Modellierung von Mehrkörpersystemen

1. In dieser Vorlesung werden einige spezielle Probleme behandelt, die die Modellierung komplexer mechanischer Systeme begleiten. Es wird erklärt, wie diese Probleme in Dymola angegangen worden sind. Insbesondere wird die Wahl der Zustandsvariablen und der Konnektoren erläutert. Es wird aufgezeigt, wie Matrizenkalkül es ermöglicht, die Definitionen äusserst kompakt zu halten. Modellierung von Mehrkörpersystemen

2. Mehrkörpersysteme Wahl der Zustandsvariabeln Kinematische Schleifen Mechanische Konnektoren Mechanische Körper Mechanische Gelenke Beispiel Übersicht

3. Ein Mehrkörpersystem besteht aus einer Kombination mechanischer Teile, die miteinander verbunden sind und sich im dreidimensionalen Raum bewegen. Was ist ein Mehrkörpersystem? Hmm! Vielleicht noch nicht das allerschnittigste Modell… aber Abstraktion ist ja schliesslich alles.

4. Bisher wurden bei den mechanischen Systemen, die wir betrachtet haben, die Differentialgleichungen immer mit den Massen gekoppelt. Dies schien sinnvoll zu sein, da das D’Alembert’sche Prinzip ja für die einzelnen Massen definiert werden muss. Eine Masse, die fest mit der Erde (d.h. mit dem Inertialsystem) verankert ist, führt aber nicht zu Differentialgleichungen. Differentialgleichungen gibt es erst, wenn sich die Masse relativ zum Inertialsystem bewegt. Somit mag es sinnvoller sein, die Integratoren mit den Relativbewegungen zwischen Körpern zu identifizieren. Dies wurde in der Mehrkörpersystembibliothek (MKS Bibliothek)von Dymola auch so implementiert. In der MKS Bibliothek werden die Relativpositionen und Relativgeschwindigkeiten zwischen miteinander verbundenen Körpern als Zustandsvariabelndefiniert. Die Wahl der Zustandsvariablen

5. Bei der getroffenen Wahl der Zustandsvariablen ergeben sich keine strukturellen Singularitäten bei Mehrkörper-systemen in Baumstruktur. Bei kinematisch geschlossenen Schleifen ergeben sich strukturelle Singularitäten, da solche Strukturen weniger Freiheitsgrade aufweisen als Verbindungen zwischen benachbarten Körpern. Man denke zum Beispiel ans Scherengitter, welches nur einen Freiheitsgrad aufweist. y x Kinematisch geschlossene Schleifen Strukturelle Singularitäten I

6. Um die strukturellen Singularitäten zu vermeiden, wird eines der Gelenke bei jeder kinematisch geschlossenen Schleife als Schneidegelenk (“cut joint”) definiert. Schneidegelenke definieren keine Integratoren und vermeiden dadurch die Einführung struktureller Singularitäten. Dies ist effizienter, als sich auf den Pantelides Algorithmus zu verlassen. Strukturelle Singularitäten II y x Schneidegelenke

7. Geschlossene kinematische Schleifen führen unweigerlich auch zu bösen algebraischen Schleifen in den resultierenden Gleichungssystemen. Diese sind normalerweise sehr gross, da sie sich über alle Variablen der kinematischen Schleife erstrecken. Das automatische Auffinden geeigneter Schneide-variablen ist teuer und ineffizient. Die Schneidegelenke von Dymola enthalten An-weisungen, die es dem Schneidealgorithmus er-möglichen, schnell geeignete Schneidevariablen zu ermitteln. Algebraische Schleifen constrain(q, qd, qdd)

8. Die MKS Bibliothek stellt sich auf den Standpunkt, dass die Position eines Körpers (und damit auch dessen Geschwindigkeit und Beschleunigung) ein Potential darstellt, während die Kräfte, die auf den Körper einwirken, als Flussgrössen angesehen werden. Das Inertialsystem definiert somit die Potentialgrössen und setzt sie zu null (entsprechend dem elektrischen Potential beim elektrischen Erdknoten). xy z q = 0 qd = der(q) = 0 qdd = der(qd) = 0 z q = y x Wahl der Potential- und Flussgrössen 

9. Wegen der Vorzeichenkonventionen muss immer ein ungefülltes Ausgangsframe ( ) zu einem gefüllten Eingangsframe ( ) ver-bunden werden. Mechanische Konnektoren connectorFrame Positionr0[3] "Abstand des Frames vom Inertialsystem"; RealS[3, 3]"Transformationsmatrixdes Frames zum Inertialsystem"; Velocityv[3]"Absolute Geschwindigkeitdes Frames"; AngularVelocityw[3]"Absolute Winkelgeschwindigkeitdes Frames"; Accelerationa[3]"Absolute Beschleunigungdes Frames"; AngularAccelerationz[3] "Absolute Winkelbeschleunigungdes Frames"; flowForcef[3] "Am Frame angreifende Kraft"; flowTorquet[3] "Am Frame angreifendes Drehmoment"; endFrame;

10. Mechanische Körper definieren das D’Alembert Prinzip für die angreifenden Kräfte und Drehmomente. rCM Frame Schwerpunkt Die Koordinaten des Frames werden zunächst auf den Schwerpunkt umgerechnet. Die resultierenden Kräfte f und Drehmomente t werden schliesslich mittels Relativbewegung unter Einführung der dazugehörigen Zentripetal- und Corioliskräfte auf den Frame zurücktransformiert. Mechanische Körper I modelBodyBase"Inertia and mass properties of a rigid body"; extendsFramea; Massm; PositionrCM[3]"Distance from frame to center of gravity"; InertiaI[3, 3]; equation f = m*(a + cross(z, rCM) + cross(w, cross(w, rCM))); t = I*z + cross(w, I*w) + cross(rCM, f); endBodyBase; Das D’Alembert’sche Prinzip wird sodann für den Schwerpunkt formuliert.

11. modelBody"Rigid body with one cut"; extendsFrame_a; parameterPositionrCM[3]={0,0,0} "Vector from frame_a to center of mass, resolved in frame_a; parameterMassm=0"Mass of body [kg]"; parameterInertiaI11=0"(1,1) element of inertia tensor"; parameterInertiaI22=0"(2,2) element of inertia tensor"; parameterInertiaI33=0"(3,3) element of inertia tensor"; parameterInertiaI21=0"(2,1) element of inertia tensor"; parameterInertiaI31=0"(3,1) element of inertia tensor"; parameterInertiaI32=0"(3,2) element of inertia tensor"; BodyBasebody; equation connect (frame_a, body.frame_a); body.m = m; body.rCM = rCM; body.I = [I11, I21, I31; I21, I22, I32; I31, I32, I33]; end Body Mechanische Körper II

12. modelBody"Rigid body with one cut"; extendsFrame_a; parameterPositionrCM[3]={0,0,0} "Vector from frame_a to center of mass, resolved in frame_a; parameterMassm=0"Mass of body [kg]"; parameterInertiaI11=0"(1,1) element of inertia tensor"; parameterInertiaI22=0"(2,2) element of inertia tensor"; parameterInertiaI33=0"(3,3) element of inertia tensor"; parameterInertiaI21=0"(2,1) element of inertia tensor"; parameterInertiaI31=0"(3,1) element of inertia tensor"; parameterInertiaI32=0"(3,2) element of inertia tensor"; BodyBasebody; equation connect (frame_a, body.frame_a); body.m = m; body.rCM = rCM; body.I = [I11, I21, I31; I21, I22, I32; I31, I32, I33]; end Body Information übernommen von Typendeklaration Mechanische Körper III

13. Koordinaten-transformation Frame a  Frame b  Körper berechnet relativ zu Frame a Körper mit mehr als zwei Gelenken müssen mit zusätzlichen „Frame Translationen“ selbst gebaut werden. Solche Elemente sind in der MKS Bibliothek nicht als Festbausteine vorhanden. Mechanische Körper IV

14.  Geometrie für die Animation. Geometrie für die Berechnung von Masse und Trägheitsmomenten (nicht graphisch dargestellt, da mittels Gleichungen erfasst). Mechanische Körper V

15. modelBoxBody"Rigid body with box shape (also used for animation)" extendsMultiBody.Interfaces.TwoTreeFrames; parameterSIunits.Positionr[3]={0.1,0,0}"Vector from frame_a to frame_b, resolved in frame_a"; parameterSIunits.Positionr0[3]={0,0,0}"Vector from frame_a to left box plane, resolved inframe_a"; parameterSIunits.PositionLengthDirection[3]=r - r0"Vector in length direction, resolved in frame_a"; parameterSIunits.PositionWidthDirection[3]={0,1,0}"Vector in width direction, resolved in frame_a"; parameterSIunits.LengthLength=(sqrt((r - r0)*(r - r0)))"Length of box"; parameterSIunits.LengthWidth=0.1"Width of box"; parameter SIunits.LengthHeight=0.1"Height of box"; parameterSIunits.LengthInnerWidth=0"Width of inner box surface"; parameterSIunits.LengthInnerHeight=0"Height of inner box surface"; parameterReal rho=7.7"Density of box material [g/cm^3]"; parameterRealMaterial[4]={1,0,0,0.5}"Color and specular coefficient"; SIunits.Massmo, mi; Real Sbox[3, 3]; SIunits.Lengthl, w, h, wi, hi; FrameTranslationframeTranslation(r=r); MultiBody.Interfaces.BodyBasebody; VisualShapebox(Shape="box", r0=r0, LengthDirection=LengthDirection, WidthDirection=WidthDirection, Length=Length, Width=Width, Height=Height, Material=Material); Mechanische Körper VI

16. equation connect(body.frame_a, frame_a); connect(frame_a, frameTranslation.frame_a); connect(frameTranslation.frame_b, frame_b); box.S = Sa; box.r = r0a; box.Sshape = Sbox; l = Length; w = Width; h = Height; wi = InnerWidth; hi = InnerHeight; /*Mass properties of box*/ mo = 1000*rho*l*w*h; mi = 1000*rho*l*wi*hi; body.m = mo - mi; body.rCM = r0 + l/2*box.nLength; body.I = Sbox*diagonal({mo*(w*w + h*h) - mi*(wi*wi + hi*hi),mo*(l*l + h*h) - mi*(l*l + hi*hi),mo*(l*l + w*w) - mi*(l*l + wi*wi)}/12)*transpose(Sbox); endBoxBody Mechanische Körper VII

17. model Prismatic"Prismatic joint (1 degree-of-freedom, used in spanning tree)" extendsMultiBody.Interfaces.TreeJoint; parameterReal n[3]={1,0,0} "Axis of translation resolved in frame_a (= same as in frame_b)"; parameter SIunits.Positionq0=0 "Relative distance offset(see info)"; parameter BooleanstartValueFixed=false "true, if start values of q, qd are fixed"; SIunits.Positionq(final fixed=startValueFixed); SIunits.Velocityqd(final fixed=startValueFixed); SIunits.Accelerationqdd; SIunits.Positionqq; Realnn[3]; SIunits.Velocityvaux[3]; Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_a axis; Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_b bearing; Anschlüsse für Dämpfer Frame a Frame b connectorModelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_b SIunits.Positions"absolute position of flange"; flow SIunits.Forcef"cut force directed into flange"; endFlange_b; Mechanische Gelenke I

18. equation axis.s = q; bearing.s = 0; // define states qd = der(q); qdd = der(qd); /*normalize axis vector*/ nn = n/sqrt(n*n); /*kinematic quantities*/ S_rel = identity(3); qq = q - q0; r_rela = nn*qq; v_rela = nn*qd; a_rela = nn*qdd; w_rela = zeros(3); z_rela = zeros(3); /* Transform the kinematic quantities from frame_a to frame_b and theforce and torque acting at frame_b to frame_a (= general equations of a "TreeJoint" specialized to this class). */ Sb = Sa; r0b = r0a + Sa*r_rela; vaux = cross(wa, r_rela); vb = va + v_rela + vaux; wb = wa; ab = aa + a_rela + cross(za, r_rela) + cross(wa, vaux + 2*v_rela); zb = za; fa = fb; ta = tb + cross(r_rela, fa); // d'Alemberts principle axis.f = nn*fb; endPrismatic Mechanische Gelenke II

19. Die Kausalität der Gleichungen hängt ab vom gestellten Problem. Beim direkten Problem (dem Simulationsproblem) sind die Kräfte und Drehmomente gegeben, während die Bewegung gesucht wird. Beim inversen Problem (dem Planungsproblem) sind die gewünschten Bewegungen vorbestimmt, während die Kräfte und Drehmomente, die eingesetzt werden müssen, um die gewünschten Bewegungen zu erzielen, gesucht sind. Kausalitäten I

20. Die Effizienz des erzeugten Codes hängt sehr stark von der Formulierung der Gleichungen ab. Kleine Änderungen der Formulierung können die Effizienz so verändern, dass die Anzahl resultierender Gleichungen am Ende entweder linear mit der Anzahl Körper steigt oder mit deren vierter Potenz. Aus diesem Grund verlässt sich die MKS Bibliothek nicht auf die automatische Umwandlung der Gleichungen unter Verwendung des Pantelides Algorithmus und der Heuristiken zur Ermittlung kleiner Sätze von Schnitt-variablen. Kausalitäten II

21. Die Matrizenschreibweise, die bisher verwendet wurde, ist zwar sehr elegant und kompakt und darum gut geeignet für den Unterhalt der MBS Bibliothek, sie eignet sich aber nicht für das automatische Umformen der Gleichungen. Aus diesem Grund werden in Modelica alle Matrizengleichungen vor der Ermittlung der Kausalität symbolisch expandiert. Kausalitäten III

22. Ein Beispiel I

23. Ein Beispiel II

24. Schneidegelenk Kinematische Schleife Ein Beispiel III

25. Gleichungen nach Explosion der Matrizenausdrücke Elimination von Trivialgleichungen der Art: a = b Gleichungen, die nach der Umformung übrig bleiben. Ein Beispiel IV

26. Ein Beispiel V

27. Otter, M., H. Elmqvist, and F.E. Cellier (1996), “Modeling of Multibody Systems with the Object-Oriented Modeling Language Dymola,” J. Nonlinear Dynamics, 9(1), pp.91-112. Referenzen