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DERIVADAS. CONCEPTOS. RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS. ¿Cómo se halla la tangente a una curva?. Descartes (Siglo XVII) “El problema de hallar la tangente a una curva es no sólo el problema más útil y más general que conozco,
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CONCEPTOS • RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x) • LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS ¿Cómo se halla la tangente a una curva? Descartes (Siglo XVII) “El problema de hallar la tangente a una curva es no sólo el problema más útil y más general que conozco, sino que pudiera desear conocer....”
Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo había enviado a John Collins. Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.
f(x) y f(b) f(a) x a b m = f(b)-f(a) b-a RECTA SECANTE A UNA CURVA
f(x) y f(a) a x m =??????? RECTA TANGENTE A UNA CURVA Recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a
f(x) y f(a+h) f(a) a+h a x RECTA TANGENTE A UNA CURVA Donde h tiende a cero...
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto x=a
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)
PROBLEMA1 A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente
PROBLEMA2 Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x = -3
DEFINICIÓN DE DERIVADA f ’(5)= PUNTO CONCRETO Ej: 5 f ’(x)= PUNTO CUALQUIERA
Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:
NOTA Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE) EN EL PUNTO X=0
y=|x-c|+a c x PROPOSICIÓN Ninguna función es derivableen los puntos “picudos” Puede tener dos tangentes (derivadas) + tangente a la derecha + tangente a la izquierda
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE) EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD
PROPOSICIÓN Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en ese punto NOTA: el recíproco NO es cierto!
F(x) F(x) F(x) F(x) x x x x 1 1 3 3 1 1 3 3 - - 3 3 - - 3 3 PROBLEMA • ¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?: • a. ¿Derivable? • b. ¿Continua pero no derivable? • c. ¿Ni continua ni derivable?
REGLAS DE DERIVACIÓN • SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0…. • Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
REGLAS DE DERIVACIÓN Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x (4x)’ = 4x L4 (log6x)’ = (1/x)/L6
Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)
Ejemplos Sean las funciones:
