1 / 28

Modellierung von Zellstrukturen

Modellierung von Zellstrukturen. Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren. Modellierung von Zellstrukturen. Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität. 15 Unbekannte:  x  y  z  xy  xz  yz  x  y  z  xy  xz  yz u v w.

jin
Download Presentation

Modellierung von Zellstrukturen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Modellierung von Zellstrukturen Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Modellierung von Zellstrukturen

  2. Modellierung von Zellstrukturen Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Modellierung von Zellstrukturen

  3. Mathematische Ansätze • stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen • 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen • 6 Materialgleichungen Modellierung von Zellstrukturen

  4. F F a b Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen Virtueller Schnitt Modellierung von Zellstrukturen

  5. Stoffunabhängige Gleichungen F dFn dF dFt Gleichgewichtsgleichungen Normalspannungen =dFn/dA dA Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Modellierung von Zellstrukturen

  6. Stoffunabhängige Gleichungen z zy zx yz xz y xy yx x Gleichgewichts- gleichungen Modellierung von Zellstrukturen

  7. Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Modellierung von Zellstrukturen

  8. Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Modellierung von Zellstrukturen

  9. Modellierung von Zellstrukturen In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Modellierung von Zellstrukturen

  10. Modellierung von Zellstrukturen Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen: x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

  11. Modellierung von Zellstrukturen xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0 xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0 yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Modellierung von Zellstrukturen

  12. Modellierung von Zellstrukturen In den Beltrami-Gleichungen sind: x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2 y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2 z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Modellierung von Zellstrukturen

  13. Stoffunabhängige Gleichungen S-  ü= 0 Spannungstensor Bechleunigungsvektor Modellierung von Zellstrukturen

  14. Stoffunabhängige Gleichungen • Tensordarstellung: • x xy xz • S = yx y yz • zx zy z Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez+ zez SSpannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

  15. Modellierung von Zellstrukturen 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Modellierung von Zellstrukturen

  16. Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Modellierung von Zellstrukturen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Modellierung von Zellstrukturen

  17. Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Modellierung von Zellstrukturen u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Modellierung von Zellstrukturen

  18. u(x+dx,y,dy,z) D u(x,y+dy,z) u(x+dx,y,z) A A1 B1 u(x,y,z) Modellierung von Zellstrukturen C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Modellierung von Zellstrukturen

  19. Kinematisches Gleichgewicht x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Modellierung von Zellstrukturen

  20. Kompatibilitäts- bedingung: iklm= 0 Modellierung von Zellstrukturen Riemann Tensor 4. Stufe Modellierung von Zellstrukturen

  21. Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren Modellierung von Zellstrukturen σ 5 4 3 2 1 6 7 ε Modellierung von Zellstrukturen

  22. Stoffgesetze: Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

  23. Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungstensor Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

  24. plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Modellierung von Zellstrukturen

  25. viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Modellierung von Zellstrukturen Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Modellierung von Zellstrukturen

  26. Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel: Nichtlinear, anisotrop, inhomogen Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen Modellierung von Zellstrukturen Zellen sind dynamische Systeme Aggregationsprozesse Dis Modellierung von Zellstrukturen

  27. Modellierung von Zellstrukturen Zellen, Zellstrukturen  dynamische Strukturen Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix Frequenzabhängige Materialeigenschaften Versuche zwingend erforderlich Modellierung von Zellstrukturen

  28. Modellierung von Zellstrukturen Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Modellierung von Zellstrukturen

More Related