Probabilités : axiomes et formules

1. Probabilités :axiomes et formules Cours ‘ Interprétation de la preuve ’ (3b)

2. Peut-on se passer de calculs de probabilités en sciences forensiques ? La réponse est claire : non, pour deux raisons. Le calcul des probabilités a des applications directes (il suffit de citer la génétique des populations). (1) C’est la base théorique nécessaire au scientifique qui, dans l’estimation, identifie des modèles probabilistes et, (2) dans les tests, en compare plusieurs pour en choisir un.

3. La notion de probabilité La vision fréquentiste repose sur la loi des grands nombres, établie pour la première fois par J. Bernoulli en 1713, fournit une définition ‘pratique’ de la notion de probabilité. Une seule expérience ne suffisant pas pour évaluer la probabilité d’un événement on va répéter un très grand nombre de fois l’expérience. Cette loi stipule que si on répète un grand nombre n de fois une épreuve, la fréquence f avec laquelle on observe la survenue d’un événement tend (quand nginfini) vers une limite qui est définie comme probabilité de cet événement. Ainsi du lancer d’un dé : la probabilité d ’observer la face 6 est la limite du rapport no. de 6 obtenus / no. d ’essais = f

4. La notion de probabilité : un exemple Par exemple, en lançant un nombre n de fois une pièce ‘parfaite’ de monnaie, la fréquence f de ’pile’ tendra vers 1/2 au fur et à mesure que n augmentera. Dessiner l’exemple

5. La notion de probabilité : un exemple N. tosses N. heads in n tosses Frequency 10 6 0.60000 100 52 0.52000 1000 463 0.46300 10000 4908 0.49080 100000 49573 0.49573

6. Les probabilités dites ‘objectives’ Du point de vue pratique il est clair que la vision fréquentiste ne permet pas de trouver la probabilité d’un événement puisqu’un tel processus nécessitant une infinité d’observations est physiquement irréalisable : cela permet tout au plus de donner une définition de la probabilité comme limite d’une fréquence. Remarquons que dans la conception fréquentiste il est impossible de donner une valeur et même au sens à la probabilité d ’un événement non répétable du genre « neigera-t-il le 25 octobre 2990 » , ce qui limite le champ d’application du calcul des probabilités.

7. Les probabilités subjectives Cette définition ‘pratique’ de la probabilité suppose que l’on puisse répéter l’épreuve indéfiniment, ou tout au moins imaginer pouvoir le faire. Tel est le cas dans le jeu de pile ou face. Le point de vue classique étant trop limité, l’existence même de probabilités objectives à été niée par beaucoup : « La probabilité n’existe pas » « L’abandon de croyances superstitieuses sur l’existence du phlogistique, de l’éther, de l’espace et du temps absolu … ou des fées, a été une étape essentielle dans la pensée scientifique. La probabilité, considérée comme quelque chose ayant une existence objective est également une conception erronée et dangereuse, une tentative d’extérioriser ou de matérialiser nos véritables conceptions probabilistes! »

8. Les probabilités subjectives La probabilité objective d’un événement n’existe pas et n’est donc pas une grandeur mesurable analogue à la masse d’un corps, c’est simplement une mesure d’incertitude, pouvant varier avec les circonstances et l’observateur, donc subjective, la seule exigence étant qu’elle satisfasse aux axiomes du calcul des probabilités.

9. Les probabilités subjectives (Bayesiennes) Une probabilité est donc une mesure donnée à une évaluationsubjective (personnelle) qui se base sur les informations à disposition de la personne. En résumé, la probabilité : • dépend des informations à disposition ; • peut changer en fonction de nouvelles informations ; • peut varier entre individus ; • correspond aux aires d’un diagramme de Venn.

10. Les probabilités subjectives : exemple «Je pense qu’il y a 20 chances sur 100 pour qu’il pleuve demain.» Ce chiffre est basé éventuellement sur l’expérience acquise. «Cette personne a une probabilité 30% d’être décédé pour des raisons cardiaques» : ce chiffre peut être basé sur un modèle de pronostique incluant les expériences acquises sur un grand nombre de décès ‘a priori semblables.’

11. Les probabilités subjectives : exemple Cette probabilité 30% peut être obtenue aussi en soumettant le dossier de la victime à une dizaine d’experts qui notent de 0 à 100 le risque de mort pour des raisons cardiaques et en constatant que la note moyenne obtenue est 30. Cette probabilité de 30% est dite subjective. • (Harold Jeffreys, Theory of probability. Oxford University Press, 1939 (III edition, Clarendon Press, 1998) • Leonard J. Savage, The foundations of statistics. II revised edition, Dover Publications, Inc., New York, 1972 (original 1954) • Bruno de Finetti, Probabilità e induzione (induction and probability). Editrice Clueb, Bologna, 1993

12. Les probabilités subjectives : exemple Il est clair donc qu’il faut être capable de définir la probabilité autrement que par une approche fréquentielle si on veut être capable de parler de probabilité d’événements qui ne peuvent se produire qu’une fois et pour lesquels la répétition de l’épreuve n’a aucun sens (comme c’est le cas dans les deux exemples précédents).

13. Les trois axiomes Le calcul des probabilités repose sur un certain nombre de règles minimales qui permettent de construire toutes les théories nécessaires. On définit un axiome comme un principe de base non démontrable permettant de construire la suite de la théorie. Un axiome, même si, très souvent, il correspond au ‘bon sens’ apparent, est toujours contestable puisqu’il n’est pas démontrable.

14. Les trois axiomes • La probabilité de tout événement associé à une épreuve est un nombre compris entre 0 et 1 ; • Si deux événements A1 et A2 sont incompatibles, la probabilité de l’événement (A1 ou A2 ) est égale à la somme des probabilités de A1 et de A2 ; • La probabilité de l’événement certain est égal à 1.

15. Epreuve S A e On suppose qu’à chaque fois qu’on réalise l’épreuve, on obtient un point e (événement élémentaire) à l’intérieur de S représenté par l’ensemble des points contenus dans le rectangle. On suppose que l’ensemble des événements élémentaires est réparti de façon uniforme sur la surface de S. On suppose que la surface de E vaut 1. A (surface rouge) est une partie de S : il représente l’événement composé de tous les points événements élémentaires à l’intérieur de sa frontière. La probabilité de S est 1. La probabilité de A est, dans cette représentation, la surface de A (sur la figure, elle vaut à peu près 0.2).

16. Formules (1) La probabilité de l’événement impossible est nulle : L’événement ‘impossible’ et l’événement ‘certain’ sont incompatibles ; la réunion de l’événement ‘impossible’ et de l’événement ‘certain’ est l’événement ‘certain’ (ces deux résultats s’obtiennent en considérant les listes d’événements qui caractérisent respectivement l’événement ‘impossible’ (liste vide) et l’événement ‘certain’ (liste composée de tous les événements élémentaires).

17. Formules (1) L’application des axiomes 2 et 3 donne le résultat. En effet :

18. Formules (2) La probabilité du contraire d’un événement est égale à 1 moins la probabilité de cet événement : Un événement et son contraire sont incompatibles ; l’événement (A ou contraire de A) est certain, ce qui veut dire que lorsque l’on réalise l’épreuve ou bien l’événement élémentaire correspondant réalise A ou bien réalise le contraire de A.

19. Formules (2)

20. Formules (3) Si un événement A est inclus dans un événement B, alors la probabilité de A est inférieure ou égale à la probabilité de B. Ceci se déduit immédiatement du fait que l’on peut écrire dans ce cas B comme (A ou (non-A et B)). Les deux événements (A) et (non-A et B) sont incompatibles. L’application des axiomes indique que : puisque est nécessairement positif (Axiome 1).

21. Formules (4) La probabilité de l’événement A ou B est égale à la somme des probabilités de A et B, moins celle de (A et B). La façon la plus simple de mémoriser la formule donnant la probabilité de A ou B s’obtient grâce à l’analogie probabilités-surface. En effet, la surface de A ou B est égale à la surface de A, plus celle de B, moins celle de A et B (oublier ce dernier terme reviendrait à compter 2 fois la surface de A et B dans Aet dans B.

22. Probabilités conditionnelles - indépendance On peut admettre qu’environ 550’000 personnes étaient porteurs en France en 1999 du virus de l’hépatite C. S’il ne dispose que de cette information, le médecine avant de recevoir un patient en consultation peut penser que ce parient a une probabilité d’environ 1% d’être VHC+ (550’000/55’000’000) s’il suppose que sa clientèle ressemble globalement à l’ensemble de la population française. Si en consultant le dossier de son patient avant qu’il ne franchisse sa porte, le médecin constate que celui-ci est un enfant de 10 ans, la probabilité que pour ce patient soit VHC+ est à coup sûr beaucoup plus faible, (peut être entre 10-5 et 10-4 ...) car on sait que les personnes contaminées par ce virus sont en général des adultes (transfusion, toxicomanie, etc.).

23. Probabilités conditionnelles - indépendance Si en revanche l’information fournie par le dossier indique que le patient est toxicomane par voie intraveineuse depuis plus de 5 ans, les données épidémiologiques indiquent que la probabilité qu’il soit VHC+ est certainement supérieure à 1%. Si, enfin, le seul renseignement que le dossier présente est le fait que le patient est asthmatique, l’opinion du médecin sur la probabilité pour que le patient soit VHC+ ne sera pas modifiée, car il n’y a pas de relation entre le fait d’être asthmatique et le fait d’être porteur du virus VHC+ . La probabilité que le malade qui franchira la porte soit porteur de VHCest toujours de 1%.

24. La démarche de la connaissance La démarche médicale, et la démarche de la connaissance en général, se fait toujours par étape: on est, au début, dans une certaine incertitude quantifiée par des probabilités a priori : le mot a priori signifie qu’il s’agit de la probabilité avant d’avoir une information. Par exemple, a priori, avant d’avoir quelque renseignement que ce soit sur le patient qui attend de l’autre côté de la porte, la probabilité a priori pour que ce patient soit VHC+ est 1%.

25. La démarche de la connaissance Le médecin obtient, par exemple en prescrivant des examens complémentaires, des informations qui sont susceptibles de modifier la probabilité du diagnostic auquel il s’intéresse. Les probabilités modifiées s’appellent des probabilités a posteriori : l’expression a posteriori est utilisée pour signifier qu’il s’agit de la probabilité après l’information reçue. La nouvelle information permet de faire évoluer la probabilité a priori.

26. Le processus du raisonnement • se combinent • avec • Probabilités • a • posteriori • Probabilités • a • priori • Données analytiques • Décision sur • l’hypothèse • (maladie) • Autres informations • (dossier)

27. Probabilités conditionnelles (1) Soit S l’ensemble des événements. Supposons qu’après avoir réalisé l’épreuve on obtienne l’information que l’événement élémentaire obtenu a réalisé un événement B (autrement dit, que l’événement B s’est produit). On peut à nouveau définir les probabilités de tous les autres événement de S, conditionnellement à cette information.

28. Probabilités conditionnelles (2) La probabilité conditionnelle d’un événement A, sachant que B s’est produit, est définie par l’égalité suivante : on suppose que

29. E A B Probabilités conditionnelles (3) Pour prendre des exemples extrêmes, la probabilité de A sachant qu’il s’est produit - noté P(A|A) - est 1 et la probabilité du contraire de A sachant que A s’est produit - noté P(non-A|A) - est évidemment 0. Cette formule se comprend bien en considérant la figure suivante : les chances de tomber dans A sachant qu’on est dans B sont obtenues en faisant le rapport de la surface de (A et B) sur la surface de B.

30. Probabilités conditionnelles (4) En termes de probabilité a priori et a posteriori, P(A) est la probabilité a priori de A (avant que l’on sache si B s’est produit ou non) et P(A|B) est la probabilité a posteriori de A (sachant que B s’est produit). La formule donnant P(A|B) s’écrit de façon équivalente : En échangeant A et B dans la formule précédente, le premier terme reste inchangé car (A et B) = (B et A) ; on peut donc écrire :

31. Probabilités conditionnelles (5) On déduit que :

32. Probabilités conditionnelles (6) • Il est à noter que la symétrie de la notation correspond à des modes de recueil de l’information différents. • Par exemple : • P(VHC+|toxicomane) peut être évaluée dans une population de toxicomanes chez qui on dose les anticorps à VHC. • P(toxicomane|VHC+) sera évaluée dans une population de patients de VHC+ qu’on interrogera sur leur toxicomanie passée.

33. Indépendance et information 1ère définition de l’indépendance : La meilleure définition qu’on peut donner de l’indépendance de 2 événements est en terme d’information : on dira que deux événements sont indépendants lorsque savoir que l’on s’est produit n’apporte pas d’information sur la probabilité de l’autre. Dans l’exemple introductif, l’asthme et le VHC+ sont deux événements indépendants. En effet, savoir que le patient a l’une des deux affections n’apporte aucune information sur sa probabilité d’avoir l’autre. Un événement A est dit indépendant d’un événement B lorsque savoir que B s’est produit ne modifie pas la probabilité de l’événement A : la probabilité a priori de A est identique à la probabilité a posteriori de A.

34. Indépendance et information 2ème définition de l’indépendance : Deux événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de réaliser l’événement (A et B) est égale au produit des probabilités de réaliser A et de réaliser B. Ces deux définitions se traduisent par deux formules :

35. Indépendance et information La première définition de l’indépendance de A et B s’écrit La seconde définition de l’indépendance s’écrit

36. Indépendance et information La seconde formule rend évident la symétrie entre A et B : si B est indépendant de A, alors A est indépendant de B. Ce qui signifie en pratique que si on démontre que A n’apporte pas d’information sur B, on en déduit immédiatement B n’apporte pas réciproquement sur A. Dans l’exemple introductif, savoir que la probabilité de VHC est la même chez les asthmatiques et les non- asthmatiques , c’est automatiquement en déduire que la probabilité d’asthme est la même chez les porteurs et les non-porteurs de VHC.