Análise e Síntese de Algoritmos

1. Análise e Síntese de Algoritmos Algoritmos em Grafos CLR, Cap. 22

2. Resumo • Algoritmos elementares em grafos • Representação de grafos • Procura em Largura Primeiro • Breadth-First Search (BFS) • Propriedades da BFS • Procura em Profundidade Primeiro • Depth-First Search (DFS) • Propriedades da DFS • Ordenação Topológica • Componentes Fortemente Ligados • Strongly Connected Components (SCCs) • Exemplos Análise e Síntese de Algoritmos

3. Grafos — Definição e Representação • Grafo definido por um conjunto V de vértices e um conjunto E de arcos, G = (V, E) • Arcos representam ligações entre pares de vértices • E  V  V • Grafo esparso: |E| << |V  V| • Representação dos arcos • Matriz de adjacências: arcos representados por matriz • Para grafos densos • Listas de adjacências: arcos representados por listas • Para grafos esparsos • Grafos podem ser dirigidos ou não dirigidos • Existência (ou não) da noção de direcção nos arcos Análise e Síntese de Algoritmos

4. 1 3 2 4 1 3 2 4 Grafos — Definição e Representação • Listas vs. Matriz de adjacências Não Dirigido: Dirigido: Análise e Síntese de Algoritmos

5. Grafos — Definição e Representação • Listas de adjacências: • Grafos não dirigidos • Tamanho das listas é 2 E • Grafos dirigidos • Tamanho das listas éE  Tamanho total das listas de adjacências é O(V+E) • Grafos pesados: • Função de pesos: w: E  R • Permite associar peso com cada arco Análise e Síntese de Algoritmos

6. Procura em Largura Primeiro (BFS) • Dados G = (V, E) e vértice fonte s, BFS explora sistematicamente vértices de G para descobrir todos os vértices atingíveis a partir de s • Cálculo da distância: menor número de arcos de s para cada vértice atingível • Identificação de árvore BF: caminho mais curto de s para cada vértice atingível v • Fronteira entre nós descobertos e não descobertos é expandida uniformemente • Nós à distância k descobertos antes de qualquer nó à distância k+1 Análise e Síntese de Algoritmos

7. Procura em Largura Primeiro (BFS) • Implementação: • color[v]: cor do vértice v, branco, cinzento e preto • p[v]: predecessor de v na árvore BF • d[v]: tempo de descoberta de v • Outras definições: • d(s,v): menor distância de s a v • menor número de arcos em qualquer caminho de s para v Análise e Síntese de Algoritmos

8. Procura em Largura Primeiro (BFS) • Algoritmo: function BFS(G,s) for each vertex u  in V[G] - { s } color[u] = white; d[u] = ; p[u] = NIL color[s] = gray; d[s] = 0; p[s] = NIL Q = { s } while Q   u = Head[Q] for each v  Adj[u] if color[v] = white color[v] = gray; d[v] = d[u] + 1; p[v] = u Enqueue (Q, v) Dequeue (Q) color[u] = black inicializações ciclo principal Análise e Síntese de Algoritmos

9. Procura em Largura Primeiro (BFS) • Tempo de execução: O(V + E) • Inicialização: O(V) • Para cada vértice • Colocado na fila apenas 1 vez: O(V) • Lista de adjacências visitada 1 vez: O(E) • Exemplo Análise e Síntese de Algoritmos

10. Procura em Largura Primeiro (BFS) • Resultado: • Para qualquer arco (u,v): • Se u atingível, então v atingível • caminho mais curto para v não pode ser superior a caminho mais curto para u mais arco (u,v) • Se u não atingível, então resultado é válido (independentemente de v ser atingível) • … • No final da BFS: • d[u] = (s,u), para todo o vértice u de V Análise e Síntese de Algoritmos

11. Procura em Largura Primeiro (BFS) • Árvores BF: (sub-grafo de G) • Vértices atingíveis a partir de s • Arcos que definem a relação predecessor da BFS Análise e Síntese de Algoritmos

12. Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Grafo pesquisado dando prioridade aos arcos dos vértices mais recentemente visitados • Resultado da procura: • Floresta DF: • Floresta DF composta por várias árvores DF • Implementação: • color[u]: cor do vértice (branco, cinzento, preto) • d[u]: tempo de início (de visita do vértice) • f[u]: tempo de fim (de visita do vértice) Análise e Síntese de Algoritmos

13. Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Algoritmo: function DFS(G) for each vertex u  V[G] color[u] = white; p[u] = NIL time = 1 for each vertex u  V[G] if color[u] = white DFS-Visit(u) function DFS-Visit(u) color[u] = gray; d[u] = time; time = time + 1 for each v  Adj[u] if color[v] = white p[v] = u; DFS-Visit(v) color[u] = black; f[u] = time; time = time + 1 Análise e Síntese de Algoritmos

14. Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Tempo de execução: O(V+E) • Inicialização: O(V) • Chamadas a DFS-Visit dentro de DFS: O(V) • Arcos analisados em DFS-Visit: (E) • Chamadas a DFS-Visit dentro de DFS-Visit: O(V) • Exemplo: Análise e Síntese de Algoritmos

15. 1 v é descendente de u ( f[v] < f[u] ) d[u] d[v] f[u] d[v] f[u] d[v] f[v] intervalos são disjuntos Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Resultado: • Numa DFS de G = (V, E), para cada par de vértices u e v apenas um dos 3 casos seguintes é verdade: • Os intervalos [d[u], f[u]] e [d[v], f[v]] são disjuntos • [d[u], f[u]] está contido em [d[v], f[v]] e u é descendente de v na árvore DF • [d[v], f[v]] está contido em [d[u], f[u]] e v é descendente de u na árvore DF Análise e Síntese de Algoritmos

16. Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Classificação de arcos (u,v): • Arcos de árvore: (tree edges) • arcos na floresta DF, Gp • (u,v) é arco de árvore se v foi visitado devido ao arco (u,v) ser visitado • Arcos para trás: (back edges) • ligam vértice u a vértice v antecessor na mesma árvore DF • Arcos para a frente: (forward edges) • ligam vértice v a vértice descendente na mesma árvore DF • Arcos de cruzamento: (cross edges) • Na mesma árvode DF, se u (ou v) não antecessor de v (ou u) • Entre árvores DF diferentes Análise e Síntese de Algoritmos

17. Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Classificação de cada arco (u,v): • Arco de árvore: • d[u]  d[v]  f[v]  f[u] ; color[v] = white; visita v a partir de u • Arco para trás: • d[v]  d[u]  f[u]  f[v] ; color[v] = gray • Arco para a frente: • d[u]  d[v]  f[v]  f[u] ; color[v] = black • Arco de cruzamento: • d[v]  f[v]  d[u]  f[u] ; color[v] = black Análise e Síntese de Algoritmos

18. Procura Profundidade Primeiro (DFS) • Dado G = (V, E), não dirigido, cada arco é arco de árvore ou arco para trás • i.e., não existem arcos para a frente e de cruzamento • Numa floresta DFS, v é descendente de u se e só se quando u é descoberto existe um caminho de vértices brancos de u para v • v descendente de u  existe caminho de vértices brancos de u para v • Qualquer vértice w descendente de u verifica [d[w], f[w]]  [d[u], f[u]], pelo que w é branco quando u é descoberto • … Análise e Síntese de Algoritmos

19. Recapitular • Representação de grafos • Listas de adjacências • Matrizes de adjacências • Procuras em grafos • BFS • Tempos de descoberta (d[]) • DFS • Tempos de início (d[]) e de fim (f[]) Análise e Síntese de Algoritmos

20. Definições • Dado grafo G = (V, E), um caminho p é uma sequência <v0,v1,…,vk> tal que para todo o i, 0ik-1, (vi,vi+1)E • Se existe um caminho p de u para v,então v diz-se atingível a partir de u via p • Um ciclo num grafo G = (V,E) é um caminho <v0,v1,…,vk>, tal que v0 = vk • Um grafo dirigido G = (V,E) diz-se acíclico se não tem ciclos • Directed acyclic graph (DAG) Análise e Síntese de Algoritmos

21. Ordenação Topológica • Uma ordenação topológica de um DAG G=(V,E) é uma ordenação de todos os vértices tal que se (u,v)E então u aparece antes de v na ordenação • Algoritmos: • Eliminação de vértices • Utilizando informação de DFS Análise e Síntese de Algoritmos

22. Ordenação Topológica (Cont.) • Algoritmo: function Topological-Sort-1(G) L =  // Lista de vértices Q =  // Fila de vértices for each v  G if v sem arcos de entrada (w,v) Enqueue(Q,v) while Q   u = Head(Q) Eliminar todos os arcos (u,v) if v sem arcos de entrada (w,v) Enqueue(Q,v) Dequeue(Q) Colocar u no fim da lista L Inicialização O(V) Colocar vértices em L O(V+E) Análise e Síntese de Algoritmos

23. Ordenação Topológica (Cont.) • Algoritmo: • Tempo de execução • DFS: O(V+E) • Exemplo function Topological-Sort-2(G) Executar DFS(G) para cálculo do tempo de fim f[v] para cada v Para cada vértice terminado, inserir no princípio de lista ligada return lista ligada de vértices Análise e Síntese de Algoritmos

24. 1 3 2 4 Ordenação Topológica (Cont.) • Intuição: Na DFS: Tempo de fim de 3 é sempre  Tempo de fim de 4 Tempo de fim de 2 é sempre  Tempo de fim de 4 Tempo de fim de 1 é sempre  Tempo de fim de 2,4 Sem ciclos, se existe caminho de u para v, verifica-se sempre f[u]  f[v] ! Análise e Síntese de Algoritmos

25. Componentes Fortemente Ligados • Definição: • Dado grafo dirigido G = (V,E) um componente fortemente ligado (SCC) é um conjunto máximo de vértices U  V, tal que para u,vU, u é atingível a partir de v, e v é atingível a partir de u • Obs: vértice simples é SCC • Outras definições: • Grafo transposto de G = (V,E) • GT = (V, ET) tal que: • OBS: G e GT têm os mesmos SCCs Análise e Síntese de Algoritmos

26. Componentes Fortemente Ligados • Algoritmo: • Tempo de execução: O(V+E) • Exemplo function SCCs(G) Executar DFS(G) para cálculo do tempo de fim f[v] para cada v Representar GT Executar DFS(GT) (no ciclo principal de DFS considerar os vértices por ordem decrescente de tempo de fim de DFS(G)) Cada árvore de DFS encontrada corresponde a novo SCC Análise e Síntese de Algoritmos

27. SCC 1 SCC 2 SCC 3   maior f maior f maior f SCC 1 SCC 2 SCC 3 árvore DFS árvore DFS árvore DFS Componentes Fortemente Ligados • Intuição: Em G: Em GT: Análise e Síntese de Algoritmos

28. 1 5 9 f[] = 24 max f > max f max f > max f 2 6 10 11 3 7 1 5 9 8 12 4 2 3 6 7 10 11 4 8 12 Componentes Fortemente Ligados G: GT: Análise e Síntese de Algoritmos

29. Problemas • Algoritmo eficiente para determinar se grafo G = (V, E) é bipartido ? • Grafo G é bipartido se V pode ser dividido em L e R, tal que todos os arcos de G incidentes em 1 vértice de L e 1 vértice de R • Algoritmo eficiente para calcular o diâmetro de uma árvore T = (V, E) ? • Diâmetro: • Sol. 1: Duas BFSs • Sol. 2: Vértice adicional e 1 BFS Análise e Síntese de Algoritmos

30. Outro Problema • Algoritmo eficiente para determinar se um grafo G=(V, E) é semi-ligado • Um grafo dirigido G = (V,E) diz-se semi-ligado se para qualquer par de vértices (u,v), u atingível a partir de v ou v atingível a partir de u Análise e Síntese de Algoritmos

31. Revisão • Algoritmos elementares em grafos • Representação de grafos • BFS; DFS • Algoritmos • Propriedades • Aplicações: • Ordenação topológica • Componentes fortemente ligados • A seguir: • Estruturas de dados para conjuntos disjuntos (CLRS, Cap. 21) • Árvores abrangentes de menor custo (CLRS, Cap. 23) Análise e Síntese de Algoritmos