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DERIVADAS DE OPERACIONES

DERIVADAS DE OPERACIONES. Bloque III * Tema 122. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0

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DERIVADAS DE OPERACIONES

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  1. DERIVADAS DE OPERACIONES Bloque III * Tema 122 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. • Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: • f (x + h) - f(x) k - k 0 • f ‘ (x) = lím ------------------- = --------- = ------- = 0 • h 0 h h h • Sea f(x) = x • Aplicando la definición de derivada de una función: • f (x + h) - f(x) x + h - x h • f ‘ (x) = lím ------------------- = -------------- = ------ = 1 • h 0 h h h • 2 • Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: • 2 2 2 2 2 • f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2.x.h + h - x • f ‘ (x) = lím ---------------------- = ------------- = ------------------------- = • h 0 h h h • = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x Matemáticas Acceso a CFGS

  3. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. • 3 2 • Sea f(x) = x  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3.x • Resumiendo: • f (x) = x  f ‘ (x) = 1 • 2 • f (x) = x  f ‘ (x) = 2.x • 3 2 • f (x) = x  f ‘ (x) = 3.x • n n - 1 • Generalizando: f (x) = x  f ‘ (x) = n. x • Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos. Matemáticas Acceso a CFGS

  4. DERIVADA DE LA SUMA • Sea y = f(x)+g(x) • Aplicando la definición de derivada: • f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = • x0 x • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ = • x0 x x • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ = • x0 x x0 x • y’ = f ’(x) + g ‘(x) Matemáticas Acceso a CFGS

  5. DERIVADA DEL PRODUCTO • Sea y = f(x). g(x) • Aplicando la definición de derivada: • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = • x0 x • Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando: • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x) • = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------------------------------------- • x 0 x • Sacando factor común : • [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------------------------------------------------- • x0 x • f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) = • x0 x x0 x • y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x) Matemáticas Acceso a CFGS

  6. DERIVADA DE LA INVERSA • Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: • k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x) • x0 x x0 x • Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: • 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- = • x0 x x0 f(x). f(x + x). x • - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = ------- • x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x) Matemáticas Acceso a CFGS

  7. DERIVADA DE LA DIVISIÓN • Sea y = g(x) / f(x) • Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: • g ’(x) - f ‘(x) • y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- • f(x) f 2 (x) • y sacando mínimo común múltimo resulta: • g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) • y ‘ = ------------------------------------- • f 2 (x) Matemáticas Acceso a CFGS

  8. OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS • Sea y = √x • Siempre se puede poner previamente como y = x1/2 • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: • y ’ = 1 / 2√x • Sea y = 1 / x • Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: • y ’ = – 1/ x2 • Sea y = 1 / f (x) • Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: • y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) • Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible. Matemáticas Acceso a CFGS

  9. REGLA DE LA CADENA • Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo • (fog)(x)) que (gof)(x)) • Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. • Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) (1) • Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) (2) • Ejemplo 1 • Sea f(x) = x3 y g(x) = (x – 1) • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1 • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = 1 ,, f ’(g(x)) = 3x2 – 6x + 3 ,, g ’(f(x)) = 3x2 • (1) y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) = (3x2 – 6x + 3 ).1 = 3x2 – 6x + 3 • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = x3 – 1 • (2) y’ = g ’ (f(x)) . f ‘ (x) = 1 . 3x2 = 3x2 Matemáticas Acceso a CFGS

  10. REGLA DE LA CADENA • Ejemplo 2 • Sea f(x) = x3 y g(x) = sen x • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (sen x)3 • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, f ’(g(x)) = 3.(sen x)2 . cos x • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = sen x3 • Derivadas : f ’(x) = 3x2 ,, g ’(x) = cos x ,, g ’(f(x)) = cos x3 . 3. x2 • Ejemplo 3 • Sea f(x) = x2 y g(x) = ln x • Función compuesta (1): (fog)(x) = f(g(x)) = (ln x)2 • Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, f ’(g(x)) = 2.(ln x) . (1 / x) • Función compuesta (2): (gof)(x) = g(f(x)) = ln x2 = 2.ln x • Derivadas : f ’(x) = 2.x ,, g ’(x) = 1 / x ,, g ’(f(x)) = 2. (1 / x) = 2 / x Matemáticas Acceso a CFGS

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