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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Tema 8 * 2º B CS. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. Tema 8.1 * 2º B CS. ENTORNO DE UN PUNTO. INTERVALO Y ENTORNO Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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  1. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS Apuntes 2º Bachillerato CS

  2. MONOTONÍA:CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Tema 8.1 * 2º B CS Apuntes 2º Bachillerato CS

  3. ENTORNO DE UN PUNTO • INTERVALO Y ENTORNO • Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. • Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b • Sea un intervalo abierto (a, b) en R. • Representa el conjunto de valores tales que a < x < b • Sea el entorno cerrado E[a, r] en R. • Representa el conjunto de valores tales que (a – r) ≤ x ≤ (a + r) • Sea el entorno abierto E(a, r) en R. • Representa el conjunto de valores tales que (a – r) < x < (a + r) • El intervalo [-2, 2] representa lo mismo que el entorno E[0, 2]. • El intervalo (-1, 5] representa lo mismo que el entorno E(2, 3). • Cuando lo que interesa de una función es su comportamiento en las cercanías de un punto de su dominio se emplea el entorno. Apuntes 2º Bachillerato CS

  4. MONOTONÍA • CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO • Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x=a. • f(x) es creciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: • f(a) < f(x) • en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). • f(a) > f(x) • en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). • f(x) es decreciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: • f(a) > f(x) • en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). • f(a) < f(x) • en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). Apuntes 2º Bachillerato CS

  5. Gráfico f(a+r) f(a) f(a-r) f(b-r) f(b) f(b+r) En x=a la función es creciente En x=b la función es decreciente 0 a-r a a+r b-r b b+r Apuntes 2º Bachillerato CS

  6. MONOTONÍA • TEOREMA • Sea f una función definida en (a , b) y xo perteneciente a (a , b). Entonces: • Si f ’(xo) > 0, la función es estrictamente creciente en x=xo. • Si f ’(xo) < 0, la función es estrictamente decreciente en x=xo. • TEOREMA • Si f ’(x) > 0, donde x pertenece al intervalo (a , b), entonces: • f(x) es estrictamente creciente en (a , b). • Si f ’(x) < 0, donde x pertenece al intervalo (a , b), entonces: • f(x) es estrictamente decreciente en (a , b). Apuntes 2º Bachillerato CS

  7. Ejemplos • EJEMPLO 1 • Sea la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 • Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 ) • Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ • Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) • Los intervalos a estudiar son: • (-oo, -2) , (-2, 1) y (1, +oo) • En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. • En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. • En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Apuntes 2º Bachillerato CS

  8. Ejemplos • EJEMPLO 2 • Sea la función: y = x / (x – 1) • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. • Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1)2 • Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1)2 • Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. • Intervalos: • En ( - oo, 1)  y ` (0) = - 1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. • En ( 1, + oo)  y `(2) = -1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Apuntes 2º Bachillerato CS

  9. Ejemplos • EJEMPLO 3 • Sea la función: y = 2 / (x2 – 4) • Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. • Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x2 – 4)– 2.2x] / (x2 – 4)2 • Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x2 – 4)2 • Hacemos y’ = 0  x = 0 • En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. • Intervalos: • En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. • En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. • En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. • En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Apuntes 2º Bachillerato CS

  10. Ejemplos • EJEMPLO 4 • Sea la función: y = ln (x – x2) • Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. • Hallamos el dominio de dicha función: • x – x2 >0 x.(1 – x) > 0 Producto positivo • 1.- x > 0 y 1 – x > 0  0 < x < 1 Es una solución. • 2.- x < 0 y 1 – x < 0  x < 0 y x > 1 No hay otra solución • Dom f(x) = (0 , 1) • Hallamos su derivada: y ‘ = (1 – 2.x) / (x – x2) • y ‘ = 0  1 – 2.x = 0  x = ½ • Los intervalos son: (0 , 0,5) y (0,5 , 1) • y’ (0,25) = (1 – 0,5) / (0,25 – 0,252) = 0,5 / (0,25 – 0,0625) > 0 • Creciente en (0 , 0,5) • y’ (0,75) = (1 – 0,75) / (0,75 – 0,752) = 0,25 / (0,75 – 0,8059) < 0 • Decreciente en (0,5 , 1) Apuntes 2º Bachillerato CS

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