Derivadas

1. Derivadas Nocao_derivada.gsp

2. Definição de derivada de uma função num ponto • Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f, no ponto a, e representa-se por f’(a), ao limite (se existir)

3. Definição de derivada de uma função num ponto • Observação: Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever. • Resolver o exercício 352

4. Exercício 352 • Usa a definição de derivada de uma função num ponto para calcular: • f ’(-1), sendo f(x) = 2 x3 + x + 1 • g ’(1), sendo g(x) = e2x • h ’(0), sendo • r ’(2), sendo • s’(2), sendo s(x) = lnx

5. Interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto • Seja f uma função real de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. • A derivada da função f, no ponto a, é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (a, f(a)). f’(a) é o declive da recta r • Resolver o exercício 358

6. Exercício 358 • Seja f(x) = 0,5x2 – x + 1 • Escreve a equação reduzida da recta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissa 0 e 2. • Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.

7. Interpretação física do conceito de derivada de uma função num ponto • Se, para cada valor de t, f(t) representar o espaço percorrido por um móvel até ao instante t, então a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel no instante a. • Resolver o exercício 360

8. Exercício 360 • Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei e = 5t2 + 20t, sendo e a distância percorrida em metros ao fim de t segundos. • Calcula a velocidade média no intervalo [1,4]. • Calcula a velocidade no instante t = 3.

9. Exercício 355 • Pretendemos provar que a derivada de uma função par é uma função ímpar (e vice-versa). • Hipótese: f é par isto é • Tese: f´ é ímpar isto é • Demonstração:Calculemos e provemos que é igual a .

10. Exercício 355 (cont.) Prove agora que a derivada de uma função ímpar é uma função par, seguindo um processo semelhante ao que acabámos de utilizar

11. Derivabilidade e continuidade • Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto. • Hipótese: Existe • Tese: f é contínua em a. • Demonstração:

12. Derivabilidade e continuidade • Logo se então o que significa que f é contínua em a O recíproco não é verdadeiro: uma função pode ser contínua num ponto e não existir derivada finita nesse ponto. • Resolver o exercício 364

13. Derivabilidade e continuidade • Resolver o exercício 364 • Se e o que se pode dizer sobre a existência de ?

14. Derivadas laterais • Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. • Chama-se derivada lateral direita da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)

15. Derivadas laterais • Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. • Chama-se derivada lateral esquerda da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)

16. Interpretação geométrica das derivadas laterais • As derivadas laterais da função f, no ponto a, são os declives das semi-tangentes ao gráfico de f, nesse ponto. • é o declive da semi-recta r • é o declive da semi-recta s

17. Interpretação geométrica das derivadas laterais • Como as duas semi-tangentes não estão no prolongamento uma da outra, têm declives diferentes, pelo que

18. Interpretação geométrica das derivadas laterais • A função não tem, portanto, derivada no ponto a. • Dizemos que o ponto de coordenadas (a,f(a)) é um ponto anguloso do gráfico de f. • Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372 e 376

19. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 362, • Seja f a função definida por Justifique que f não é derivável em 0.

20. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 367. • Prove que a função f definida, em IR, por é contínua no ponto de abcissa 2 mas não tem derivada nesse ponto.

21. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 368. • Seja f a função definida, em IR, por: Determina a e b de modo que f seja derivável no ponto de abcissa 2.

22. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 369. • Seja f a função representada graficamente por: Esboce o gráfico de f´.

23. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 372. • Seja f de domínio definida por Investiga se f é derivável no ponto de abcissa 0 e caracteriza f´(x).

24. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 375. • Seja h a função definida por: Define a função h´ e representa graficamente as funções h e h´.

25. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376 • 376. • Seja f a função definida por: Caracteriza f´e representa graficamente f e f´