Toplama ve çıkarma kavramlarının öğretimi ve öğrenci güçlükleri

1. Toplama ve çıkarma kavramlarının öğretimi ve öğrenci güçlükleri

2. Toplama ve çıkarma kavramları çocukların erken yaşlarda karşılaştıkları kavramlar olup öğretimi okul öncesi dönemden başlayıp ilköğretimin son basamağına kadar uzanmaktadır. Bu bölümde bir tarafta toplama ve çıkarma kavramlarının erken yaşlarda başlayarak nasıl etkili bir şekilde öğretilebileceği, diğer taraftan da öğrencilerin karşılaştıkları güçlüklerin neler olduğu ve nasıl giderilebileceği soruları ele alınmıştır. Bu uzun süreç farklı aşamalar ve öğrenciler için farklı güçlükler içermektedir. Bu amaçla öncelikle toplama ve çıkarma kavramlarının öğretiminde benimsenen çağdaş yaklaşımlara yer verilmekte, daha sonra öğrenci güçlükleri nedenleriyle birlikte incelenmektedir.

3. Toplama ve çıkarma kavramları konusundaki literatürde ön plana çıkan bir başka konu da bu kavramların öğretiminde farklı süreçlerin söz konusu olduğudur. Bu süreçler şu şekilde sıralanabilir. Toplama ve çıkarma kavramlarının anlama ve küçük sayılar içeren toplama ve çıkarma problemlerini çözme, Çok basamaklı sayılarla toplama ve çıkarmaya geçiş ve çok basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma problemlerini çözme, Sembolik toplama ve çıkarma işlemlerine geçiş ve özellikle çok basamaklı sayılarda sembolik toplama ve çıkarma,

4. Daha sonra matematik öğretim programlarında toplama ve çıkarma konularının nasıl ele alındığı incelenmiş,İngiltere ve Türkiye’de uygulanmakta olan ilköğretim matematik öğretim programlarının bu konular bağlamında bir karşılaştırılması verilmiştir.Son olarak toplama ve çıkarma kavramlarının çocuklar tarafından daha iyi kavranması ve farklı problem türlerini daha etkili çözebilmeleri için ne tür öğretim yöntem ve yaklaşımlarının kullanılabileceği konusu tartışılmıştır.

5. Toplama ve Çıkarma ile İlgili problem türleri Çocukların matematiksel kavramları algılayışları ve kendilerine önerilen bir problem karşısında düşünme şekilleri yetişkinliklerinden büyük farklılıklar gösterebilmektedir.Toplama ve çıkarma kavramları bu durumun belirgin olarak yaşandığı kavramların başında gelmektedir.Pek çok toplama ve çıkarma problemi yetişkinler için aynı toplama veya çıkarma işlemini gerektirirken çocuklar bu problemleri farklı algılayabilmektedir.

6. Örneğin, aşağıdaki problem durumlarını göz önüne alalım(Carpentervd., 1999) • Zeynep’in 7 tane şekeri vardı.4 tanesini yedi.Geriye kaç şekeri kaldı? • Zeynep’in 4 tane şekeri var.7 tane şekeri olması için kaç tane daha şekere sahip olması gerekir? • Zeynep’in 4 tane şekeri var.Doğukan’ın 7 tane şekeri var.Doğukan’ın Zeynep’ten kaç fazla şekeri var?

7. Bu problemler için çocukların farklı algılamalara sahip olmalarını her bir problemin ifadesinin içerdiği olay ve vurgu yaptığı eylem ile açıklamak mümkündür.Bu düşünceden yola çıkarak farklı araştırmacılar sözel olarak ifade edilen problemler için bazı sınıflamalar önermektedirler.Bu çalışmada yaygın olarak kullanılan Carpenter ve arkadaşlarının sınıflamasına yer verilecektir.

8. Carpenter ve arkadaşlarına göre problem içindeki eylem ve miktarlar arasındaki ilişkiye dayalı olarak 4 çeşit problem türünden bahsedilebilir.Bunlar • Bileşik Problemler , • Ayrık Problemler , • Parça-Parça-Bütün Problemleri ve • Karşılaştırma Problemleridir.

9. Bileşik problemler iki kümenin elemanlarının toplanarak yeni bir küme oluşturulmasına karşılık gelen problemlerdir.Bu türden problemler- başlangıç miktarında bir artış söz konusu olduğundan bir eylem içermektedir.

10. Ayrık problemler verilen bir kümeden belirli bir sayıda elemanın çıkarılması durumlarına karşılık gelen problemlerdir.Bu türden problemler de başlangıç miktarında belirli bir azalma söz konusu olduğundan yine bir eylem içermektedir.

11. Parça-parça-bütün problemler bir küme ve onun iki alt kümesi arasında bir ilişki içeren problemlerdir. Dolayısıyla bu türden problemlerden doğrudan veya dolaylı bir eylem söz konusu değildir.

12. Karşılaştırma problemleri iki ayrık küme arasında karşılaştırma içeren problemlerdir.Yine bu tür problemlerde bir eylem söz konusu olmayıp karşılaştırmaya dayalı bir ilişki ön plana çıkmaktadır.

13. Yukarıdaki sözel problemlerin her biri sembolik olarak da ifade edilebilir.Örneğin, yukarıdaki tabloda birinci satırdaki sonucu bilinmeyen bileşik problem 5+8= ?, ikinci satırdaki değişim miktarı bilinmeyen ayrık problem 13- ?=5 şeklinde yazılabilir.Bununla birlikte bir sembolik problem birden fazla sözel probleme karşılık gelebilir.Örneğin, yukarıdaki 5+8= ? Bileşik problemi aynı zamanda son satırda verilen bilinmeyen miktarı karşılaştırma probleminin sembolik ifadesidir.Hemen fark edileceği üzere sembolik ifadeleri aynı olsa da, söz konusu karşılaştırma problemini modellemek bir çocuk için herhangi bir bileşik probleme göre daha zordur. Yukarıda verilen örneklerde toplam ve fark gibi ifadeler yerine ‘’hepsi beraber’’ ve ‘’daha az ‘’ gibi ifadeler çocukların anlamasını kolaylaştırmaktadır.

14. Toplama ve Çıkarma problemlerini Çözme stratejileri ve gelişimleri Carpenter ve arkadaşlarının (1999) çalışması incelendiğinde toplama ve çıkarma problemlerini çözmek için üç tür strateji ve modelleme yönteminin ön plana çıktığı görülmektedir.Bunlar; Doğrudan Modelleme Statejileri, Sayma Stratejileri ve Sayı İlişkileri Kullanma Stratejileridir. Doğrudan Modelleme Stratejilerinde problemde geçen miktarları temsil etmek için somut nesneler kullanılmaktadır.Bu nesneler sayma pulları, ahşap bloklar gibi sayma amacıyla tasarlanmış nesneler olabileceği gibi parmak gibi daha doğal ve alışılagelmiş nesneler de olabilir.Doğrudan modelleme stratejileri miktarları temsil eden nesne sayılarının belirlenmesi ve toplamın veya farkın sayılarak bulunması işlemine dayanmaktadır.

15. Örneğin ‘’Hasan’ın 4 arabası vardı.Doğum gününde kardeşi ona 7 araba verdi.Hasan’ın şimdi kaç arabası oldu? ‘’Veya ‘’top oynayan 8 tane çocuk vardı.3 çocuk evlerine gitti.Şimdi top oynayan kaç çocuk var?’’ gibi problemler çocuklar tarafından küçük yaşlarda somut nesneler kullanımıyla modellenebilen problemlerdir( Carpentervd., 1999). Burada bir çocuğun başvuracağı doğrudan modelleme stratejileri şunlar olabilir: Birinci problemde dörder ve yedişer elemandan oluşan iki küme alma ve toplam eleman sayısını sayarak bulma.İkinci problem içinse 8 elemandan oluşan bir küme alma ve ondan 3 eleman ayırıp geriye kalan elemanları sayma.

16. Sayma stratejileri doğrudan modelleme stratejilerine oranla daha soyut ilişkiler içermektedir.Örneğin yukarıdaki birinci problemde sayma stratejisi kullanan bir çocuk 4 ile başlayıp üzerine 5,6,7,8,9,10,11 şeklinde sayarken 7 parmağını saydığı sayılara karşılık getirebilir.İkinci problemde ise, çocuk yine birinci problemde olduğu gibi3’ten 8’e kadar parmaklarıyla sayabilir(yukarı doğru sayma) veya 8’den 3’e kadar geriye sayabilir(aşağıya doğru sayma). Bu stratejide çocuk doğrudan 4 parmağının ve 7 parmağının toplam kaç ettiğini belirlemeye çalışmayarak parmaklarını sadece saymayı kolaylaştırmak için kullanmaktadır.

17. Sayı ilişkileri kullanma stratejileri ise daha önceden bilinen sayı ilişkilerine dayalı bir problem çözme yöntemidir. Bir çocuğun 3+7 toplamının 10 yaptığını daha önceden bildiğini farz edelim. 7+4 işleminin sonucunu bulmak için “7, 3 daha 10 yapar. Burada 7 ve 4 var. Yani 1 fazla (7+4=7+3+1)” şeklinde düşünerek problemi çözmesini sayı ilişkileri strajilerine örnek olarak verebiliriz.

18. Yukarıda verilen üç farklı stratejinin, içerdikleri soyutlama süreçlerine bağlı olarak, basitten karmaşığa doğru gittiğini görebiliriz.Doğrudan modelleme stratejilerinde çocuk sadece somut materyaller üzerinden problem çözerken, sayma stratejilerinde hem kümelerin eleman sayılarını soyut olarak düşünmesi hem de sayma işleminin başlangıç ve bitiş elemanlarını iyi belirlemesi ve aklında tutması gerekmektedir.Benzer şekilde, sayı ilişkileri kullanma stratejilerinde belirli sayıları farklı şekilde birleştirmesi, ayırması ve onları yeni durumlara adapte etmesi gerekmektedir.Sonuç olarak, bu stratejilerin her birinin etkin biçimde kullanımının veya bir stratejiden diğerine geçişin çocukların zihinsel ve bilişsel gelişimiyle doğrudan ilgili olduğunu söyleyebiliriz.

19. Farklı problem türlerinde karşılaşılan güçlükler Literatürde çocukların toplama ve çıkarma kavramlarını algılamaya ilk geçişte ve küçük sayılarda toplama ve çıkarma yapmaya başladıkları dönemlerde karşılaştıkları sorunların kavram yanılgısı veya hatadan çok güçlük olarak ifade edildiğini görmekteyiz.Bunun en önemli sebeplerinden biri olarak çocukların bu seviyede karşılaştıkları güçlüklerden pek çoğunun ilerleyen yaşlarda hızlı bir şekilde ortadan kaybolması, dolayısıyla kavram yanılgıları gibi sürekli hataya götüren sistemli, eksik veya yanlış algılamanın söz konusu olmamasını gösterebiliriz. Diğer taraftan, bu süreçte matematiksel ifade sistemine ve sembolik işlemlere yeni geçiliyor olmasının da eğitim- öğretim sürecinden kaynaklanan bazı kavram yanılgılarının oluşmasını engellediğini düşünebiliriz.Biz de benzer şekilde bu kısımda çocukların farklı problem türlerinde karşılaştıkları güçlüklere yer vereceğiz.

20. Literatürde çocukların basit bileşik ve ayrık problemler dışında kalan bazı problem durumlarını modelleyebilmeleri için daha uzun bir süreye ve yaşça daha ileri bir olgunluk seviyesine ihtiyaçları olduğu vurgulanmaktadır.Bu problemler genellikle değişim miktarı veya başlangıç miktarı bilinmeyen problemlerdir (Carpentervd., 1999; Nunes & Bryant, 1996). Yukarıda bahsettiğimiz Hasan’ın 4 arabası vardı.Doğum gününde toplam 11 arabası olması için daha kaç arabaya ihtiyacı vardır? Problemi ve benzerleri bu problem türlerine örnek olarak verilebilir.

21. Yukarıdaki problemlerin sayma stratejileri ile çözümü içinse iki farklı durum söz konusudur.Aşağı doğru sayma ve yukarı doğru sayma.Örneğin, çocuğun 5’in üzerine parmakları ile 11 oluncaya kadar sayması yukarı doğru sayma stratejisi, 11’den başlayarak 5’e kadar geri sayması da aşağı doğru sayma stratejisi olmaktadır.

22. Çok basamaklı sayılarla toplama ve çıkarma Çok Basamaklı Sayılarda Toplama ve Çıkarmaya Geçiş

23. İki ve daha çok basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma yapmanın en kolay yolu ve bu sayıların birler, onlar ve yüzler hanesindeki değerlerini ayrı ayrı toplamak veya çıkartmaktadır. Örneğin bir markette 5 top kek kutusu var.Her bir kutuda 10 tane top kek var.Bunların yanında ayrıca 3 tane daha top kek var.Hepsi beraber markette toplam kaç tane top kek vardır? veya Fatma 54 tane çiçek topladı.Bunlarla her biri 10 çiçekten oluşacak şekilde buketler yaptı.Fatma toplam kaç tane buket yapmıştır?

24. Çocukların iki ve daha çok basamaklı sayılar içeren toplama ve çıkarma problemlerini çözme stratejileri aslında küçük sayılar içeren toplama ve çıkarma problemlerini çözme stratejileri ile paralellik göstermektedir ( Carpentervd., 1999). Çocuklar probleminin ifadesinde yer alan eylemi veya ilişkiyi modellemek için saymaya yarayan nesneler kullandıkları gibi, bu modellemelerinin bir uzantısı olan soyut stratejiler de icat edebilmektedirler( Carpentervd., 1999)

25. Aşağıda sonucu bilinmeyen bir toplama ve çıkarma problemi için çocukların geliştirebildikleri farklı stratejiler tablolar halinde açıklanmaya çalışılmıştır. PROBLEM: 27 tane erkek öğrenci ve 35 tane kız öğrenci bahçede oynuyorlar.Toplam kaç tane öğrenci bahçede oynuyor?

27. PROBLEM: Gökhan’ın 73 lirası vardı.55 lirasını harcadı.Geriye kaç lirası kaldı?

28. Yukarıda verilen problemlerdeki sayıların onlar ve birler basamaklarını hesaplamak için daha farklı stratejilerin de yer alabileceğini düşünerek olası stratejilerin sayısını artırmak mümkündür. Çok basamaklı sayılarda toplama ve çıkarma yaparken, onluk veya birlik sayma pulları/ blokları gibi öğrenciler boş sayı doğrusundan da yararlanabilirler. Toplama ve çıkarma işlemlerinin kavratılmasında sayı doğrusu önemli bir modelleme aracı olarak kabul edilmektedir.

29. ÇOK BASAMAKLI SAYILARDA SEMBOLİK TOPLAMA VE ÇIKARMA Genel olarak, sembolik toplama ve çıkarma işlemlerini bir problem durumunu yazılı olarak sayılarla ve toplama-çıkarma sembollerini kullanarak çözme veya doğrudan bir problem durumuna dayanmayan ve sembolik olarak verilmiş toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirme olarak tanımlayabiliriz.İki tür sembolik toplama ve çıkarma işleminden bahsetmek mümkündür.Bunlar satır (yan yana) toplama ve çıkarma işlemleri ve sütun (alt alta) toplama ve çıkarma işlemleridir.Bununla birlikte satır toplama işlemi çoğunlukla söz konusu olan problemin bir ifade şekli olarak değerlendirmekte ve sütun toplama işlemi şekline getirilerek çözülmektedir.

30. Sembolik işlemlerle toplama ve çıkarmanın öğretilmesinde genellikle basitten karmaşığa doğru giden bir yaklaşım kullanılmaktadır. Sembolik işlemleri öğretmede en çok kullanılan yöntem çocukların 10’dan küçük sayılarla problem çözerken kullandıkları sayı ilişkileri ve modelleme stratejilerinden yararlanma yöntemidir.

31. Öğrenci hataları ve kavram yanılgıları

32. Bu konudaki en kapsamlı çalışmayı Brown ve Burton 1978’de yapmıştır. Bu çalışmada 13oo öğrenciye 19 bin 500 soru yöneltilmiştir. Daha sonra yapılan araştırmalar ise genellikle bu çalışmada ortaya çıkan hataların engellenmesi için nelerin yapılabileceği konusu üzerine değinilmiştir.

33. Brown ve Burton çalışması incelendiğinde öğrenci en çok hataya götüren problem türleri • Elde işlemi gerektiren problemler • Büyük basamaklı sayılar • Sıfırın yer aldığı problemler • Bu da hataların kaynağı olarak öğrencilerin sembolik işlemlerde sayıların konumunu ve basamak değerini nasıl algıladıkları sorusunu ön plana çıkarmaktadır

34. Bu kısımda Brown ve Burton’un çalışmasında sıklıkla karşılaşılan öğrenci hatalarını inceleyeceğiz. • Bu hatalardan bazılarını sistematik olmalarını ve belirli durumlarda doğru sonuca götüren bir bilginin geçerli olmadığını başka kullanım alanına taşınmasından kaynaklanması yönüyle kavram yanılgısı olarak • Bazı hataları da öğrencilerin problemleri temelini oluşturan kavramlara henüz tam anlamlarını yükleyememelerinden dolayı bu tür hataları da kavram yanılgısından ayırarak sadece hata olarak ele alacağız

35. Öğrenci kavram yanılgıları 1.Toplamada Sütunları Birbirinden Bağımsız Düşünme: bu kavram yanılgısı eldeli toplama işlemlerinde ortaya çıkmaktadır. Öğrenci burda aynı basamakları birbiri ile toplamakta fakat bu işlem sonucundaki eldeki bir sonraki basamağa aktarmak yerine işlem yaptığı basamağın altına sonuç olarak yazmaktadır. 3 5 4 + 7 2 3 12 6 2. Toplama işleminin özelliklerini çıkarmaya taşıma: Burda yapılan yanılgı ise toplamanın değişme özelliğinin sütun çıkarmasında kullanılmasıdır. 5 0 3 - 2 8 3 3 8 0

36. 3. Sıfıra basamak değeri affetmeme: Sıfırdan ödünç almanın gerektiği durumda öğrenci sıfırdan değilde bir sonraki basamaktan ödünç alır. 1 5 3 0 0 - 9 5 2 2 5 6 8 8 • Bunun sebebi olarak sıfırın toplama işleminde etkisiz elemanı olarak bilinmesi veya bir büyük sayının içindeki sıfırların sadece yer tutan eleman olarak algılanması gösterilebilir.

37. Öğrenci hataları 1. Toplama İşlemi İle İlgili Hatalar 1.1 Eldeleri işlem sonuna basamak olarak ekleme: Burada öğrenci herbir sütun toplamının sonundaki eldeyi bir sonraki sütuna eklemek yerine hepsini bütün işlem sonundaki toplamın başına eklemektedir. 1 8 6 +2 5 4 2 3 3 0 1.2 Eldeleri aynı zamanda bir sonraki sütuna ve işlem sonuna basamak olarak ekleme öğrenci her bir sütundaki toplama işleminde elde ettiği eldeyi bir sonraki sütuna aktardığından bu eldeyi hala varsayıp tüm işlemler sırasında oluşan eldelerin toplamını en son sütuna eklemektedir. 3 2 8 +9 1 7 13 4 5

38. 1.3 Toplamın birler basamağını yok sayma: Burda tek basamaklı sayılarda bir problem görülmezken çok basamaklılarda ise toplamadan sonra birler basamağını yok sayıp onlar basamağının yazılması 9 2 3 +4 8 1 1 1 4 1.4 Sayıları rakam olarak değerlendirme: Burda ise verilen işlemdeki bütün sayıların içerdiği rakamların her birinin toplanması şeklindedir. 1 0 9 1 + 6 0 1 7 ( 1+0+9+1+6+0)= !!! 17

39. Çıkarma işlemi ile ilgili hatalar 1.Çıkarılacak Sayıyı Soldan Hizalama Burda çıkarma işlemi yapılacak sayıların soldan hizalayarak alt alta yazmak çıkarma işlemlerinde en sık karşılaşılan hatalardan biridir. 17 5 -14 3 5 2) En Büyük Basamaktan Ödünç Alma Burda ise öğrenci alttaki rakamın üstteki rakamdan büyük olduğunu gördüğü anda ödünç olması gerektiğini bilir. Fakat her zaman büyük olan rakamdan alır. 1 1 7 9 3 5 -4 7 8 3 6 7

40. 3) Sıfırdan Ödünç Alma: Öğrenci 0’ın sağındaki sütunda eldeye ihtiyaç duyduğunda 0’dan ödünç almakta , 0’ın olduğu basamağa gelince 0 yerine 9 olarak işleme devam etmektedir. Fakat 0’ın solundaki basamaktan ödünç almamaktadır. 1 0 3 9 - 4 4 1 9 9 5

41. Yukarıda bahsettiğimiz kavram yanılgılarının ve hatalarının ardında çoğunlukla • Sayıların konumlarının ve basamak değerlerinin öğrenciler tarafından iyi algılanmaması yatmaktadır. • Büyük bir sayının nasıl okunduğu ve yazıldığıyla da doğrudan ilişki vardır denebilir Bu yönüyle bazı hatalardan ve kavram yanılgılarından sakınmak için büyük sayı kavramı üzerinde de yeterince üzerinde durulması gerektiğini düşünüyoruz.

42. Öğretim programlarında toplama ve çıkarma

43. Belirli bir kavrama yönelik olarak farklı ülkelerin programlarının karşılaştırılması farklı sistem ve kültürlerde o kavram ile ilgili amaç ve kazanımların ne şekilde planlandığı, hangi yöntem ve tekniklerin ön plana çıktığı gibi konularda bilgi verir. Bu bilgiler söz konusu kavramın öğretimi konusunda başka bir ülkeye göre ülkemizin nerede olduğunu gösterip yapılacak iyileştirme çalışmaları için yol gösterici olabilir. Bu kısımda İngiltere ile Türkiye’de uygulanmakta olan matematik öğretim programlarında toplama ve çıkarma kavramlarından bahsedilecektir.

44. İngiltere’de öğretim programına ek olarak öğretmenlere toplama ve çıkarma konuları ile ilgili bir ek doküman sunulmaktadır. • Programın amaçlarına ve konularına paralel olarak hazırlanan bu doküman, öğrenci güçlükleri ve kavram yanılgılarıyla öğretmenlerin bunları saptamak ve giderebilmek için izleyecekleri yöntemler üzerine odaklanmıştır. • İngiliz eğitim sisteminde ilköğretim kısmı 4 yaş grubunun hazırlık sınıfı ile başlamakta ve iki ana kısımdan oluşmaktadır. • Bunlar 5 ve 6 yaş gruplarını kapsayan iki yıl (Y1-Y2) ve takip eden 4 yıldır (Y3-Y4).

49. 5-6 yaş grubunda ise öğrencilerin çıkarma işleminin toplama işleminin tersi olduğunu anlamaları amaçlanmaktadır. • Öğretmenin bu konuda yapabileceği yönlendirmelere, önerebileceği problemlerden örneklere ve kullanabileceği materyallere yine bu dokümanda yer verilmektedir. 7-8 yaş grubundaki amaç ise artık 1000’den küçük iki tam sayının toplama ve çıkarma işleminin sütun olarak gerçekleştirilmesidir. Bu aşamada öğrencilerin yapabilecekleri hataların öncelikle sayı sisteminin yapısını tam olarak anlamamış olmalarından kaynaklanacağına dikkat etmekle ve farklı problemlerle öğretmenin bu hataların giderilmesi için neler yapılabileceği gösterilmektedir.

50. İngiliz Sisteminde 9-10 yaş gruplarında ondalık sayılara geçilmektedir.Öğretmenlerin bu sınıfta dahi bazı öğrencilerinin sayı sistemlerini tanımamaları sorunları ile karşılaşabilecekleri hatırlatılmaktadır. • Bu duruma çözüm olarak da gruplamaya ve sayı ilişkilerine yönelik önerilebilecek farklı problemlere yer verilmektedir • Türk eğitim programına bakıldığında (meb, 2009) toplama ve çıkarma işlemine 6 yaş grubunda yani ana sınıfında ilk defa giriş yapıldığı görülmektedir. • 4 ve 5 yaş grupları programında sadece ritmik sayma ve rakam-nesne ilişkilerinin kurulması hedeflenmektedir.