DERIVADAS DE OPERACIONES DÍA 44 * 1º BAD CT

1. DERIVADAS DE OPERACIONESDÍA 44 * 1º BAD CT

2. DERIVADA DE LA SUMA • Sea y = f(x)+g(x) • Aplicando la definición de derivada: • f(x + x) + g(x + x) ‑ f(x) ‑ g(x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = • x0 x • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------- + ------------------------ = • x0 x x • f(x + x) - f(x) g(x + x) ‑ g(x) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- + lím ------------------------ = • x0 x x0 x • y’ = f ’(x) + g ‘(x)

3. DERIVADA DEL PRODUCTO • Sea y = f(x). g(x) • Aplicando la definición de derivada: • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x). g(x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------ = • x0 x • Sumamos y restamos f(x).g(x+x) al numerador, quedando: • f(x + x). g(x + x) ‑ f(x) . g(x) + f(x).g(x+x) - f(x).g(x+x) • = lím ‑‑------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------------------------------------------------------------- • x 0 x • Sacando factor común : • [f(x + x) - f(x)]. g(x + x) + [g(x + x) - g(x)]. f(x ) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------------------------------------------------- • x0 x • f(x + x) - f(x) g(x + x) - g(x) • = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---- g(x + x) + lím ---------------------- f(x) = • x0 x x0 x • y ’ = f ‘(x) . g(x) + f(x) . g ’(x)

4. DERIVADA DE LA INVERSA • Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: • k. f(x + x) - k.f(x) k. [f(x + x) - f(x)] • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x) • x0 x x0 x • Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: • 1 / f(x + x) - 1 / f(x) f(x) - f(x + x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------- = lím ---------------------------- = • x0 x x0 f(x). f(x + x). x • - [f(x + x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----- . ------------------- = - f ‘(x). ---------- = ------- • x0 x f(x). f(x + x) f(x).f(x) f 2(x)

5. DERIVADA DE LA DIVISIÓN • Sea y = g(x) / f(x) • Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: • g ’(x) - f ‘(x) • y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- • f(x) f 2 (x) • y sacando mínimo común múltiplo resulta: • g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) • y ‘ = ------------------------------------- • f 2 (x)

6. OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS • Sea y = √x • Siempre se puede poner previamente como y = x1/2 • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: • y ’ = 1 / 2√x • Sea y = 1 / x • Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 • Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: • y ’ = – 1/ x2 • Sea y = 1 / f (x) • Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: • y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) • Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.

7. DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA • Sea y = Ln x • Aplicando la definición de derivada: • Ln (x + x) - Ln x 1 • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = ----- • x0 x x • Sea y = log x • Se procede a un cambio de base: 10y = x  y = Ln x / Ln 10 • 1 1 • y ' = -------- . ---- • Ln 10 x • En general, sea y = loga x • Se procede a un cambio de base: ay = x  y = Ln x / Ln a • 1 1 • y ' = ------- . ---- • Ln a x

8. Derivada del logaritmo de una función • Sea y = Ln f(x) • Aplicando la definición de derivada: • Ln f(x + x) - Ln f(x) f ‘ (x) • y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------- = -------------- • x0 x f (x) • Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. • Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. • Sea y = log f(x) o y = loga f(x) • Aplicando un cambio de base: f(x) = 10y y = Ln f(x) / Ln 10 • Aplicando un cambio de base: f(x) = ay y = Ln f(x) / Ln a • 1 f ‘ (x) 1 f ‘ (x) • y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- • Ln 10f(x) Ln a f (x)

9. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL • Sea y = ex la llamada función exponencial. • Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln ex = x. Ln e = x • Derivando: • D(Ln y) = D( ln f (x) ) = f ’(x) / f (x) como ya hemos visto. • y ‘ / y = 1  y ‘ = y . 1 = y y ‘ = ex • La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. • Sea y = ax , donde a es siempre un número real y positivo. • Tomando logaritmos: Ln y = x. Ln a ; y derivamos ... • y ‘ / y = [ 1. Ln a + x. 0] ; y ‘ = y . Ln a y ‘ = ax. Ln a

10. Sea y = af(x) , donde a es siempre un número real y positivo. • Tomando logaritmos: Ln y = f(x). Ln a ; y derivamos ... • y ‘ / y = [ f ‘ (x). Ln a + f(x). 0] ; y ‘ = y . [ f ‘ (x).Ln a ]  • f(x) •  y ‘ = a . f ‘ (x). Ln a • g(x) • Sea y = f (x) , función POLINÓMICO-EXPONENCIAL • Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos ... • y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  • y ‘ = y . [ … ]  • g(x) • y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ]

11. DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS • Como hemos visto las razones trigonométricas están relacionadas entre sí. Ello hace que sólo tengamos que saber las derivadas de las dos primeras: • Sea y = sen x  y ‘ = cos x • Sea y = cos x  y ‘ = - sen x • Al poder poner y = tg x como y = sen x / cos x , para derivarla la trataremos como una división de funciones. • Y del mismo modo el resto de funciones trigonométricas. • Sea y = sen f(x)  y ‘ = cos f(x) . f ’ (x) • Sea y = cos f(x)  y ‘ = - sen f(x) . f ’ (x) • Sea y = Ln sen x  y ‘ = cos x / sen x • Sea y = Ln cos x  y ‘ = - sen x / cos x

12. REGLA DE LA CADENA • Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x)) • Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. • Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) • Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) • Ejemplos • Sea y = sen7 x = ( sen x )7  Es una función polinómica. • y ‘ = 7.( sen x ) 6 . cos x • Sea y = sen x7 Es una función trigonométrica. • y ‘ = cos x 7 . 7. x 6