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Nat ü rliche Zahlen

1, 2, 3,. Nat ü rliche Zahlen. PaedDr. Ján Gunčaga , PhD. Lehrstuhl f ü r Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei guncaga@fedu.ku.sk. 1, 2, 3,. Relationen.

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Nat ü rliche Zahlen

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Presentation Transcript

  1. 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga, PhD.Lehrstuhl für Mathematik undPhysik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei guncaga@fedu.ku.sk

  2. 1, 2, 3, ... Relationen Beispiel. Ich bereite mich auf das Abitur vor. Dazu mache ich diesen Plan: M-Mathematik, P-Physik, E-Englisch, D-Deutsch, M G-Geschichte. P E D G Mo Di Mi Do Fr

  3. 1, 2, 3, ... Relationen Menge T= {Mo, Di, Mi, Do, Fr} Menge F = {M, P, E, D, G} Relation R = {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], [Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} (die geordnete Paare) Relation ist jede Teilmenge des Kreuzproduktes der beiden Mengen (R  TF).

  4. 1, 2, 3, ... Abbildungen A B f verboten

  5. 1, 2, 3, ... Abbildungen Eine Relation f nennen wir die Abbildung f: A  B, wenn jedes Element xA genau ein Element yB zum Partner hat. Wir schreiben statt [x, y] f y = f(x). R – reelle Zahlen Im Fall, wenn A  R und B = R, die Abbildung f ist die Funktion.

  6. 1, 2, 3, ... Abbildungen A B f Surjektion

  7. 1, 2, 3, ... Abbildungen A C g Injektion

  8. 1, 2, 3, ... Abbildungen A D h Bijektion Die Mengen A und D sind äquivalent, A D.

  9. 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen wie Kardinalzahlen S - das Mengensystem KardinalzahlA= {X S; X A} A= D Natürliche Zahlensind Kardinalzahlen von allen Mengen, die endlich und nicht leer sind. 2 a 1 b 2 …

  10. 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen wie Kardinalzahlen Operationen und Anordnungen WennA B= (Durchschnitt), dann A+B=A B(Vereinigung). Die Kardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich dem Produktder Kardinalzahlen von A und B: A.B=A B WennA B* und B* B, B*B(eigene Teilmenge), dannA B.

  11. 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen als Peano - Menge Das Männchen von Giuseppe Peano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ein Modell fürPeano – Axiome

  12. 1, 2, 3, ... Das Männchen von Giuseppe Peano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  13. 1, 2, 3, ... Das Männchen von Giuseppe Peano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • Das Männchen lebt an einer Zahlengerade von den natürlichen Zahlen. • Es kann nur auf den natürlichen Zahlen vorwärts gehen. • Es kann einen Schritt nur zur nächsten natürlichen Zahl machen.

  14. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  15. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen kann immer einen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahlzur nächsten natürlichen Zahl machen. Axiom Nr. 1: Jede natürliche Zahl a hat genau einen (mindestens und höchstens einen) Nachfolger a´ in der Menge von natürlichen Zahlen.

  16. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Das Männchen kann keinen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahlzur natürlichen Zahl 1machen. Axiom Nr. 2: 1 kann kein Nachfolger füreine natürliche Zahlsein (1 ist also die kleinste natürliche Zahl).

  17. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  18. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 Männchen stehen auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen. Sie machen einen Schritt vorwärts. 2 Männchen stehen wieder auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen. Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natürliche Zahlen haben auch verschiedene Nachfolger.

  19. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  20. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome 1 2 3 45 6 7 8 9 10 Das Männchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich. Es steht auf einernatürlichen Zahl. Es malt diesenatürliche Zahl rot an. Es macht einen Schritt vorwärts undessteht auf einer natürlichen Zahl. Es malt diesenatürliche Zahl auch rot an.

  21. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • Das Männchensteht auf dernatürlichen Zahl 1. Es malt diesenatürliche Zahl an.

  22. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 12 3 4 5 6 7 8 9 10 • Das Männchensteht auf dernatürlichen Zahl 1. Es malt diesenatürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einernatürlichen Zahl steht,macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diesenatürliche Zahl an.

  23. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 123 4 5 6 7 8 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  24. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 5 6 7 8 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  25. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 5 6 7 8 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, es macht einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  26. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 56 7 8 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  27. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 567 8 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  28. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 5678 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  29. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 567 8 9 10 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  30. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Regel fürMahlen 1234 567 8 910 • Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. • 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht eseinen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an.

  31. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen,

  32. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen,

  33. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält

  34. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält;

  35. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es giltfür jede Zahl:ausaM

  36. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 12 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM

  37. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 12 3 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  38. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  39. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  40. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  41. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  42. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 7 8 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  43. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 78 9 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  44. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 789 10 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  45. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 78910 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M;

  46. 1, 2, 3, ... Regel fürdas Männchen und Peano - Axiome Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion 123 4 5 6 78910 a a´ Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, diedie1 enthält; es gilt für jede Zahl:ausaM folgt a´M; Mist die Menge N selbst (M=N).

  47. 1, 2, 3, ... Natürliche Zahlen als Peano - Menge Operationen und Anordnungen Addition: a) x + 1 = x´ b) x + y = (x + y)´ Multiplikation: a) x . 1 = x b) x . y´ = x . y + x Wenn für die natürlichen Zahlen a, b gilt: b = a +x und x ist eine natürliche Zahl, dann gilt auch: a  b.

  48. Das Männchen ist müde! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

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