Bölüm 4 Sürekli Rassal Değişkenler

1. BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001) Bölüm4 Sürekli Rassal Değişkenler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

2. Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları Bölüm. 3 Kesikli Olasılık Dağılımları Sürekli Olasılık Dağılımları Bölüm. 4 Binom Tekdüze Hipergeometrik Normal Poisson Üstel Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

3. Sürekli Olasılık Dağılımları 5.1 • Bir sürekli rassal değişkenbir değer aralığındaki her hangi bir değeri göz önüne alan değişkendir • bir nesnenin kalınlığı • Bir işi tamamlamak için gerekli olan süre • Bir çözeltinin sıcaklığı • cm cinsinden yükseklik • Bunlar, ölçümün hassasiyetine bağlı olarak herhangi bir değeri alabilmektedirler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

4. Birikimli Dağılım Fonksiyonu • Sürekli bir rassal X değişkeni için Birikimli Dağılım Fonksiyonu olarak F(x), X’inx’in her hangi bir değerini aşmadığını ifade etmektedir • a ve b, a<b olmak üzereX’in iki muhtemel değeri olsun. X’in a ve b arasında yer alma olasılığı aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

5. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir: • f(x) > 0 (x’in tüm değerleri için) • X’in tüm değerleri için f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alanı 1,0’e eşittir. • X’in iki değer arasında yer alma olasılığı, bu iki değer arasındaki yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

6. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (devam) Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir: • F(x0)birikimli olasılık fonksiyonu, minimum x’denx0’a kadar olan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır xmrassal x değişkeninin minimum değeridir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

7. Alan olarak Olasılık Eğri altındaki taralı alan X’in a ile b arasında yer alma olasılığıdır f(x) ) ≤ ≤ P ( a x b ) < < = P ( a x b (Her hangi bireysel değerin olasılığının sıfır olduğuna dikkat ediniz) x a b Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

8. Tekdüze Dağılım Olasılık Dağılımı Sürekli Olasılık Dağılımı Tekdüze Normal Üstel Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

9. Tek düze dağılım • Tekdüze dağılım bir rassal değişkenin tüm muhtemel sonuçları için eşit olasılıklara sahip olduğu bir olasılık dağılımıdır. f(x) Tekdüze yoğunluk fonksiyonu altında kalan toplam alan 1.0’dir. x xmin xmax Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

10. Tek düze dağılım (devam) Sürekli Tekdüze Dağılım: f(x) = f(x) = yoğunluk fonksiyonunun herhangi bir x’deki değeri a = x’inminimum değeri b = x’inmaksimumdeğeri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

11. Tekdüze Dağılımın Özellikleri • Tekdüze dağılımın ortalaması • Varyans Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

12. Tekdüze Dağılım-Örnek Örnek: 2 ≤ x ≤ 6 aralığı boyunca tekdüze olasılık dağılımı : 1 f(x) = = 0,25 (2 ≤ x ≤ 6 için) 6 - 2 f(x) 0,25 x 2 6 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

13. Sürekli Rassal Değişkenler için Beklenen Değerler • X’inμX olarak gösterilen ortalaması X’in beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır • σX2 olarak gösterilen X’invaryansı(X - μX)2rassal değişkenin ortalamadan sapmalarının karelerinin beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

14. Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları • X’in ortalamasının μXve varyansınınσX2olduğu ve a ve b’lerin sabit olduğuW = a + bX doğrusal fonksiyonu için • O halde W’nun ortalaması aşağıdaki gibidir • Varyansı aşağıdaki gibidir • W’nunStandart sapması aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

15. Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (devam) • Daha önceki sonuçların özel bir hali de standardizerassal değişkendir • burada ortalama 0 ve varyans 1’e eşittir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

16. Normal Dağılım 5.3 Olasılık Dağılımları Sürekli Olasılık Dağılımları Tekdüze Normal Üstel Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

17. Normal Dağılım (devam) • ‘Çan şeklinde’ • Simetrik • Ortalama, Ortanca ve Modeşitttir Konum ortalama μ tarafından belirlenir, Yayılım standartsapma, σtarafından belirlenir. Rassal değişken+ ile   arasında arasında yer alan sonsuz bir değer aralığına sahiptir f(x) σ x μ Ortalama = Ortanca = Mod Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

18. Normal Dağılım (devam) • Normal dağılım geniş bir aralıktaki rassal değişkenleri yakın olarak yakınsar • Örneklem ortalamalarının dağılımları “büyük” bir örneklem verildiğinde bir normal dağılıma yakınsar • Olasılıkların hesabı doğrudan ve kolay bir şekilde gerçekleştirilir • Normal olasılık dağılımı bir dizi uygulama için iyi iş kararlarına yönlendirmektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

19. Pek çok Normal Dağılım μveσ, parametrelerini değiştirerek, farklı normal dağılımlar elde ederiz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

20. Normal Dağılımın Şekli μ’yü değiştirmek dağılımı sağa veya sola kaydırır. f(x) σ’yı değiştirmek yayılımı artırır veya azaltır. σ μ x Ortalama μve varyansσ verildiğinde, normal dağılımı aşağıdaki gösterimle tanımlamaktayız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

21. Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu • Normal olasılık yoğunluk fonksiyonun formülü aşağıdaki gibidir e = 2,71828’e yaklaşan matematiksel sabit π = 3,14159’ye yaklaşan matematiksel sabit μ = popülasyon ortalaması σ = popülasyon standartsapması x = sürekli değişkenin  < x <  arasındaki herhangi bir değeri Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

22. Birikimli Normal Dağılım • Ortalaması μ ve varyansıσ2 olan normal rassal bir X değişkeni için yani, X~N(μ,σ2), birikimli dağılım fonksiyonuaşağıdaki gibidir f(x) x x0 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

23. Normal Olasılıkların Bulunması Bir değer aralığı için olasılık eğri altında kalan ile ölçülmektedir. x a μ b Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

24. Normal Olasılıkların Bulunması (devam) x a μ b x a μ b x a μ b Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

25. Standardize Normal Herhangi bir normal dağılım (herhangi bir ortalama ve varyans değerine sahip olan) ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standardize normaldağılıma (Z) dönüştürülebilmektedir X’inortalamasını çıkararak ve standart sapmasına bölerek X birimlerin Z birimlerine dönüştürülmesi gerekmektedir. f(Z) 1 Z 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

26. Örnek Eğer X ortalaması 100 ve standart sapması 50 olacak şekilde normal olarak dağılıyorsa, X = 200için Z değeri; Buradan X = 200’ün 100 2 standart sapma üzerinde (50 birimlik 2 kademe) yer aldığı görülmektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

27. X ve Z birimlerin karşılaştırılması 100 200 X (μ = 100, σ = 50) 0 2,0 Z ( μ = 0 , σ = 1) Dağılımın aynı olduğuna, sadece ölçeğin değiştiğine dikkat ediniz. Problemi orijinal birimlerinde (X) ifade edebileceğimiz gibi standardize birimlerinde de (Z) ifade edebiliriz. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

28. Normal Olasılıkların Bulunması f(x) x a b µ Z 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

29. Eğri Altında Kalan Alan Olarak Olasılık Eğri altında kalan toplam alan 1,0’dirveeğri simetriktir, o zaman hem ortalamadan küçük olan hem de ortalamadan büyük olan kısım toplam alanın yarısıdır f(X) 0.5 0.5 μ X Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

30. z-Tabloları • İstatistik kitaplarında Standardize Normal Tablobirikimli (kümülatif) normal dağılım fonksiyonu değerlerini göstermektedir • Verilen bir Z-değeri için, tablo F(a)’yı göstermektedir. Verilen bir Z-değeri için tablo F(a) değerini göstermektedir (eksi sonsuzdan a’ya kadar olan kısımdaki eğri altında kalan alandır) Z a 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

31. Standardize Normal Tablo • İstatistik kitaplarındaki z-tablosuherhangi bir a değeri için F(a) olasılığını vermektedir 0,9772 Örnek: P(Z < 2,00) = 0,9772 Z 0 2,00 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

32. Standardize Normal Tablo (devam) • Negatif Z-değerleri için ihtiyaç duyulan olasılığı bulmak üzere dağılımın simetrik olduğu olgusundan faydalanınız: 0,9772 Example: P(Z < -2,00) = 1 –0,9772 = 0,0228 0,0228 Z 0 2,00 0,9772 0,0228 Z -2,00 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

33. Olasılıkları Bulmak için İzlenen Genel Prosedürler • Problem için normal eğriyi X için çiziniz. • X-değerlerini Z-değerlerine dönüştürünüz. • Birikimli (Kümülatif) Normal Tabloyu kullanınız. X normal olarak dağıldığında P(a < X < b) ‘yi bulmak için: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

34. Normal Olasılıkların Bulunması • X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız • (X < 8,6)’yı bulunuz X 8,0 8,6 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

35. X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız. P(X < 8,6)’yı bulunuz Normal Olasılıkların Bulunması (devam) μ = 8 σ = 10 μ= 0 σ = 1 X Z 8 8,6 0 0,12 P(X < 8,6) P(Z < 0,12) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

36. Çözüm: P(Z < 0,12)’nin bulunması StandardizeNormal Olasılık Tablosu (Bir kısmı) P(X < 8,6) = P(Z < 0,12) z F(z) F(0,12) = 0,5478 .10 .5398 .11 .5438 .12 .5478 Z 0.00 .13 .5517 0,12 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

37. Üst Kuyruk Olasılıkları • X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız. • Şimdi P(X > 8,6)’yi bulunuz X 8,0 8,6 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

38. Üst Kuyruk Olasılıkları (devam) • Şimdi P(X > 8.6)’yi bulunuz… P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤0,12) = 1,0 – 0,5478 = 0,4522 0,5478 1,0 – 0,5478 = 0,4522 1,000 Z Z 0 0 0,12 0,12 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

39. Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması • Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunmasında izlenen adımlar: 1. Bilinen olasılık için Z değerini bulunuz 2. Aşağıdaki formülü kullanarak X’e dönüştürünüz: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

40. Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması (devam) Örnek: • X’in 8,0 ortalama ve 5,0 standart sapma değeri ile normal dağıldığını varsayınız. • Şimdi bu X’in altında kalan ve tüm değerlerin %20’sini oluşturan X değerini bulunuz. 0,2000 X ? 8,0 Z ? 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

41. Alt Kuyruktaki %20 için Z değerinin bulunması 1. Bilinen olasılık için Z değerinin bulunması • Alt kuyruktaki %20’lik alan -0.84’lük bir Z değeri ile uyumludur Standardize Normal Olasılık Tablosu (Bir kısmı) z F(z) .82 .7939 0,80 0,20 .83 .7967 .84 .7995 X ? 8,0 .85 .8023 Z -0,84 0 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

42. X değerinin bulunması 2. X birimlere aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürünüz: O halde ortalaması 8,0 ve standart sapması 5,0 olan bir dağılımın değerlerinin %20’si 3,80’den daha düşüktür Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

43. Normalliğin Değerlendirilmesi • Sürekli rassal değişkenlerin hepsi normal dağılım sergilemezler • Verilerin ne kadar bir normal dağılıma yaklaştığını değerlendirmek önemlidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

44. Normal Olasılık Grafiği • Normal olasılık grafiği • Verileri en düşükten en yüksek değere doğru sıralayınız • Tüm değerler için birikimli (kümülatif) normal olasılıkları bulunuz • Gözlenen değerlere karşı birikimli (kümülatif) olasılıkların grafiğini inceleyeniz (birikimli (kümülatif) normal olasılıkları dikey eksende ve gözlenen değerler yatay eksende olacak şekilde çizilmelidir) • Grafiği doğrusallık kanıtı yönünden değerlendiriniz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

45. Normal Olasılık Grafiği (devam) Bir normal dağılımdan elde edilen bir normal olasılık grafiği yaklaşık olarak doğrusal olacaktır: 100 Yüzde 0 Veriler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

46. Normal Olasılık Grafiği (devam) Sola çarpık Sağa çarpık 100 100 Yüzde Yüzde 0 0 Veriler Veriler Tekdüze Doğrusal olmayan grafikler normallikten sapmayı göstermektedir 100 Yüzde 0 Veriler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

47. Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma • Binom dağılımı hatırladığımızda: • n bağımsız deneme • Verilen herhangi bir deneyde başarı olasılığı = P • Rassal değişken X: • Xi =1 eğer i’inci deneme “başarı” ise • Xi =0 eğer i’inci deneme “hata” ise Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

48. Eğer n yeterince büyükse binom dağılımın şekli yaklaşık olarak normaldir nP(1 – P) > 5olduğu zaman normal binoma iyi bir yaklaşım sergiler Bir binom dağılımdan Z’ye standardize ediniz: Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

49. Her birinin başarı olasılığı P olmak üzere X n bağımsız denemedeki başarı sayısı olsun. EğernP(1 - P) > 5 ise, Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma (devam) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

50. Seçmenlerin %40’ı A halk oylamasını destekliyor. n=200 örnek büyüklüğü için 76 ile 80 seçmenin bir destek gösterme olasılığı nedir? E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80 Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48 (dikkat: nP(1 – P) = 48 > 5 ) Binom Yaklaşımına Örnek Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER