Základy matematiky

1. Základy matematiky Mgr. Marie Mikolášová

2. Přehled číselných oborů • N obor přirozených čísel {1, 2, 3, 4,...} • N0 obor nezáporných celých čísel {0, 1, 2, 3, ...} • Z obor celých čísel {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, • Q obor racionálních čísel {... 0,231; -125,2; ; ; ...} • R obor reálných čísel {... 0,231; -125,2; ; - ; 0 , ...} • C obor komplexních čísel

3. Inkluze číselných množin • Platí tyto inkluze: R N Q Z

4. Přirozená čísla • Přirozená čísla vyjadřují počet prvků konečných neprázdných množin popř. pořadí prvků v uspořádaných n-ticích. • Dělitelnost v oboru přirozených čísel, kritéria dělitelnosti (dělitelnost 2,3,4,5,6,9, 10, 25) • Pojem prvočísla, čísla složeného • Rozklad na prvočísla • Nejmenší společný násobek, největší společný dělitel • Obor přirozených čísel N je uzavřen vzhledem k operacím sčítání a násobení, tzn. výsledkem těchto operací je opět přirozené číslo.

5. Celá čísla • Umožňují vyjádřit nejen počty prvků konečných množin, ale i změny těchto počtů (přírůstky a úbytky) • Pojem opačného čísla • Čísla soudělná a nesoudělná • Obor celých čísel je uzavřen vzhledem k operaci sčítání, odčítání, není uzavřen vzhledem k operaci dělení

6. Racionální čísla • Racionální čísla vyjadřují navíc počet dílů nějakého celku • Racionální číslo je každé reálné číslo, které lze psát ve tvaru zlomku p/q, kde p je číslo celé, q číslo přirozené • Základní tvar racionálního čísla • Každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru konečného nebo nekonečného periodického desetinného rozvoje • Obor racionálních čísel je uzavřený k operaci sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem

7. Reálná čísla • Reálná čísla – označují velikost úseček • Reálná čísla – čísla racionální a iracionální • Pojem iracionálního čísla - ,π, log 5, sin 35° atd. • Jsou zapsána neukončeným neperiodickým desetinným rozvojem • V oboru R jsou proveditelné operace sčítání, odčítání, násobení, dělení (nelze dělit 0), odmocnění kladných čísel

8. Absolutní hodnota reálného čísla • Označení • Definice • pro a≥0 • pro a≤0 • Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla a od 0 na číselné ose • Geometrický význam - vyjadřuje vzdálenost obrazů čísel a, b na číselné ose

9. Intervaly • Množiny reálných čísel, jejichž obrazy na číselné ose tvoří • Úsečku • Polopřímku • Celou číselnou osu • Dělíme je na intervaly • Omezené • Neomezené

10. Intervaly omezené • Uzavřený interval a≤x≤b • Zleva uzavřený interval a≤x<b • Zprava uzavřený interval a<x≤b • Otevřený interval (a,b) a<x<b

11. Intervaly neomezené • Zleva i zprava otevřený (-∞,a) x<a • Zleva otevřený, zprava uzavřený ( x≤a • Zleva i zprava otevřený x>a • Zleva uzavřený, zprava otevřený x≥a

12. Algebraické výrazy • Pojem algebraického výrazu • Pojem mnohočlenu jedné proměnné • Koeficienty mnohočlenu • Členy mnohočlenu • Stupeň mnohočlenu n

13. Operace s mnohočleny • Sčítání mnohočlenů • Odčítání mnohočlenů • Násobení mnohočlenu jednočlenem • Násobení mnohočlenu mnohočlenem

14. Základní vzorce

15. Mocniny s celočíselným exponentem • Mocniny s přirozeným exponentem n N • Mocnina s nulovým exponentem a0 = 1 a≠0 • Mocniny se záporným exponentem a≠0

16. Věty pro počítání s mocninami • Předpoklady: a, b ≠0, r, s Z

17. Mocniny s racionálním exponentem • Definice • Pro a>0, m celé číslo, n přirozené číslo • Pro počítání s mocninami s lomeným exponentem platí stejné věty jako pro počítání s celočíselným exponentem • Předpoklad: a, b >0

18. Funkce • Definice reálné funkce reálné proměnné x • Definiční obor funkce • Obor hodnot funkce • Graf funkce • Zadání funkce • Rovnicí • Grafem • Tabulkou • Slovním předpisem

19. Základní vlastnosti funkcí • Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí neklesající • Funkce sudá, lichá • Funkce shora (zdola) omezená • Maximum, minimum funkce na intervalu • Funkce periodická

20. Lineární funkce • Funkce určená rovnicí y = ax + b, • Df =R • Graf – přímka nebo její část • a – směrnice přímky • b – úsek, který přímka vytíná na ose y

21. Graf lineární funkce

22. Graf lineární funkce

23. Kvadratická funkce • Funkce určená rovnicí y = ax2 + bx + c, • Grafem je parabola s osou o || y • Průsečík osy o s parabolou – vrchol

24. Graf kvadratické funkce

25. Graf kvadratické funkce

26. Lineární lomená funkce • Je určena rovnicí • Grafem je rovnoosá hyperbola • Střed hyperboly • Asymptoty procházejí středem a jsou rovnoběžné s osami x, y

27. Graf lineární lomené funkce

28. Exponenciální funkce • Funkce určená rovnicí y=ax , a>0 • Df =R, Hf =(0,+∞)

29. Logaritmická funkce • Je určena rovnicí y=logax • Df =(0,+∞), Hf =R

30. Logaritmická funkce

31. Funkce sinus • Je určena rovnicí y = sin x • Df=R, Hf = <-1;1>

32. Funkce cosinus • Je určena rovnicí y = cosx • Df =R, Hf =<-1,1>

33. Funkce tangens • Určena rovnicí y = tgx • Df ; • Hf =R

34. Graf funkce y= tgx

35. Funkce cotangens • Určena rovnicí y = cotgx • Df ; • Hf = R

36. Graf funkce y = cotgx