Formulas integrales

1. Formulas integrales De Cauchy

2. Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?

3. EJEMPLO

4. Fórmula Integral de Cauchy Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexoD. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0:

5. (2) donde C es el círculo |z+i |=1 En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presenta puntos singulares en z =i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula Necesitamos un término en la forma 1/(z-z0) así que rescribimos la integral como:

8. donde C es el círculo |z+i |=1 Tenemos que El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z0 en la fórmula donde Ahora

9. Y SI TENEMOS EXPONENTE en El denominador? Generalización de la fórmula integral de Cauchy Fórmula integral de Cauchy para derivadas

10. Generalización de la fórmula integral de Cauchy En su forma mas operativa

12. Otro Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea sea f (z) es analítica en D, y C incluye z0

14. Ejemplo Evaluar la integral donde Ces el círculo |z |=2 sea sea f (z) es analítica in D, y C incluye z0

15. Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo.

20. Si se tienen dos puntos singulares dentro de C, se usa Deformacion de contornoso fracciones parciales

22. Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy: Por el principio de deformación de contornos: Cambio de variable:

23. Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño: ¿Qué no es riguroso aquí?

25. APLICACIONES

28. Preliminares Se dice que un dominio D es simplemente conexo si cualquier contorno cerrado simple C que se localice completamente en D puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. En otras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquier contorno cerrado simple C que se encuentre completamente en aquél encierra únicamente a puntos del dominio D. Expresado en forma alterna, un dominio simplemente conexo no tiene “orificios”. El plano complejo completo es un ejemplo de un dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplemente conexo se denomina dominio múltiplemente conexo;esto es, un dominio múltiplemente conexo tiene “orificios”, véase figura 10.8. Un dominio con un orificio se denomina doblemente conexo, un dominio con 2 orificios se denomina triplemente conexo, etc.

29. TEOREMA DE CAUCHY GOURSAT En 1883, el matemático francés ÉdouardGoursat demostró el teorema de Cauchy sin la hipótesis de continuidad de f‘. La versión modificada resultante del teorema de Cauchy se conoce como teorema de Cauchy-Goursat. Se prueba Con Green Y cauchy Riem Como el interior de un contorno cerrado simple es un dominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy-Goursat puede plantearse en forma poco más práctica: