3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

1. 3. Rechnen mit natürlichen Zahlen • 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen • 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1 • 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen • 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren

2. Wesen schriftlicher Rechenverfahren Schriftliche Rechenverfahren (Normalverfahren) sind durch folgende Punkte charakterisiert: • Die Einzelschritte erfolgen beim Normalverfahren schematisch nach gegebenen Regeln in fester Reihenfolge (algorithmisches Verfahren). • Eine Einsicht in das Verfahren ist bei seiner Durchführung nicht erforderlich, es reicht das schematische Anwenden der Regeln und Verfahrensvorschriften.

3. Bedeutung schriftlicher Rechenverfahren • Traditionelle Sichtweise: • Krönung des Mathematikunterrichts • Leichtes, standardisiertes, effektives und effizientes Rechnen ohne viel nachzudenken; vormachen, nachmachen und üben, üben, üben • Relativierte Sichtweise: • Abrunden der Rechenmethoden • Eine Methode unter verschiedenen, Einsicht in Verfahren und algorithmisches Denken • Nicht nur rechnen, sondern auch verstehen, durchschauen, erklären

4. Vorteile schriftlicher Rechenverfahren • Hohe Rechensicherheit • Starke Denkökonomie durch Entlastung des Gedächtnisses • Große Erhöhung der Schnelligkeit • Verminderung von Schwierigkeiten innerhalb des Klassenverbandes durch Standardisierung • Hilfe für langfristige Sicherung des Lernerfolges

5. Nachteile schriftlicher Rechenverfahren • Bei der Einführung viele Teilschritte • Zu frühe Automatisierung führt zu mangelhaftem Verstehen • Verfahren ohne Einsicht führen zu typischen Fehlern • Zahlen werden nicht mehr als Ganzes betrachtet, dadurch werden bestimmte Fehler nicht mehr wahrgenommen. • Tragen nur wenig zur Unterstützung des Zahlverständnisses bei • Ständige Anwendung führen dazu, dass Normalverfahren auch dann angewendet werden, wenn leichtere Wege zum Ziel führen

6. Nachteile schriftlicher Rechenverfahren • Maßnahmen, die den Nachteilen entgegenwirken: • Das Normalverfahren soll als ein Verfahren unter verschiedenen Rechenverfahren betrachtet werden, nicht als „Höhepunkt“ • Normalverfahren sollten als Endform eines längeren Prozesses stehen • Teilschritte sorgfältig entwickeln, damit Verständnis für die Verfahren erreicht wird • Auch in der Automatisierungsphase Einsicht in das jeweilige Verfahren lebendig halten.

7. Behandlung schriftlicher Rechenverfahren • Klasse 3: • Einführung der schriftlichen Addition und Subtraktion • Bei der Subtraktion ist (in Hessen) das Ergänzungsverfahren vorgeschrieben. • Klasse 4: • Einführung der schriftlichen Multiplikation (beide Faktoren können mehrstellig sein) • Einführung der schriftlichen Division: Teilen durch einstellige Zahlen als verbindliches Lernziel für alle Kinder. Im freien oder zusätzlichen Angebot kann mit zweistelligen Divisoren gerechnet werde.

8. Lerntheoretische Positionen zur Behandlung der schriftlichen Verfahren des Rechnens • 1. Vorkenntnisse sichern • 2. Sachsituationen zur Motivierung auswählen • 3. Algorithmen einsichtig ableiten • 4. „Klippen“ frühzeitig berücksichtigen • 5. Operative Übungen einbeziehen • 6. Vielfältige Anwendungen aufzeigen • 7. Frühzeitig Fehleranalysen durchführen

9. Zur schriftlichen Addition • Zwei prinzipielle Vorgehensweisen der Einführung: • Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen: • Ausgangspunkt: „Stellenwerte extra“ • Verändern der Reihenfolge (erst Einer, dann Zehner, dann Hunderter) • Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel: • Material in dekadischer Struktur wird gebündelt (Mehrsystemblöcke, Geld) • Schreibweise in der Stellentafel

10. Zur schriftlichen Addition • Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen (Zahlenbuch 3, S. 63):

11. Zur schriftlichen Addition • Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel (Denken und Rechnen 3, S. 57):

12. Zur schriftlichen Addition • Anknüpfen an Handlungen des Bündelns und Darstellung in der Stellentafel (Welt der Zahl 3, S. 59):

13. Zur schriftlichen Addition • Sprechweise (Rahmenplan, S. 156)

14. Zur schriftlichen Subtraktion • Es lassen sich zwei Verfahren der schriftlichen Subtraktion unterscheiden: • Abziehverfahren • Ergänzungsverfahren • Es lassen sich drei Techniken des Übertragens unterscheiden: • Borge- oder Entbündelungstechnik • Erweiterungstechnik • Auffülltechnik

15. Verfahren der schriftlichen Subtraktion • Abziehverfahren • Die Differenz wird durch Wegnehmen (Abziehen) berechnet • Ergänzungsverfahren • Die Differenz wird durch Ergänzen berechnet Sprechweise beim Abziehverfahren: 4 minus 2 gleich 2 5 minus 4 gleich 1 7 minus 3 gleich 4 Sprechweise beim Ergänzungsverfahren: 2 plus 2 gleich 4 4 plus 1 gleich 5 3 plus 4 gleich 7 • 754 • 342 • 412

16. Verfahren der schriftlichen Subtraktion • Vorteile des Abziehverfahrens: • Das Abziehen wird als natürliche Sinngebung der Subtraktion gesehen. • Verwechslungen mit der Addition werden eingeschränkt. • Kein Auseinanderklaffen von Schreib- und Sprechweise • Vorteile des Ergänzungsverfahrens: • Beim Ergänzungsverfahren wird nur das Einspluseins (und nicht auch) das Einsminuseins benötigt. • Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion wird besser deutlich

17. Übertragungstechniken der schriftlichen Subtraktion • Borgetechnik (Entbündelungstechnik): • Im Minuend wird eine Einheit des nächsthöheren Stellenwertes entbündelt • Erweiterungstechnik: • Das Gesetz von der Konstanz der Differenz liegt zugrunde: Minuend und Subtrahend werden um den gleichen Betrag vergrößert • „Trick“: Werden zur betreffenden Ziffer des Minuenden 10 Einheiten addiert, so wird dieser Betrag im Subtrahenden gebündelt dem nächsthöheren Stellenwert als eine Einheit zugeschlagen • Auffülltechnik: • Dem Subtrahenden wird eine Zahl hinzugefügt, um den Minuenden als Zielbetrag zu erhalten • Minuend bleibt unverändert

18. Verfahren der schriftlichen Subtraktion • Wie können verschiedene Subtraktionsverfahren und Übertragungstechniken miteinander kombiniert werden?

19. Zur schriftlichen Subtraktion • Sprechweise beim Ergänzungsverfahren (Rahmenplan, S. 156):

20. Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern Das Zahlenbuch 3, S. 73

21. Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern Denken und Rechnen 3, S. 74

22. Schriftliche Subtraktion in Schulbüchern Denken und Rechnen 3, S. 76

23. Zur schriftlichen Multiplikation • Normiertes Verfahren: • Beide Faktoren stehen in einer Zeile, • rechte Zahl ist Multiplikator, linke Multiplikand (Problem: Beim halbschriftlichen Rechnen ist es in der Regel umgekehrt) • Die Multiplikation beginnt mit der höchsten Stelle des Multiplikators • Teilprodukte werden ihrem Stellenwert entsprechend unter den zweiten Faktor gesetzt

24. Zur schriftlichen Multiplikation • Endform (Rahmenplan, S. 156):

25. Zur schriftlichen Multiplikation • Methodische Stufenfolge bei der Behandlung • Multiplikation mit einstelligem Faktor • 728 · 6 • Multiplikation mit Vielfachen von 10 • 378 · 60 • Multiplikation mit mehrstelligem Faktor • 347 · 253

26. Zur schriftlichen Multiplikation • Möglichkeiten der Einführung: • Schriftliche Addition gleicher Summanden als Ausgangspunkt • Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen • „Stellenwerte extra“ als Ausgangspunkt • Vom Malkreuz über „Nepersche Streifen“ zur schriftlichen Multiplikation

27. Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern Welt der Zahl 4, S. 47

28. Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern Denken und Rechnen 4, S. 39

29. Schriftliche Multiplikation in Schulbüchern Denken und Rechnen 4, S. 52

30. Das Zahlenbuch 4, S. 46

31. Zur schriftlichen Division • Das schriftliche Dividieren wird als die bei weitem komplizierteste Grundrechnungsart angesehen. • Ein Problem ist die hohe Komplexität. • Teilschritte beim schriftlichen Dividieren (22449 : 7): • 1. Überschlag 21000 : 7 = 3000 • 2. Ermitteln des ersten Teildividenden • 3. Schätzen der ersten Wertziffer des Quotienten 22 : 7 = 3 • 4. Multiplikation • 5. Subtraktion • 6. Zwischenkontrolle • 7. „Herunterholen“ der nächsten Ziffer

33. Zur schriftlichen Division • Möglichkeiten der Erarbeitung des Verfahrens: • Anknüpfen an Entbündelungshandlungen • Anknüpfen am halbschriftlichen Rechnen • Direkte Konfrontation mit dem Verfahren

34. Schriftliche Division in Schulbüchern Denken und Rechnen 1998, S. 70

35. Schriftliche Division in Schulbüchern Denken und Rechnen 2003, S. 68

36. Das Zahlenbuch 4, S. 54

37. Leonardo 4, S. 70

38. Übungen zum schriftlichen Rechnen • Päckchenaufgaben (in Termform) • Aufgaben mit fehlenden Ziffern (Klecksaufgaben) • Fehlerhafte Aufgaben • Aufgaben mit Zahlenkarten • Aufgaben mit „besonderen Zahlen“ • Sach- und Anwendungsaufgaben

39. Übungen zum schriftlichen Rechnen Leonardo 4, S. 93

40. Übungen zum schriftlichen Rechnen Denken und Rechnen 3, S. 58

41. Übungen zum schriftlichen Rechnen Denken und Rechnen 3, S. 59

42. Übungen zum schriftlichen Rechnen Das Zahlenbuch 3, S. 74