LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE

1. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI

2. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie ZSOiZ w Pogorzeli ID grupy: 97/2_mf_g1 97/63_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Geometria w programie C.a.R. Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011 Dane INFORMACYJNE

3. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Geometria w programie C.a.R.

4. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI • Compasses and Ruler 7 • Środowisko C.a.R. 9 • MENU plik 10 • MENU akcje 11 • Menu settings 12 • Menu pomoc 13 • Tworzenie obiektów 14 • Konstrukcje – punkt na obiekcie 15 • Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów 17 • Konstrukcje w praktyce 19 • Rozwiązanie zadania 20 • Konstrukcje krok po kroku 21 • Dynamiczne konstrukcje euklidesowe 28 Spis treści

5. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI • Zadania maturalne i C.a.r 29 • Matura 2010 poziom podstawowy zad. 31 29 • Rozwiązanie 30 • Matura 2010 poziom rozszerzony zadanie 1 31 • Rozwiązanie 32 • Dynamiczne konstrukcje analityczne34 • Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 3 35 • Rozwiązanie 36 • Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 8 38 • Rozwiązanie 39 • Matura 2010 poziom rozszerzony zad. 9 41 • Rozwiązanie 42 Spis treści

6. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI • Odcinki i proste w trójkącie 44 • Wysokość 44 • Symetralna 45 • Dwusieczna 46 • Środkowa 47 • Okrąg i trójkąt 48 • Okrąg wpisany w trójkąt 48 • Okrąg opisany na trójkącie 49 • Koniec 50 Spis treści

7. WPROWADZENIE >STATYSTYKA C.a.R. (Compasses and Ruler) to narzędzie do badania fragmentów wiedzy matematycznej wywodzących się z geometrii euklidesowej i analitycznej. Program umożliwia tworzenie dynamicznych konstrukcji geometrycznych (dynamic geometry software, w skrócie DGS). Tworząc jedną figurę tworzy się całą rodzinę figur. Można zmieniać położenie punktów konstrukcyjnych, całość może być animowana w czasie rzeczywistym. Pozwala to na obserwację figury w świetle wielu różnych przypadków jej istnienia. Compasses and Ruler

8. WPROWADZENIE > ZBIOROWOŚĆ STATYSTYCZNA, DANE STATYSTYCZNE • Program C.a.R (z ang. Cyrkiel i Linijka) autorstwa doktora R.Grothmanna jest bezpłatny. • Program ten działa w systemie Windows i jest bardzo prosty w obsłudze. Compasses and Ruler

9. Środowisko C.a.R. Praca w programie to praca w oknach. Figury są rysowane w oknie arkusza rysunkowego, który nie jest ograniczony do rozmiarów ekranu. Arkusz można przesuwać. Komendy operacji są zgrupowane w menu. Do wielu komend możliwy jest szybki dostęp poprzez ikonki.

10. MENU plik Służy do: tworzenia nowej, otwierania istniejącej oraz zapisywania konstrukcji, czyszczenia bądź dołączania makroprogramów, kompresowania, drukowania, eksportowania plików, kończenia pracy z programem.

11. MENU akcje Służy do rysowania punktów, prostych, półprostych, kątów, prostych prostopadłych, równoległych, okręgów, środków odcinków. Pozwala przesuwać obiekty. Umożliwia pracę z obiektami ozdobnymi, funkcjami. Pozwala na edytowanie, ukrywanie, usuwanie, rysowanie myszą obiektów, wprowadzanie nazewnictwa, oraz czyszczenia rysunku.

12. WPROWADZENIE > BADANIA STATYSTYCZNE > BADANIA ANKIETOWE Umożliwia wszelkie ustawienia aplikacji, np. ustawienia języka w jakim ma pracować program, ustawienia okna,. Pozwala pracować w dwóch trybach, trybie szkolnym oraz dla początkujących. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE Menu settings

13. WPROWADZENIE > BADANIA STATYSTYCZNE > BADANIA ANKIETOWE > ZASADY DOBREJ ANKIETY • informuje o wersji programu, jego autorze. • oferuje pomoc kontekstową, • łączy z internetem, konfiguruje przeglądarkę. • Informuje o nowościach w bieżącej wersji. Nie wszystkie polecenie menu zostały przetłumaczone na język polski. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE Menu pomoc

14. Tworzenie obiektów Komendy: punkt, prosta, półprosta, odcinek, okrąg, trójkąt pozwalają na tworzenie obiektów. Figury są określane w czasie naciskania, trzymania i zwalniania przycisku myszy.

15. Konstrukcje – punkt na obiekcie Punkt na obiekcie tzn. punkt jest zależny od obiektu - przy wskazywaniu punktu obiekt musi się podświetlić. Punkt X jest punktem na obiekcie, punkt Y nie.

16. Konstrukcje – punkt na obiekcie Po zmianie położenia punktu B wielokąta ABCDEFG, punkt X nadal pozostał punktem położonym na odcinku BC. Zmiana położenia punktu H drugiego wielokąta spowodowała, że punkt Y leży na zewnątrz wielokąta HIJKL.

17. Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów Punkt A jest punktem przecięcia trójkąta i okręgu (przy jego zaznaczaniu obie figury były podświetlone), natomiast punkt B nie jest punktem przecięcia obiektów.

18. Konstrukcje – przecięcie dwóch obiektów Zmiana położenia trójkąta i okręgu jednoznacznie wykazała, że punkt B nie był związany z żadnym obiektem.

19. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI Zadanie W trójkącie ABC poprowadź: • wysokości, • środkowe, • symetralne, • dwusieczne kątów. Wpisz okrąg w trójkąt ABC (okrąg wpisany) oraz opisz na tym trójkącie okrąg (okrąg opisany). Konstrukcje w praktyce

20. Rozwiązanie zadania

21. Konstrukcje krok po kroku Tworzymy trójkąt ABC

22. Konstrukcje krok po kroku Prowadzimy wysokości kolorem czerwonym, Zaznaczamy punkty przecięcia wysokości i boków: A*, B*, C* Tworzymy odcinki AA* (hA), BB* (hB), CC* (hC) kolorem czerwonym, linią pogrubioną,

23. Konstrukcje krok po kroku Zaznaczamy środki boków trójkąta: M1 środek odcinka BC, M2 środek odcinka AC, M3 środek odcinka AB Tworzymy środkowe - odcinki AM1, BM2, CM3 kolorem niebieskim.

24. Konstrukcje krok po kroku Prowadzimy symetralne boków trójkąta kolorem zielonym,

25. Konstrukcje krok po kroku Zaznaczamy kolorem zielonym punkt S1 – punkt przecięcia symetralnych Tworzymy kolorem zielonym okrąg o środku w punkcie S i promieniu r1 równym długości odcinka o końcach S,A.

26. Konstrukcje krok po kroku Prowadzimy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta – półproste dA, dB, dC

27. Konstrukcje krok po kroku Zaznaczamy punkt S2: przecięcie dwusiecznych. Wyznaczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt - prowadzimy prostą prostopadła do boku AB przechodzącą przez punkt S2, zaznaczmy odcinek r2 Tworzymy okrąg o(S2,r2)

28. Dynamiczne konstrukcje euklidesowe Animacja pozwala na obserwowanie własności różnych trójkątów: ostrokątnych, rozwartokątnych, równobocznych.

29. Zadania maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom podstawowy Zadanie 31. (2 pkt) W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

30. ROZWIĄZANIE Prowadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego ABC (linia przerywana kolor czerwony) Wówczas AE=3 i stąd CD=AE=3 (odcinki zaznaczone kolorem zielonym) Następnie zapisujemy, że BC=AB=6 oraz  DA=CE= (kolor czerwony) Stąd obwód trapezu jest równy 6+6+3+ = 15+

31. Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność Ι 2x + 4 Ι + Ι x-1 Ι ≤ 6

32. Rozwiązanie graficzne Rysujemy wykresy funkcji f(x)= Ι 2x + 4 Ι + Ι x-1 Ι i prostą o równaniu y=6

33. Rozwiązanie graficzne Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (-∞,-2), <-2,1), <1,∞) Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej l: x=-3, x=1. Podajemy argumenty, dla których f(x)≤6: xЄ<-3,1> Rysujemy wykres funkcji f i prostą l o równaniu y = 6

34. Dynamiczne konstrukcje analityczne Prosta l nie musi być prostą stałą, może być malejąca, rosnąca

35. Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 3. (4 pkt) Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by ΙCEΙ = 2ΙDFΙ. Oblicz wartość x = ΙDFΙ, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

36. ROZWIĄZANIE Program pozwala problemy w zadaniach optymalizacyjnych doświadczalnie rozwiązywać i weryfikować.

37. Rozwiązanie ΙBEΙ=1-2x, ΙCFΙ=1-x Pole trójkąta AEF jest funkcja zmiennej x i jest równe: Pole trójkąta AEF jest najmniejsze dla

38. Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 8. (5 pkt) Dany jest wykres funkcji . Poprowadzono prostą równoległą do osi Ox, która przecina wykres danej funkcji w punktach A, B. Niech C=(3, -1). Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2

39. ROZWIĄZANIE Animacja pozwala zaobserwować cechę, którą należy wykazać.

40. Rozwiązanie Dla dowolnej liczby a>0 zachodzi nierówność

41. Zadanie maturalne i C.a.r Matura 2010 poziom rozszerzony Zadanie 9. (4 pkt) Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, że ΙACΙ= ΙFGΙ.

42. rozwiązanie

43. Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc ΙABΙ= ΙCDΙ= ΙCFΙ. W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe. Niech α oznacza kąt ABC danego równoległoboku. Wówczas kąt BCD wynosi 180o – α. W kwadratach CDEF oraz CBHG kąty DCF są równe 90o, więc kąt FCG jest równy α. Trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb). Stąd wnioskujemy, że Ι ACΙ = ΙFGΙ

44. WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > ZNAJOMOŚĆ PRAW I … Wysokością w trójkącie nazywamy odcinek prostopadły do boku trójkąta, przechodzący przez przeciwległy wierzchołek. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Odcinki i proste w trójkąciewysokość Powrót do zadania

45. WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > ZNAJOMOŚĆ PRAW I … Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków,( przecinające się w jednym punkcie), który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Odcinki i proste w trójkąciesymetralna Powrót do zadania

46. WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > WYWIĄZYWANIE SIĘ Z … Odcinki i proste w trójkąciedwusieczna Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Powrót do zadania

47. WYNIKI ANKIETY > CZAS POŚWIĘCONY NA NAUKĘ > ŚREDNIA CZASU POŚWIĘCANEGO … Środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Odcinki i proste w trójkącieŚrodkowa Powrót do zadania

48. WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > PRZESTRZEGANIE PRAW … Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta. Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt: • rysujemy symetralne boków trójkąta, • punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu stycznego do boków trójkąta. Okrąg i trójkątOkrąg wpisany w trójkąt Powrót do zadania

49. WYNIKI ANKIETY > PRAWA I OBOWIĄZKI UCZNIA NASZEJ SZKOŁY > PRZESTRZEGANIE PRAW … .Okrąg jest opisany na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na tym okręgu. Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie: • rysujemy symetralne boków trójkąta, • punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta. OkrĄg i trójkątOkrąg opisany na trójkącie Powrót do zadania

50. LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. JANA HENRYKA DĄBROWSKIEGO W SŁAWNIE LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE IM. ZIEMII POGORZELSKIEJ W POGORZELI DZIĘKUJEMY