que en estos casos deberán ser más gruesos o deberán riostrarse. Uno de los extremos de una armadura de puente grande se suele dejar flotar sobre un apoyo de zapata o de rodillo. Aparte del requisito matemático (problema equilibrio Plano: 3 reacciones de apoyo) va a permitir la dilatación o contracción por causas térmicas.

9. Para mantener su forma y resistir las grandes cargas que se le apliquen, las armaduras han de ser estructuras rígidas. El elemento constitutivo básico de toda armadura es el triángulo ya que es la estructura rígida más sencilla. A menudo se dice que una armadura es rígida si conserva su forma al sacarla de sus apoyos o cuando uno de sus apoyos puede deslizar libremente. Ejemplo: Por otro lado, la armadura de la 2ª figura se dice que es una armadura compuesta y la falta de rigidez interna se compensa mediante una reacción de apoyo exterior más. Ejemplo:

10. Las armaduras grandes se construyen uniendo varios triángulos. Armaduras simples: Estas se diseñan a partir de un elemento triangular básico (triángulo ABC), luego se añaden, uno a uno, elementos triangulares adicionales uniendo un nuevo nudo (D) a la armadura y utilizando dos nuevos miembros (BD y CD) y así sucesivamente. Las armaduras de la página anterior no son simples. La armadura simple, al estar constituida tan solo por elementos triangulares, siempre será rígida. Como cada nuevo nudo trae con él dos nuevos miembros, se cumple que en una armadura simple plana: Siendo m el nº de miembros y n el nº de nudos. Según el método de los nudos, ésta es exactamente la condición necesaria para garantizar la resolubilidad de la armadura simple plana, aunque no es válida para otro tipo de armaduras.

11. 7.2.1 Método de los nudos Consiste en “desmontar” la armadura dibujando por separado el DSL de cada miembro y cada pasador y aplicarles las condiciones de equilibrio.

12. Consideraciones generales del Método de los nudos (1/3): • Los DSL de los miembros de la armadura solo tienen fuerzas axiales aplicadas en sus extremos en virtud de la hipótesis formuladas anteriormente. • El símbolo TBC representa la fuerza incógnita en el miembro BC (TBC = TCB). • Al conocer las rectas soporte de los miembros solo faltaría determinar el módulo y sentido de las fuerzas en los mismos. • El sentido de la fuerza se tomará del signo de TBC. • Las fuerzas que apuntan hacia fuera del miembro se denominan fuerzas de tracción o de tensión y tienden a estirar el miembro. • Las fuerzas que apuntan hacia el miembro se denominan fuerzas de compresión y tienden a comprimirlo. • Aun cuando algunos intentan prever el sentido de las fuerzas, no es necesario hacerlo, por lo que dibujaremos los DSL como si todos los miembros estuvieran sometidos a tracción. Así, el valor negativo de una fuerza indicará que el miembro está sometido a compresión.

13. Consideraciones generales del Método de los nudos (2/3): • De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que un pasador ejerce sobre un miembro es igual y opuesta a la que el miembro ejerce sobre el pasador. • El análisis de la armadura se reduce a considerar el equilibrio de los nudos ya que el equilibrio de los miembros no aporta más información que la igualdad de fuerzas en los extremos. • Como en cada nudo actúan fuerzas concurrentes coplanarias, el equilibrio de momentos no dará información útil con lo que solo se analiza el equilibrio de fuerzas. Para cada nudo R = 0 dará lugar a 2 ecuaciones escalares independientes: • Una armadura plana con n pasadores dará un total de 2n ecuaciones escalares independientes con las que calcularemos las m fuerzas en los miembros y las 3 reacciones en los apoyos de una armadura simple.

14. Consideraciones generales del Método de los nudos (3/3): • Si existe un nudo con solo dos fuerzas incógnitas, las dos ecuaciones para este nudo se pueden resolver independientemente del resto de ecuaciones. • Si no existe un tal nudo, suele poderse crear resolviendo primero las EQ de la armadura en su conjunto. • Los nudos se resuelven de esta manera uno tras otro hasta que se conozcan todas las fuerzas. • Una vez determinadas todas las fuerzas, deberá hacerse un resumen de todas las fuerzas de los miembros indicando en cada una si es de tracción o de compresión. • Si se utiliza primeramente el equilibrio global para determinar las reacciones en los apoyos y ayudar a iniciar el método de los nudos, entonces tres de las 2n EQ de los nudos serán superabundantes y se podrán utilizar para comprobar la solución. • Si no es así, es el equilibrio global el que puede utilizarse para comprobar la solución.

15. PROBLEMA 7.1 Utilizar el método de los nudos para hallar la fuerza en cada miembro de la armadura de la figura.

16. PROBLEMA 7.1 bis

17. PROBLEMA 7.2 La armadura de la figura soporta un lado del puente; otra armadura igual soporta el otro lado. Las vigas del suelo transportan cargas de vehículos a los nudos de la armadura. En el puente se detiene un coche de 2000 kg. Utilizar el método de los nudos para hallar la fuerza en cada miembro de la armadura.

18. PROBLEMA 7.2 bis

19. PROBLEMA 7.3 La armadura de la figura da apoyo a un extremo de una pantalla de cine al aire libre de 12 m de ancho por 7,2 m de alto que pesa 35 000 N. Otra armadura igual da apoyo al otro extremo de la pantalla. Un viento de 32 kmh que incide normalmente a la pantalla le ejerce una presión de 57,88 Pa. Calcular las fuerzas máximas de tracción y compresión en los miembros de la armadura e indicar en qué miembros tiene lugar.

20. PROBLEMA 7.3 bis

21. PROBLEMA 7.15(p. 278) Determinar la fuerza en cada miembro de la pareja de armaduras que están cargadas según se indica en la figura.

22. PROBLEMA 7.23(p. 279) La nieve sobre el tejado que soporta la armadura Howe puede aproximarse a una carga distribuida de 300 N/m. Determinar la fuerza en los miembros BC, BG y CG.

23. PROBLEMA 7.28(p. 280) La armadura Grambrel soporta un lado del puente, otra armadura igual soporta el otro lado. Las vigas del suelo llevan las cargas de los vehículos a los nudos de las armaduras. Determinar la fuerza en los miembros BC, BG y CG en el caso en que un camión de peso 37,5 kN se detenga en el punto indicado.

24. PROBLEMA 7.30(p. 281) El tejado plano de un edificio se apoya en una serie de armaduras planas paralelas separadas 2 m (en la figura se representa una de esas armaduras). Determinar la fuerza en todos los miembros de una de ellas cuando se forma una capa de agua de 0,2 m.

25. 7.2.2 Miembros de fuerza nula Sucede a menudo que ciertos miembros de una armadura dada no soportan carga. Esto suele deberse a una de las dos causas generales: 1ºCuando sólo dos miembros no colineales forman un nudo y a éste no hay aplicada ni carga exterior ni reacción de apoyo, los miembros serán de fuerza nula. Ejemplo: En este caso se podrían suprimir los dos miembros BC y CD, sin que viera afectada la solución e incluso la estabilidad de la armadura.

26. 2ª causa general: 2ºCuando tres miembros forman un nudo en el cual dos de los miembros sean colineales y el tercero forme ángulo con ellos, el miembro no colineal lo será de fuerza nula si al nudo no hay aplicada fuerza exterior ni reacción de apoyo. Los dos miembros colineales soportan cargas iguales. Ejemplo: En este caso estos miembros de fuerza nula no pueden suprimirse, sin más, de la armadura y descartarlos. Son necesarios para garantizar la estabilidad de la armadura, tal y como se indica a continuación.

27. Si se suprimieran los miembros de fuerza nula AD y BD, nada impediría que una pequeña perturbación desplazara ligeramente el pasador D y destruyera el alineamiento de los miembros. Pero el equilibrio del pasador C exige que TCD no sea nula. Con lo que: La armadura ya no estaría estático, el pasador D seguiría moviéndose hacia afuera y la armadura se derrumbaría. Así pues, no hay que apresurarse a descartar miembros de una armadura sólo por que no soporten carga para una cierta configuración. Tales miembros son a menudo necesarios para soportar parte de la carga cuando la carga aplicada varíe y casi siempre son necesarios para garantizar la estabilidad de la armadura.

28. PROBLEMA 7.4 En la armadura simple Fink de la figura, hallar los miembros de fuerza nula para el estado de carga que se indica.

29. PROBLEMA 7.5 Identificar los miembros de fuerza nula de la armadura en tijera de la figura, hallar para el estado de carga que se indica. NOTA: Posibilidad de explicar simetrías (geométrica y de cargas) en los problemas de armaduras.

30. 7.2.3 Método de las secciones La armadura se divide solo en dos pedazos. Como la armadura entera está en equilibrio cada uno de los pedazos es también un cuerpo en equilibrio. Ejemplo: La armadura de la figura se puede dividir en dos partes haciendo pasar una sección imaginaria aa que corte a alguno de sus miembros. La sección deberá cortar la armadura de manera que se puedan dibujar DSL completos para cada uno de los pedazos. En cada uno hay que incluir la fuerza que sobre cada miembro cortado ejerce la otra parte del miembro que ha quedado fuera. Así pues, para hallar la TCF, la sección deberá cortar ese miembro. Para cada cuerpo rígido podrán escribirse 3 EQ independientes. En total 6 ecuaciones para despejar 6 incógnitas (las fuerzas en los tres miembros cortados y las 3 reacciones en los apoyos).

31. Podremos simplificar la resolución de las ecuaciones si se determinan las reacciones de los apoyos a partir del equilibrio de toda la armadura antes de ser seccionada. Si una sección cortara cuatro o más miembros cuyas fuerzas no se conocieran, el método de las secciones no generaría bastantes EQ para despejar todas las fuerzas incógnitas. En ocasiones, no puede encontrarse una sección que corte no más de 3 miembros y pase a través de un miembro de interés dado. En tal caso, podrá ser necesario dibujar una sección que atraviese un miembro próximo y despejar primero las fuerzas en él y posteriormente aplicar el método de los nudos a un nudo próximo o el de la secciones a una sección que contenga el miembro de interés (problema ejemplo 7.8). Ventajas del método de las secciones: • Suele poderse determinar la fuerza en un miembro cercano al centro de una armadura grande sin haber obtenido primero las fuerzas en el resto de la armadura con lo que la posibilidad de error se reduce de manera importante. • Puede servir de comprobación cuando se utilice el método de los nudos o un programa de ordenador para resolver una armadura.

32. PROBLEMA 7.6 Utilizar el método de las secciones para hallar las fuerzas en los miembros EF, JK y HJ de la armadura de la figura.

33. PROBLEMA 7.6 bis

34. PROBLEMA 7.7 Utilizar el método de las secciones para hallar las fuerzas en los miembros CD y FG de la armadura de la figura.

35. PROBLEMA 7.8 Hallar las fuerzas en los miembros BC y BG de la armadura Fink de la figura. Los triángulos son o equilateros o rectángulos 30º-60º-90º y las cargas son todas perpendiculares al lado ABCD.

36. PROBLEMA 7.8 bis

37. m PROBLEMA 7.64(p. 294) Determinar la fuerza en los miembros AB y FG de la armadura representada en la figura.

38. PROBLEMA 7.67(p. 295) Determinar la fuerza en los miembros CD, DG y EG de la armadura de línea de transmisión de la figura.

39. 7.2.4 Fuerzas en miembros de dos fuerzas rectos y curvos Considerando un corte transversal en la sección aa del miembro recto de la figura, sobre la superficie de corte habrá una distribución compleja de fuerzas que podría sustituirse por una fuerza y un par equivalentes. Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen que sea nula la componente cortante V, que sea nula la componente M del momento y que la componente axial P del sistema equivalente fuerza-par sea de igual módulo y dirección pero de sentido opuesto a T. Es decir, si las fuerzas en los extremos de un miembro recto de dos fuerzas tiran del miembro, las fuerzas que se ejerzan sobre cualquier sección del miembro representarán también una fuerza axial que tire de dicha sección.

40. Si el miembro de dos fuerzas es curvo, las fuerzas en sus extremos actuarán según la recta que une los puntos de aplicación de las fuerzas. Si se corta el miembro transversalmente en la sección aa, se tendrá una distribución compleja de fuerzas sobre la sección que podría sustituirse por un sistema fuerza-par equivalente. Al aplicar las EQ al DSL, estas exigen ahora que la resultante R de las componentes axial P y cortante V del sistema fuerza-par equivalente sea de igual módulo y dirección pero de sentido opuesto a T. Como las fuerzas R y T no son colineales, el equilibrio de momentos exige ahora que Por tanto, el diseño de miembros rectos de dos fuerzas sólo precisa considerar fuerzas axiales, mientras que los miembros curvos de dos fuerzas deben diseñarse para resistir fuerzas cortantes V y momentos flectores M, así como fuerzas axiales P. Complica más aún el problema el hecho de que los valores de V, M y P dependen de donde se corte el miembro.

41. PROBLEMA 7.9 El arco de la figura consta de dos miembros que son cuadrantes de circunferencia. Determinar la fuerza axial P, la fuerza cortante V y el Momento flector M en el miembro AB en función del ángulo .

42. PROBLEMA 7.9 bis

43. 7.3 Armaduras espaciales Son armaduras cuyos nudos no se encuentren todos en un plano y/o cuyos apoyos y cargas no sean coplanarios. • El equivalente tridimensional del triángulo es el tetraedro. • Una armadura espacial simple se forma añadiendo unidades tetraédricas a la armadura con lo que son siempre rígidas. • Como ahora cada nuevo nudo lleva consigo 3 nuevos miembros, la relación entre los n nudos y los m miembros vendrá dado por: • m = 3n – 6. • Estas armaduras, al igual que las planas, se pueden analizar utilizando el método de los nudos o el de las secciones: • Método de los nudos: al aplicar las EQ en cada nudo obtendremos 3n ecuaciones para calcular las m fuerzas en los miembros y las 6 reacciones de apoyos. • Método de las secciones: la aplicación de las EQ a las dos secciones darán 12 EQ (6 c.u.) suficientes para determinar las 6 reacciones de apoyos y 6 fuerzas de miembros internas (aunque suele ser difícil hacer pasar una sección que no corte a más de 6 miembros).

44. PROBLEMA 7.10 La armadura espacial simple de la figura tiene por apoyos una rótula en E y barras cortas en A, D y C. Hallar las fuerzas en todos los miembros.

45. PROBLEMA 7.10 bis

46. PROBLEMA 7.11 La armadura espacial de la figura tiene por apoyos una rótula en A y barras cortas en B y C. Al nudo en D está aplicada una fuerza de 125 N contenida en el plano y-z. Hallar las reacciones de los apoyos y las fuerzas en todos los miembros.

47. PROBLEMA 7.11 bis

48. 7.4 Entramados y máquinas Aun cuando los entramados y las máquinas pueden contener también uno o más miembros de dos fuerzas, contienen al menos un miembrosobre el que se ejercen fuerzas en más de dos puntos o sobre el cual actúen fuerzas y momentos. Los entramados a su vez son estructuras rígidas mientras que las máquinas no lo son. Ejemplos: Entramado Máquina Esta estructura no es rígida en el sentido de que depende de sus apoyos para mantener su forma. La falta de rigidez se compensa con una reacción más de los apoyos.

49. Así pues, en las máquinas el equilibrio global no es suficiente para determinar las 4 reacciones en los apoyos. La estructura debe “desmembrarse” y analizarse aun cuando lo único que se pida sean las reacciones en los apoyos. Mas concretamente, el término máquina suele utilizarse para describir objetos que se utilicen para amplificar el efecto de las fuerzas (tenazas, pinzas, cascanueces, etc.) En cada caso, se aplica al mango del dispositivo una fuerza de entrada y este elemento aplica una fuerza de salida mucho mayor a donde sea. Deben desmembrarse y analizarse aun cuando lo único que se pida sea la relación entre las fuerza aplicada y de salida. El método de resolución de entramados y máquinas consiste en desmembrar las estructuras, dibujar el DSL de cada componente y escribir las EQ para cada DSL. En el caso de armaduras, al conocerse la dirección de la fuerza en todos los miembros, el método de los nudos se reducía a resolver problemas de equilibrio del punto. Si embargo, como algunos miembros de los entramados y máquinas no son miembros de dos fuerzas, no se conocen las direcciones de las fuerzas en dichos miembros con lo que su análisis consistirá en resolver el equilibrio de un sistema de cuerpos rígidos.

50. 7.4.1 Entramados El la figura tenemos una mesa en la que ninguno de sus miembros lo es de dos fuerzas. Además, aun cuando pueda doblarse la mesa desenganchando el tablero de las patas, en su utilización normal la mesa es una estructura rígida estable y por tanto un entramado. 1º Análisis de la estructura completa. Dibujamos su DSL y escribimos las EQ: dan las reacciones en los apoyos: A continuación, se desmiembra la mesa y se dibujan por separado los DSL de cada una de sus partes.