200 likes | 397 Views
Označeni elementi v označene (lahko prazne) celice. Že vemo, da lahko n označenih elementov postavimo v r označenih celic na r n načinov. [Iz vreče jemljemo celice A, B, C, ... (s ponavljanjem) in jih postavljamo v vrsto ob n označenih elementov: 1, 2, ..., n].
E N D
Označeni elementi v označene (lahko prazne) celice • Že vemo, da lahko n označenih elementov postavimo v r označenih celic na rn načinov. • [Iz vreče jemljemo celice A, B, C, ... (s ponavljanjem) in jih postavljamo v vrsto ob n označenih elementov: 1, 2, ..., n]
Označeni elementi v označene neprazne celice • V tem primeru najprej porazdelimo n označenih elementov na S(n,r) načinov v r neoznačenih, nepraznih celic, le-te pa potem uredimo na P(r) = r! načinov. • Odgovor: n označenih elementov lahko porazdelimo v r označenih, nepraznih celic na • r! . S(n,r) načinov.
Neoznačeni elementi v neoznačene neprazne celice • Te porazdelitve so ekvivalentne razbitjem števila n na vsote pozitivnih naravnih števil: • n = n1 + n2 + ... + nr, n1≥ n2≥ ... ≥ nr≥ 1. • Oznaka: Število porazdelitev n neoznačenih elementov v r neoznačenih, nepraznih celic označimo s p(n; r). • p(n; r) – število zapisov naravnega števila n v obliki vsote r pozitivnih členov.
Ferrersov diagram • Zgled: 15 = 7 + 3 + 2 + 2 + 1 • Ferrersov diagram:
Število razbitij p(n) števila n • p(n) je število vseh razbitij števila n. • p(n) = p(n;r) = p(n;1) + p(n;2) + ... + p(n;n). • Nekaj zvez: • p(n;1) = 1 • p(n;n) = 1 • p(n;k) = 0, k > n. • p(n;k) = p(n-k;1) + p(n-k;2) + ... + p(n-k;k)
Dokaz zadnje vrstice • n = n1 + n2 + ... + nk, n1≥ n2≥ ... ≥ nk≥ 1 • n - k = (n1 – 1) + (n2 – 1) + ... + (nk - 1), • (n1 – 1)≥ (n2 – 1)≥ ... ≥ (nk – 1) ≥ 0. • Pravilo vsote! • Posledica: • p(n;k) = p(n-k;k) + p(n-1;k-1)
Oceni • Za p(n;k) velja ocena: • Za p(n) pa Hardy-Ramanujanova ocena:
Naloga • Predstavi p(n;k) v obliki trikotne tabele za n = 1, 2, ... , 20, k = 1, 2, ... , n. • Dodaj še vrstico za p(n), n = 1, 2, ... 20. • Uporabi oceni iz prejšnje prosojnice za izdelavo podobne trikotne tabele. Tabeli primerjaj. • Oceno za p(n) lahko dobimo na dva načina: Hardy-Ramanujanova ocena in s seštevanjem ocen za p(n;k). Dobljeni oceni primerjaj z eksaktnimi vrednostmi.
Izrek • Izrek: Število razbitij števila n v katerih je največji člen enak k je enako p(n;k). • Dokaz: S Ferrersovim diagramom in pravilom enakosti.
Neoznačeni elementi v neprazne označene celice • Naj bo n elementov in r celic. Celice so neprazne: • Med n enakih krožcev v vrsti potegnemo r-1 črt, ki določajo porazdelitev. Dve zaporedni črti ne smeta biti sosedni. • o o | o | o o o | o o (n = 8, r = 4). • To lahko storimo na C(n-1,r-1) načinov. [namesto o | pišemo npr. + in zbrišemo zadnji krožec] • o + + o o + o [n-r krožcev in r-1 znakov +]
Neoznačeni elementi v označene celice • Naj bo n elementov in r celic. Celice so lahko tudi prazne: • Med n enakih krožcev v vrsti potegnemo r-1 črt, ki določajo porazdelitev. Dve zaporedni črti sta lahko sosedni. • o o | | o o o o | o o (n = 8, r = 4). • To lahko storimo na C(n + r - 1,r - 1) načinov.
Porazdelitev elementov sestave (p1, p2, ... , pk ) • Naj bo n = p1 + p2 + ... + pk število elementov. Elementov tipa pi ne ločimo med seboj. Porazdeliti jih moramo v r (lahko praznih) celic. • Razmišljamo za vsak tip posebej: C(pi + r –1, pi). Ker so izbire med seboj neodvisne, je končni rezultat: • C(p1 + r –1, p1) C(p2 + r –1, p2) ... C(pk + r –1, pk)
Permutacije • Kot vemo, je permutacija p bijektivna preslikava množice A nase: p: A A. Kot vemo, lahko premutacije komponiramo in sestavljajo grupo SA, ki ima n! elementov, pri čemer je n = |A|. • Permutacijo lahko na en sam način zapišemo kot produkt disjunktnih ciklov.
Zapis permutacije s cikli 1 • Zgled: • p(1) = 2, p(2) = 6, • p(3) = 5, p(4) = 4, • p(5) = 3, p(6) = 1. • Permutacijo zapišemo v obliki disjunktnih ciklov: • p = (1,2,6)(3,5)(4) 6 2 3 5 4
Permutacije tipa (d1, d2, ... , dn ) Naj di pove, koliko ciklov dolžine i ima permutacija p. Tedaj pravimo, da je p permutacija tipa (d1, d2, ... , dn ). • Tedaj velja: 1d1 + 2d2 + ... + ndn = n • Množico vseh permutacij tipa (d1, d2, ... , dn ) označimo s P(A;d1, d2, ... , dn ). Ker je v tem zapisu veliko ničel, ga skrajšamo v obliko formalnega produkta takole: • (d1, d2, ... , dn ) = 1d12d2, ... , ndn . • Pri tem faktorje z ničlami v eksponentu spustimo.
Število permutacij danega tipa • P(n; d1, d2, ... , dn ) = n!/(d1! d2! ... , dn ! 1d1 2d2 ... ndn ) • Zgled: Naša permutacija ima tip 112131 tip • Vseh permutacij tega tipa je: P(6;1,1,1,0,0,0) = 6!/(1!1!1! 112131) = 6.5.4.3.2.1/(2.3) = 6.5.4= 120.
Izbori - rekapitulacija • Pri izborih n elementov reda r imamo naslednje možnosti: